第22章 二次函數(shù)（原卷版）

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)考點(diǎn)精講精練第22章《二次函數(shù)》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點(diǎn)01：二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

細(xì)節(jié)剖析：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的.知識點(diǎn)02：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)

開口向上

當(dāng)時(shí)

開(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口；當(dāng)時(shí)，開口；相等，拋物線的

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，

故：①時(shí)，對稱軸為軸；②(即、同號)時(shí)，對稱軸在軸；③(即、異號)時(shí)，對稱軸在軸.

(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(diǎn)(0，)：

①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②，與軸交于；③，與軸交于.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的，通常選擇.

(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).細(xì)節(jié)剖析：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．知識點(diǎn)03：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個實(shí)數(shù)解方程有實(shí)數(shù)解

方程實(shí)數(shù)解細(xì)節(jié)剖析：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)由的值來確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程.

知識點(diǎn)04：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)模?/p>

(2)把實(shí)際問題中的一些聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去細(xì)節(jié)剖析：常見的問題：求最大(小)值(如等)、的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征1．（2022秋?平陽縣月考）二次函數(shù)y＝2x2的圖象如圖所示，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B、C在函數(shù)圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠AOB＝30°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣1，） D．（﹣1，）2．（2022?思明區(qū)校級二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)P（2，y0），且對于拋物線上任意一點(diǎn)（x1，y1）都有y1≥y0，若點(diǎn)A（﹣2，m+2）與點(diǎn)B（t，n）均在該拋物線上，且m﹣n＜﹣2，則t的值可以是（）A．7 B．4 C．1 D．﹣13．（2022秋?通州區(qū)校級月考）設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝x2﹣2x+c上的三點(diǎn)，y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2考點(diǎn)02：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征4．（2022秋?福清市校級月考）拋物線y＝x2﹣2x﹣1與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．5．（2022?南關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）與y軸交于點(diǎn)A，過A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，以AC為對角線作菱形ABCD，若菱形的頂點(diǎn)B恰好落在x軸上，則菱形ABCD的面積為．6．（2022?朝陽區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；（2）若點(diǎn)（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在拋物線上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范圍．7．（2018?黃岡）已知直線l：y＝kx+1與拋物線y＝x2﹣4x．（1）求證：直線l與該拋物線總有兩個交點(diǎn)；（2）設(shè)直線l與該拋物線兩交點(diǎn)為A，B，O為原點(diǎn)，當(dāng)k＝﹣2時(shí)，求△OAB的面積．考點(diǎn)03：二次函數(shù)圖象與幾何變換8．（2022?宿豫區(qū)開學(xué)）將拋物線y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣29．（2022?瑞安市校級三模）如圖，將一個含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使直角頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C在y軸上．過點(diǎn)A，C作拋物線y＝2x2+bx+c，且點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)．要使這條拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，那么拋物線要沿對稱軸向下平移（）A．5個單位 B．6個單位 C．7個單位 D．8個單位10．（2022?揭陽一模）拋物線y＝（x﹣1）2+3關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式是．11．（2022?浦江縣模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+1與拋物線y＝kx2﹣2的交點(diǎn)在x軸上，現(xiàn)將拋物線y＝﹣x2+1向下平移個單位，y＝kx2﹣2向上平移個單位，平移后兩條拋物線的交點(diǎn)還在x軸上．12．（2021秋?蜀山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣1，1）在拋物線y＝x2+2bx+c上．（1）c＝（用含b的式子表示）；（2）若將該拋物線向右平移t個單位（t≥），平移后的拋物線仍經(jīng)過A（﹣1，1），則平移后拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為．13．（2022?河北）如圖，點(diǎn)P（a，3）在拋物線C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的對稱軸右側(cè)．（1）寫出C的對稱軸和y的最大值，并求a的值；（2）坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)P及C的一段，分別記為P′，C′．平移該膠片，使C′所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為y＝﹣x2+6x﹣9．求點(diǎn)P′移動的最短路程．14．（2021?陜西模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線的頂點(diǎn)M與對稱軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，直線AN交拋物線于點(diǎn)D．直線BE交AD于點(diǎn)E，若直線BE將△ABD的面積分為1：2的兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．考點(diǎn)04：二次函數(shù)的三種形式15．（2022?成都模擬）將二次函數(shù)y＝x2﹣14x+13化為y＝（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為（）A．y＝（x+7）2+49 B．y＝（x+7）2﹣36 C．y＝（x﹣7）2+49 D．y＝（x﹣7）2﹣3616．（2021秋?三明期末）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3通過配方可化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣117．（2020秋?龍巖期末）將二次函數(shù)y＝x2+6x+2化成y＝（x﹣h）2+k的形式應(yīng)為（）A．y＝（x+3）2﹣7 B．y＝（x﹣3）2+11 C．y＝（x+3）2﹣11 D．y＝（x+2）2+418．（2019秋?大連期中）將二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣5化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣119．（2020秋?合肥期末）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法轉(zhuǎn)化成y＝a（x﹣h）2+k，再寫出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸以及描述該函數(shù)的增減性．20．（2017秋?綏濱縣校級月考）用配方法把二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，再指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)05：拋物線與x軸的交點(diǎn)21．（2022秋?溫州月考）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+1交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（）A．6 B．4 C． D．222．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0②3a+c＝0③當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣1≤x＜3④點(diǎn)（﹣2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個23．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，比較下列各式與0的大?。賏bc0；②b2﹣4ac0；③（a+c）2﹣b20．24．（2022?南關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA＝OB，頂點(diǎn)C、D在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸正半軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為．25．（2022春?長沙期末）定義：如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），那么我們把線段AB叫做雅禮弦，AB兩點(diǎn)之間的距離l稱為拋物線的雅禮弦長．（1）求拋物線y＝x2﹣2x﹣3的雅禮弦長；（2）求拋物線y＝x2+（n+1）x﹣1（1≤n＜3）的雅禮弦長的取值范圍；（3）設(shè)m，n為正整數(shù)，且m≠1，拋物線y＝x2+（4﹣mt）x﹣4mt的雅禮弦長為l1，拋物線y＝﹣x2+（t﹣n）x+nt的雅禮弦長為l2，s＝l12﹣l22，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，若不論t為何值，s≥0恒成立，求m，n的值．26．（2022?東明縣二模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），P是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN∥y軸交x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)Q是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且△QMC和△PMC的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．考點(diǎn)06：二次函數(shù)的應(yīng)用27．（2022秋?通州區(qū)校級月考）使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝ax2+bx+c（a≠0），如圖記錄了某種家用節(jié)能燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o的旋較角度約為（）度．A．36 B．45 C．50 D．4228．（2022?杏花嶺區(qū)校級模擬）太原某中學(xué)利用學(xué)校的體育場地設(shè)施和設(shè)備，充分調(diào)動全體師生的積極性，廣泛開展各項(xiàng)體育活動，努力提高學(xué)生的身體素質(zhì)，如圖①是小杰在鉛球比賽中的一次擲球，鉛球出手以后的軌跡可近似看作是拋物線的一部分，已知鉛球出手時(shí)離地面1.6米，鉛球離拋擲點(diǎn)水平距離3米時(shí)達(dá)到最高，此時(shí)鉛球離地面2.5米，如圖②，以水平面為x軸，小杰所站位置的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則他擲鉛球的運(yùn)動路線的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B． C． D．29．（2022?石家莊三模）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．有下列結(jié)論：①AB＝24m；②池底所在拋物線的解析式為y＝﹣5；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①④30．（2022?沂南縣一模）足球運(yùn)動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系如表：下列結(jié)論不正確的是（）t01234567…h(huán)08141820201814…A．足球距離地面的最大高度超過20m B．足球飛行路線的對稱軸是直線t＝ C．點(diǎn)（10，0）在該拋物線上 D．足球被踢出5s～7s時(shí)，距離地面的高度逐漸下降31．（2022?徐州一模）北京冬奧會跳臺滑雪項(xiàng)目比賽其標(biāo)準(zhǔn)臺高度是90m．運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m32．（2022?新樂市校級模擬）某超市銷售一款洗手液，其成本價(jià)為每瓶16元，當(dāng)銷售單價(jià)定為20元時(shí)，每天可售出80瓶．根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定降價(jià)銷售．市場調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價(jià)不低于成本價(jià)），若設(shè)這款的銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為（瓶）．（1）每天的銷售量y（瓶）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）銷售這款“洗手液”每天的最大利潤為．33．（2022?新樂市校級模擬）某市政府加大各部門和單位對口扶貧力度．某單位的幫扶對象種植的農(nóng)產(chǎn)品在某月（按30天計(jì)）的第x天（x為正整數(shù)）的銷售價(jià)格p（元/千克）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為p＝銷售量y（千克）與x之間的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝；（2）若該農(nóng)產(chǎn)品當(dāng)月的銷售額最大，最大銷售額是.（銷售額＝銷售量×銷售價(jià)格）34．（2022?威縣校級模擬）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成功．彈力球著地前后的運(yùn)動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線．如圖16，甲站在原點(diǎn)處，從離地面高度為1m的點(diǎn)A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點(diǎn)C處，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+2．（1）a的值為；點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為；（2）若