上海教師進(jìn)修學(xué)院附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

上海教師進(jìn)修學(xué)院附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，下列函數(shù)①

②③④中是奇函數(shù)的個(gè)數(shù)（

）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)參考答案：B①不能判定奇偶性，②是奇函數(shù)，③不能判定奇偶性，④是奇函數(shù).即奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是2個(gè).本題選擇B選項(xiàng).

2.函數(shù)f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零點(diǎn)之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)的圖象．【分析】函數(shù)f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點(diǎn)，即為函數(shù)f（x）=2cosπx與函數(shù)g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象變化的法則和余弦函數(shù)的特點(diǎn)作出函數(shù)的圖象，由對(duì)稱性可得答案．【解答】解：f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點(diǎn)，即為函數(shù)f（x）=﹣2cosπx與函數(shù)g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象變化的法則可知：y=ln|x﹣1|的圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱后和原來的一起構(gòu)成y=ln|x|的圖象，在向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=ln|x﹣1|的圖象又f（x）=﹣2cosπx的周期為2，如圖所示：兩圖象都關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且共有A，B，C，D，E，F(xiàn)，6個(gè)交點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：xA+xF=2，xB+xE=2，xC+xD=2，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象的作法，熟練作出函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．3.已知函數(shù)f（x）=，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如，[﹣3?5]=﹣4，[1?2]=1，設(shè)n∈N*，定義函數(shù)fn（x）為：f1（x）=f（x），且fn（x）=f[fn﹣1（x）]（n≥2），有以下說法：①函數(shù)y=的定義域?yàn)閧x|≤x≤2}；②設(shè)集合A={0，1，2}，B={x|f3（x）=x，x∈A}，則A=B；③f2015（）+f2016（）=；④若集合M={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，則M中至少包含有8個(gè)元素．其中說法正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】新定義；數(shù)形結(jié)合；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合．【分析】對(duì)于①，先根據(jù)定義域選擇解析式來構(gòu)造不等式，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由2（1﹣x）≤x求解；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，由x﹣1≤x求解，取后兩個(gè)結(jié)果取并集；對(duì)于②，先求得f（0），f（1），f（2），再分別求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再觀察與自變量是否相等即可；對(duì)于③，看問題有2015，2016求值，一定用到周期性，所以先求出幾個(gè)，觀察是以4為周期，求解即可；對(duì)于④，結(jié)合①②③可得、0、1、2、、、、∈M，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=2（1﹣x）；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=x﹣1．即有f（x）=，畫出y=f（x）在[0，2]的圖象．對(duì)于①，可得f（x）≤x，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，x﹣1≤x成立；當(dāng)0≤x＜1時(shí)，2（1﹣x）≤x，解得≤x＜1，即有定義域?yàn)閧x|≤x≤2}，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)x=0時(shí)，f3（0）=f[f2（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；當(dāng)x=1時(shí)，f3（1）=f[f2（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；當(dāng)x=2時(shí)，f3（2）=f[f2（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；即有A=B，故②正確；對(duì)于③，f1（）=2（1﹣）=，f2（）=f（f（））=f（）=2（1﹣）=，f3（）=f（f2（））=f（）=﹣1=，f4（）=f（f3（））=f（）=2（1﹣）=，一般地，f4k+r（）=fr（）（k，r∈N）．即有f2015（）+f2016（）=f3（）+f4（）=+=，故③正確；對(duì)于④，由（1）知，f（）=，∴fn（）=，則f12（）=，∴∈M．由（2）知，對(duì)x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，則0、1、2∈M．由（3）知，對(duì)x=、、、，恒有f12（x）=x，∴、、、∈M．綜上所述、0、1、2、、、、∈M．∴M中至少含有8個(gè)元素．故④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)及分段不等式的解法，元素與集合關(guān)系的判定，函數(shù)的周期性，函數(shù)恒成立問題，分段函數(shù)問題要注意分類討論，還考查了分段函數(shù)多重求值，要注意從內(nèi)到外，根據(jù)自變量取值選擇好解析式．4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(n∈N*)，若前n項(xiàng)的和為，則項(xiàng)數(shù)為(

)A．12

B．11

C．10

D．9參考答案：C5.如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E、F為CD上兩點(diǎn)，且EF的長為定值，則下面四個(gè)值中不是定值的是（）A．點(diǎn)P到平面QEF的距離 B．直線PQ與平面PEF所成的角C．三棱錐P﹣QEF的體積 D．△QEF的面積參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】A．由于平面QEF即為對(duì)角面A1B1CD，點(diǎn)P為A1D1的中點(diǎn)，可得：點(diǎn)P到平面QEF即到對(duì)角面A1B1CD的距離=為定值；D．由于點(diǎn)Q到直線CD的距離是定值a，|EF|為定值，因此△QEF的面積=為定值；C．由A．D可知：三棱錐P﹣QEF的體積為定值；B．用排除法即可得出．【解答】解：A．∵平面QEF即為對(duì)角面A1B1CD，點(diǎn)P為A1D1的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P到平面QEF即到對(duì)角面A1B1CD的距離=為定值；D．∵點(diǎn)Q到直線CD的距離是定值a，|EF|為定值，∴△QEF的面積=為定值；C．由A．D可知：三棱錐P﹣QEF的體積為定值；B．直線PQ與平面PEF所成的角與點(diǎn)Q的位置有關(guān)系，因此不是定值，或用排除法即可得出．綜上可得：只有B中的值不是定值．故選：B．6.在等差數(shù)列{an}中，若，，則（

）A. B.1 C. D.參考答案：C【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再運(yùn)用通項(xiàng)公式解得首項(xiàng)即可．【詳解】由題意知，所以.故選C.7.函數(shù)是

（

）A.周期為的偶函數(shù)

B.周期為的奇函數(shù)C.周期為的偶函數(shù)

D.周期為的奇函數(shù)參考答案：C略8.函數(shù)f(x)＝x3－3x－3一定有零點(diǎn)的區(qū)間是A．(2，3)

B．(1，2)

C．(0，1)

D．(－1，0)參考答案：A略9.函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)是（

）A.7 B.5 C.3 D.1參考答案：A【分析】根據(jù)題意，分別討論，和兩種情況，根據(jù)函數(shù)解析式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，由，解得或，若，則或，解得或；或或；若，則或，解得；（2）當(dāng)時(shí)，由，解得或（舍），所以.若，則，解得；若，則，解得.綜上，方程的根的個(gè)數(shù)是7個(gè).故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查由復(fù)合函數(shù)值求參數(shù)的問題，靈活運(yùn)用分類討論的思想即可求解，屬于常考題型.10.設(shè)集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，則A∩B=（）A．? B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】找出A與B的公共元素即可求出交集．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，∴A∩B={2}．故選B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，，則_______，________參考答案：12.（3分）若函數(shù)f（x）=（x＞0）是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：（﹣1，+∞）考點(diǎn)： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍．解答： 根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性，若f（x）是減函數(shù)；則m+1＞0，m＞﹣1；∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣1，+∞）．故答案為：（﹣1，+∞）．點(diǎn)評(píng)： 考查反比例函數(shù)的一般形式，及反比例函數(shù)的單調(diào)性．13.已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

▲

.參考答案：；14.若f(x)＝（x＋1）（x–a）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=。答案:1解析：參考答案：1函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)；即(x+1)(x-a)=(-x+1)(-x-a)，解得：a=115.（5分）已知函數(shù)f（x）=msinx+cosx（m為常數(shù)，且m＜0）的最大值為2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為

（其中k∈Z）參考答案：[2kπ-π/4，2kπ+3π/4],（其中k∈Z）考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：先根據(jù)輔助角公式求出函數(shù)的最大值，即可求出m，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解答：根據(jù)輔助角公式可知函數(shù)f（x）的最大值為，即m2+2=4，∴m2=2，∵m＜0，∴m=﹣，即f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=2cos（x+），由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ-π/4，2kπ+3π/4],（其中k∈Z）.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)輔助角公式求出m是解決本題的關(guān)鍵．16.已知一圓錐表面積為15πcm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為cm．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，利用側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求得母線長與底面半徑之間的關(guān)系，代入表面積公式求r．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，∵側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，∴πl(wèi)=2πr?l=2r，∵圓錐的表面積為15π，∴πr2+πrl=3πr2=15π，∴r=，故圓錐的底面半徑為（cm）．故答案為：．17.=__________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）試討論的單調(diào)性.參考答案：（1）依題意，得解得：（2）函數(shù)f(x)是奇函數(shù).證明如下：

易知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又對(duì)定義域內(nèi)的任意有即

故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．

（3）由（2）知要判斷其單調(diào)性只需要確定在上的單調(diào)性即可設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且=

∵0＜x＜x＜1∴由得

即∴在上為減函數(shù);

同理可證在上也為減函數(shù).19.已知⊙O：x2+y2=1和定點(diǎn)A（2，1），由⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段PQ長的最小值；（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑最小值時(shí)⊙P的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程．【專題】壓軸題；直線與圓．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化簡可得a，b間滿足的等量關(guān)系．（2）由于PQ==，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．（3）設(shè)⊙P的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=的最小值為，此時(shí)，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）連接OQ，∵切點(diǎn)為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化簡可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故當(dāng)a=時(shí)，線段PQ取得最小值為．（3）若以P為圓心所作的⊙P的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故當(dāng)a=時(shí)，PO取得最小值為，此時(shí)，b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1．故半徑最小時(shí)⊙P的方程為+=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，圓的切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）如圖所示，圓錐的軸截面為等腰直角，為底面圓周上一點(diǎn).（1）若的中點(diǎn)為，,求證平面；（2）如果,,求此圓錐的全面積.參考答案：①連接OC，∵OQ=OB，C為QB的中點(diǎn)，∴OC⊥QB

…2分∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ∴SO⊥BQ，結(jié)合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC∵OH?平面SOC，∴BQ⊥OH，

…5分∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ內(nèi)的相交直線，∴OH⊥平面SBQ；

…6分②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，可得AB==4…8分∵圓錐的軸截面為等腰直角△SAB，∴圓錐的底面半徑為2，高SO=2，可得母線SA=2，因