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文檔簡介
江蘇省南通市海安縣南莫中學(xué)2023-2024學(xué)年高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn),,,,則的面積是()A. B. C. D.2.集合中含有的元素個數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.123.已知函數(shù)(),若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn),則的值為()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或04.已知平面和直線a,b,則下列命題正確的是()A.若∥,b∥,則∥ B.若,,則∥C.若∥,,則 D.若,b∥,則5.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.6.已知拋物線:()的焦點(diǎn)為,為該拋物線上一點(diǎn),以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn),,則拋物線方程為()A. B. C. D.7.如圖,拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))長為半徑的圓交于,兩點(diǎn),則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定8.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.710.2019年10月1日,為了慶祝中華人民共和國成立70周年,小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?,這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強(qiáng)”、“興國之路”,為了弄清“國富民強(qiáng)”這一作品是誰制作的,村支書對三人進(jìn)行了問話,得到回復(fù)如下:小明說:“鴻福齊天”是我制作的;小紅說:“國富民強(qiáng)”不是小明制作的,就是我制作的;小金說:“興國之路”不是我制作的,若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“鴻福齊天”的制作者是()A.小明 B.小紅 C.小金 D.小金或小明11.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.512.若兩個非零向量、滿足,且,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.銳角中,角,,所對的邊分別為,,,若,則的取值范圍是______.14.若,則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_______.15.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.16.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個極值點(diǎn)x1,x2,且滿足1e(e為自然對數(shù)的底數(shù))求x1?x2的最大值.18.(12分)某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時(shí),需要送維修處維修.工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天,隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)19.(12分)已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=2,動點(diǎn)C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)D在曲線G上,是坐標(biāo)原點(diǎn),判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.20.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),對于任意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn),求的值;(2)若不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.22.(10分)已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過上一點(diǎn)()作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與交于,兩點(diǎn),(1)證明:直線的斜率是-1;(2)若,,成等比數(shù)列,求直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進(jìn)而求出,然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B3、C【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),只需,即,令,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,即可求出參數(shù)的值,當(dāng)時(shí),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可判斷;【詳解】解:∵(),∴,∴當(dāng)時(shí),由得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是極小值,∴只需,即.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵,∴;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∵,,函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn),∴的值是1或0.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于中檔題.4、C【解析】
根據(jù)線面的位置關(guān)系,結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時(shí),也可以滿足∥,b∥,故本命題不正確;B:當(dāng)時(shí),也可以滿足,,故本命題不正確;C:根據(jù)平行線的性質(zhì)可知:當(dāng)∥,,時(shí),能得到,故本命題是正確的;D:當(dāng)時(shí),也可以滿足,b∥,故本命題不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了線面的位置關(guān)系,考查了平行線的性質(zhì),考查了推理論證能力.5、A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計(jì)算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),,且平面,,的中點(diǎn)為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.6、C【解析】
根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)軸、列方程,解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,由于在拋物線上,所以,由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn),根據(jù)拋物線的定義可知,、軸,且.由于,所以直線的傾斜角為,所以,解得,或(由于,故舍去).所以拋物線的方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線的斜率,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.7、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),據(jù),得,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點(diǎn),據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個不同的零點(diǎn),且在這兩個零點(diǎn)的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別,此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點(diǎn)情況,本題屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得:,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過程.10、B【解析】
將三個人制作的所有情況列舉出來,再一一論證.【詳解】依題意,三個人制作的所有情況如下所示:123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確,則均不滿足;若小紅的說法正確,則4滿足;若小金的說法正確,則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
設(shè)平面向量與的夾角為,由已知條件得出,在等式兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值,即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為,,可得,在等式兩邊平方得,化簡得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值,考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由余弦定理,正弦定理得出,從而得出,推出的范圍,由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍,再利用二倍角公式化簡,即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形,則,,.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】
首先根據(jù)定積分的應(yīng)用求出的值,進(jìn)一步利用二項(xiàng)式的展開式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】,根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng):,令,解得,所以含的項(xiàng)的系數(shù).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查定積分,二項(xiàng)式的展開式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、55【解析】
由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)【解析】
(1)化簡函數(shù)h(x),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出(2)函數(shù)f(x)恰有兩個極值點(diǎn)x1,x2,則f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消參數(shù)m化簡整理可得ln(x1x2)=ln?,設(shè)t,構(gòu)造函數(shù)g(t)=()lnt,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值.【詳解】(1)令m=2,函數(shù)h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí),h′(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),h′(x)<0,∴函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函數(shù)f(x)恰有兩個極值點(diǎn)x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個不等正根,∴l(xiāng)nx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,兩式相減可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),兩式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴l(xiāng)n(x1x2)=ln?,設(shè)t,∵1e,∴1<t≤e,設(shè)g(t)=()lnt,∴g′(t),令φ(t)=t2﹣1﹣2tlnt,∴φ′(t)=2t﹣2(1+lnt)=2(t﹣1﹣lnt),再令p(t)=t﹣1﹣lnt,∴p′(t)=10恒成立,∴p(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴φ′(t)=p(t)>p(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴φ(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g′(t)=φ(t)>φ(1)=1﹣1﹣2ln1=0,∴g(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g(t)max=g(e),∴l(xiāng)n(x1x2),∴x1x2故x1?x2的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值,考查了函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題18、(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】
(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結(jié)果,判斷至少增加2人.【詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),a,b的值可能為:,或,或.經(jīng)計(jì)算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差,屬于中等題.19、(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得,由此判斷出點(diǎn)的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】(1)因?yàn)閳AE為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點(diǎn)C的軌跡為以點(diǎn)A和點(diǎn)B為焦點(diǎn)的橢圓(點(diǎn)不在軸上),所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,(2)因?yàn)?,故四邊形為平行四邊?當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),則四邊形為為菱形,故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時(shí)可求得四邊形OMDN的面積為.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點(diǎn)O到直線MN的距離d,由,得xD,yD,∵點(diǎn)D在曲線C上,所以將D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的面積為S,由1+2k2=2m2得S,故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查用定義法求軌跡方程,考查橢圓中四邊形面積的計(jì)算,考查橢圓中的定值問題,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1)極小值為,極大值為.(2)【解析】
(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù),再對函數(shù)求導(dǎo),即可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)題意,對目標(biāo)式進(jìn)行變形,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可求得結(jié)果.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,,,可知,,解得,,可知在,時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,在時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,可知函數(shù)的極小值為,極大值為.(2)可以變形為
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