2023-2024學年百校大聯(lián)考全國名校高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析

2023-2024學年百校大聯(lián)考全國名校高三沖刺模擬數(shù)學試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．3．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，4．若復數(shù)，則（）A． B． C． D．205．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．6．已知，，，若，則正數(shù)可以為（）A．4 B．23 C．8 D．177．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．58．若函數(shù)函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或010．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．3611．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．12．集合中含有的元素個數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．14．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為__________.15．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.16．已知實數(shù)，滿足，則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，，是邊上一點，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.18．（12分）移動支付（支付寶及微信支付）已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu)，隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下：（1）將上列聯(lián)表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡是否有關(guān)？（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查，從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵，設(shè)年齡都低于35歲（含35歲）的人數(shù)為，求的分布列及期望.（參考公式：（其中）19．（12分）管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.20．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0．（1）證明:f(x)+f(-1（2）若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空，求21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于坐標原點對稱．連接．求證：存在實數(shù)，使得成立．22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現(xiàn).3、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【點睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

化簡得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，復數(shù)的模，意在考查學生的計算能力.5、A【解析】

因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除B、D，又，排除C，故選A．6、C【解析】

首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，再代入驗證即可；【詳解】解：∵，∴當時，滿足，∴實數(shù)可以為8.故選：C【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復數(shù)的代數(shù)運算，復數(shù)相等的充要條件，復數(shù)的模8、C【解析】

轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點，求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點．記，則過原點作的切線，設(shè)切點為，則切線方程為，又切線過原點，即，將，代入解得．所以切線斜率為，所以或．故選：C【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應用，考查了學生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.9、C【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù)，當時，只需，即，令，利用導數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當時，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應用，屬于中檔題.10、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和.11、C【解析】

求出導函數(shù)，由有不等的兩實根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點睛】本題考查導數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．12、B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù)，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】設(shè)，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為414、【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系，進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關(guān)系，進而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.15、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當且僅當時取等.方法二：因為，所以，所以，當且僅當時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應用,考查學生對基本不等式的靈活使用,難度較易.16、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)理解為點與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：因為可以理解為點與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當目標函數(shù)過點時，斜率取得最大值，故的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查目標函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因為的面積為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值，屬于簡單題.18、（1）列聯(lián)表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關(guān)；（2）分布列見解析，期望為.【解析】

（1）根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關(guān).（2）首先確定的取值，求出相應的概率，可得分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關(guān).（2）根據(jù)分層抽樣，可知35歲以下（含35歲）的人數(shù)為8人，35歲以上的有2人，所以獲得獎勵的35歲以下（含35歲）的人數(shù)為，則的可能為1，2，3，且，，，其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進行判斷，另外，離散型隨機變量的分布列，在求解的過程中，注意變量的取值以及對應的概率要計算正確，注意離散型隨機變量的期望公式的使用，屬于中檔題目.19、（1）；（2）.【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；（2）利用導數(shù)求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，，所以，同理，.（2）設(shè)，則，令，則，即.設(shè)，且，則當時，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點睛】本題考查導數(shù)在實際問題中的應用，考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道中檔題.20、(1)見解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析：（1）直接計算f(x)+f(-1（1）f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|，分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.試題解析：（1）證明：函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜2，則f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥1=1．（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．當x≤a時，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，則f（x）≥﹣a；當a＜x＜時，f（x）=x﹣a+a﹣1x=﹣x，則﹣＜f（x）＜﹣a；當x時，f（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，則f（x）≥﹣．則f（x）的值域為[﹣，+∞）.不等式f（x）+f（1x）＜的解集非空，即為＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜2，則a的取值范圍是(-1,0)．考點：1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.21、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）由點可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點B與點Q關(guān)于原點對稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為，聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因為,所以,又因為點B與點Q關(guān)于原點對稱,所以,即,則有,由點在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實數(shù),使成立【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考