二次函數(shù)綜合題2021年二模（解析版）

二次函數(shù)綜合題2021年二模1．校園聚集現(xiàn)象是現(xiàn)在的熱點話題，為了錯開上學(xué)時間，某校中午13：30至13：40之間的十分鐘是九年級同學(xué)們上學(xué)的集中時間，規(guī)定時間內(nèi)到達學(xué)校門口的累積九年級學(xué)生數(shù)y（人數(shù)）隨時間x（分鐘）的變化情況如圖所示，已知這十分鐘的變化情況可以看成是二次函數(shù)，并在第10分鐘累積學(xué)生數(shù)達到最多．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)前疫情防控處于常態(tài)化，學(xué)生們進入校園均需進行體溫檢測，已知該校同時開啟南門、西門、北門的三個體溫檢測點，已知每個檢測點每分鐘可以檢測40人，已知第x分鐘學(xué)校門口排隊人數(shù)為z人，求z關(guān)于x的解析式，并求出z的最大值．【答案】（1）y=-12（x-10）2+1200；（2）z=-（x-10）2+100，100【分析】（1）由題意，知道頂點坐標和經(jīng)過原點，利用待定系數(shù)法，即可求出答案；（2）由題意，，然后求出解析式，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵在第10分鐘累積學(xué)生數(shù)達到最多為1200人，∴該拋物線的頂點為（10，1200），設(shè)拋物線的頂點解析式為，把原點（0，0）代入，則，∴，∴拋物線的解析式為；（2）∵該校同時開啟南門、西門、北門的三個體溫檢測點，已知每個檢測點每分鐘可以檢測40人，∴，即，∴，∴；∴當(dāng)時，則z的最大值為；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵．2．某超市經(jīng)銷A、B兩種商品．商品A每千克成本為20元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天銷售單價、銷售量的對應(yīng)值如下表所示：銷售單價x（元/千克）25303540銷售量y（千克）50403020商品B的成本為6元/千克，銷售單價為10元/千克，但每天供貨總量只有60千克，且能當(dāng)天銷售完．為了讓利消費者，超市開展了“買一送一”活動，即買1千克的商品A，免費送1千克的商品B．（1）求y（千克）與x（元千克）之間的函數(shù)表達式；（2）設(shè)這兩種商品的每天銷售總利潤為w元，求出w（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若商品A的售價不低于成本，不高于成本的180%，當(dāng)銷售單價定為多少時，才能使當(dāng)天的銷售總利潤最大？最大利潤是多少？（總利潤=兩種商品的銷售總額-兩種商品的成本）【答案】（1）y=-2x+100．（2）=；（3）當(dāng)銷售單價定為36元時，才能使當(dāng)天的銷售總利潤最大，最大利潤是408元【分析】（1）利用待定系數(shù)法來求一次函數(shù)的解析式即可；（2）利用每件的利潤乘以銷售量可得總利潤列出w（元）與x的函數(shù)關(guān)系式即可；（3）依題意可確定x的取值范圍，然后利用每件的利潤乘以銷售量可得總利潤，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來進行計算即可．．【詳解】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達式為y=kx+b（k≠0），將表中數(shù)據(jù)（25，50）、（30，40）代入得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)表達式為y=-2x+100．（2）當(dāng)x=20時，y=-2×20+100=60∴====；（3）由題意得，，∴∴對稱軸為直線∵最接近40，此時最大，最大值為：故當(dāng)銷售單價定為36元時，才能使當(dāng)天的銷售總利潤最大，最大利潤是408元【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．某商店經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表：時間x(天)1≤x＜5050≤x≤90售價(元/件)x＋4090每天銷量(件)200－2x已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)y＝；(2)該商品第45天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是6050元．【分析】（1）分1≤x＜50和50≤x≤90兩種情況進行討論，利潤=每件的利潤×銷售的件數(shù)，即可求得函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合（1）得到的兩個解析式，結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值，然后兩種情況下取最大值即可．【詳解】（1）當(dāng)1≤x＜50時，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；當(dāng)50≤x≤90時，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000．∴y＝（2）當(dāng)1≤x＜50時，二次函數(shù)的圖象開口下、對稱軸為x＝45，∴當(dāng)x＝45時，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；當(dāng)50≤x≤90時，一次函數(shù)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝50時，y最大＝6000．∴綜上所述，該商品第45天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是6050元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的增減性確定最值是解題的關(guān)鍵.4．某茶社經(jīng)銷某品牌菊花茶，每千克成本為60元，規(guī)定每千克售價需超過成本，但每千克售價不超過100元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：其日銷售量（千克）與售價（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)日利潤為（元），求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明日利潤隨售價的變化而變化的情況以及最大日利潤；（3）若該茶社想獲得不低于1350元日利潤，請直接寫出售價（元/千克）的范圍．【答案】（1）y=2x+240；（2）當(dāng)x=90時，W最大值為1800；（3）75≤x≤100．【分析】（1）待定系數(shù)法求解可得；（2）根據(jù)“總利潤每千克利潤銷售量”可得函數(shù)解析式，將其配方成頂點式即可得最值情況；（3）根據(jù)題意列出不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得的范圍．【詳解】解：（1）設(shè)，將、代入，得：，解得：，；（2），當(dāng)時，最大值，答：與之間的函數(shù)表達式為，售價為60元時獲得最大利潤，最大利潤是1600元；（3），解得：，由每千克售價不超過100元則答：售價（元千克）的范圍為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)．5．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)C1：y＝x2＋bx＋c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，二次函數(shù)C2：y＝x2－3x＋4的圖像經(jīng)過B、C兩點，與x軸的另一個交點為D，且點D在點B的左側(cè)．（1）求b、c的值；（2）點P（x、y）（1＜x＜4）是二次函數(shù)C1的圖象上一動點，過點P作PE//x軸交直線AC于點E，過點P作PQ//y軸交二次函數(shù)C2的圖象于點Q，求PE＋PQ的最大值．【答案】（1）b＝1，c＝4；（2）【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)C2求得B和C點坐標，再利用待定系數(shù)法即可求得C1的解析式，從而求得b和c的值；（2）作出對應(yīng)圖象，表示PE和PQ的長度，再利用二次函數(shù)的增減性及最值即可求得最大值．【詳解】解：（1）令，解得，∴，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，∴，將點代入得，，解得；（2）由（1）可得二次函數(shù)，令，解得，∴．∵直線經(jīng)過點，∴直線的解析式為，∵點P在二次函數(shù)的圖象上，∴設(shè)點，如答案圖，∵軸交直線于點E，∴點P和點E的縱坐標相等，設(shè)點E的橫坐標為m，則，∴，∴，∵，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值是．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，一般都為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的最值求出線段和的最大值．6．某校了解學(xué)生午餐排隊情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生排隊累計的人數(shù)（人）隨時間（分鐘）的變化情況滿足關(guān)系式，其中．與的部分對應(yīng)值如表；時間（分鐘）012…累計人數(shù)（人）058112…（1）求與之間的函數(shù)解析式；（2）若食堂就餐排隊窗口每分鐘可減少排隊人數(shù)32人，求排隊等待的學(xué)生人數(shù)最多時有多少人？（排隊等待的學(xué)生人數(shù)排隊累計的人數(shù)減少的排隊人數(shù)）【答案】（1）；（2）98【分析】（1）由待定系數(shù)法代入求解即可．（2）排隊等待的學(xué)生人數(shù)排隊累計的人數(shù)減少的排隊人數(shù)，每分鐘可減少排隊人數(shù)32人，即在原解析式上減去，即，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，y最大．【詳解】（1）由題意得：解得：y與x之間的函數(shù)解析式為（2）設(shè)第x分鐘時排隊等待的學(xué)生人數(shù)為z人，由題意得：當(dāng)時，z的最大值為98．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，理清題目中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法、頂點式求最值的方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．春節(jié)期間商家銷售某種紀念品，進價為12元/只，售價為20元/只，為了促銷，該商家決定凡是一次購買10只以上的，每多買一只，售價就降低0.10元[例如：某人買20只這種紀念品，于是每只降價元，就可以按19元/只的價格購買]，但是最低價為16元/只，（1）求顧客一次至少購買多少只，才能以最低價購買？（2）求出當(dāng)一次購買只時，總利潤（元）與購買量（只）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）有一天，一位顧客一次購買了46只，另一位顧客一次購買了50只，商家發(fā)現(xiàn)賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的數(shù)量越多賺的錢也越多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價16元/只至少要提高到多少？為什么？【答案】（1）顧客一次至少購買50只，才能以最低價購買；（2）y＝；最低價至少要提高到16.5元/只，理由見詳解．【分析】（1）理解促銷方案，正確表示售價，得方程求解；（2）分類討論，①10＜x≤50，②x＞50，分別得出y與x的表達式即可；（3）由（2）可得當(dāng)10＜x＜50時，y＝?0.1（x?45）2＋202.5，從而得x＝45時，y最大，進而即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)顧客一次至少購買m只，才能以最低價購買，根據(jù)題意得：20?0.10（m?10）＝16，解得：m＝50．答：顧客一次至少購買50只，才能以最低價購買；（2）當(dāng)10＜x＜50時，y＝[20?0.10（x?10）?12]x＝?0.1x2＋9x，當(dāng)x≥50時，y＝（16?12）x＝4x，即：y＝；（3）為了使每次賣的