考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷207(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷207(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3一1在點(diǎn)(1，一1)處切線相同，則()．A．a(chǎn)=1，b=1B．a(chǎn)=一1，b=一1C．a(chǎn)=2，b=1D．a(chǎn)=一2，b=一1．正確答案：B解析：由y=x2+ax+b得y’=2x＋a，2y=xy3一1兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2y’－y3＋3xy2y’，解得y’=，因?yàn)閮汕€在點(diǎn)(1，一1)處切線相同，所以，應(yīng)選(B)．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)2．設(shè)L為由y2=x＋3及x=2圍成的區(qū)域的邊界，取逆時(shí)針方向，則等于()．A．一2πB．2πC．πD．0正確答案：B解析：取C：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L內(nèi)，取逆時(shí)針)，P(x，y)=設(shè)由L及Cr所圍成的區(qū)域?yàn)镈r，由Cr圍成的區(qū)域?yàn)镈0，由格林公式得知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)3．設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，則()．A．發(fā)散B．收斂于C．收斂于0D．?dāng)可⑿圆淮_定正確答案：B解析：因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)=+∞．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)填空題4．=________．正確答案：解析：知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)5．設(shè)f(x)連續(xù)，且F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)=________．正確答案：a2f(a)解析：知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)6．曲線ex＋y一sin(xy)=e在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為_________．正確答案：y=(－1)x＋1解析：exy—sin(xy)=e兩邊對(duì)x求導(dǎo)得ex＋y．(1+y’)一cos(xy)．(y+xy’)=0，將x=0，y=1代入得y’(0)=—1，所求的切線為y一1=(一1)x，即y=(一1)x+1．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)7．曲線y=(3x+2)的斜漸近線為_________．正確答案：y=3x＋5解析：由=5得曲線的斜漸近線為y=3x+5．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)8．曲面x2+2y2+3z2=21在點(diǎn)(1，一2，2)處的法線方程為________．正確答案：解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法線方程為．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)9．設(shè)y=2e－x+exsinx為y’’’+py’’+qy’+ry=0的特解，則該方程為________．正確答案：y’’’一2y’’+2y=0解析：三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征值為λ1=一1，λ2，3=1±i，特征方程為(λ+1)(λ一1一i)(λ一1+i)=0，整理得λ3一λ2+2=0，所求方程為y’’’一2y’’+2y=0．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．求．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)11．求(其中ai＞0(i=1，2，…，n))正確答案：所以原式=a1a2…an．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)12．設(shè)f(x)=討論f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．正確答案：f(0)=f(0—0)=0，f(0+0)==0．由f(0一0)=f(0+0)=f(0)得f(x)在x=0處連續(xù)：由=0得f－’(0)=0．=0得f＋’(0)=0，因?yàn)閒－’(0)=f＋’(0)=0，所以f(x)在x=0處可導(dǎo)．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)13．設(shè)0＜a＜1，證明：方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根．正確答案：令f(x)=arctanx—ax，由f’(x)=，由f’’(x)=為f(x)的最大點(diǎn)，由=一∞，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根，位于內(nèi)．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)14．求．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)15．求．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)16．設(shè)f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．正確答案：令A(yù)=∫01f(x)dx，f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx兩邊積分得A=∫01xe2xdx＋2A，解得A=∫01f(x)dx=一∫01xe2xdx=一∫01xd(e2x)=一．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)17．求∫－22(3x+1)max｛2，x2｝dx．正確答案：∫－222(3x+1)max{2，x2}dx=∫－22max｛2，x2｝dx=2∫02max｛2，x2｝dx，由max｛2，x2｝=得∫－22(3x+1)max{2，x2}dx=．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)18．求曲線y=cosx與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．正確答案：Vx=．取[x，x+dx]，則dVy=2πxcosxdx，涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)19．設(shè)y=y(x)，z=z(x)由．正確答案：兩邊對(duì)x求導(dǎo)得涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)20．求函數(shù)μ=x2+yz的梯度方向的方向?qū)?shù)．正確答案：x2＋yz的梯度為l=｛x，z，y｝，梯度的方向余弦為故所求的方向?qū)?shù)為．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)21．設(shè)D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤}，求｜x—y｜dxdy．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)22．求(x+y)2dy．正確答案：令，則涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)23．計(jì)算I=被z=1和z=2截得部分的下側(cè)．正確答案：令∑1：z=1(x2+y2≤1)取下側(cè)，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上側(cè)，=∫12ezdz∫02πdθ∫0zdr=2π∫12zezdz=2π(z－1)ez｜12=2πe2涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)24．判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂．正確答案：，又當(dāng)n充分大時(shí)，單調(diào)減少，且=0．所以級(jí)數(shù)條件收斂．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)25．求微分方程(y+)dx一xdy=0(x＞0)的滿足初始條件y(1)=0的解．正確答案：由(y＋)dx一xdy=0，得．令μ==lnx+lnC，即μ+=Cx，將初始條件y(1)=0代入得C=1．由，即滿足初始條件的特解為y=．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)26．設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且滿足，f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小，求f(x)．正確答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得f(x)=[a∫(x一1)e∫