中考數(shù)學復習二次函數(shù)教案

中考數(shù)學專題復習五二次函數(shù)【教學筆記】考點一：求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)給定點的特性選擇適宜的式子來求解.已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最大值時，可設頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k.已知拋物線與x軸兩交點坐標或已知拋物線與x軸一交點坐標與對稱軸，可通過設交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)來求解；所給的三個條件是任意三點時，可設一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后組成三元一次方程組來求解.考點二：根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)判斷代數(shù)式的符號二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.注意二次函數(shù)的系數(shù)與其圖象的形狀、對稱軸、特殊點的關系.二次函數(shù)與x、y軸的交點問題，根據(jù)題意得出拋物線對稱軸.考點三：二次函數(shù)與實際問題如物體的運動

規(guī)律問題、銷售利潤問題、幾何圖形的變更問題、存在性問題等.

最值問題函數(shù)與方程結(jié)合考點四：二次函數(shù)的綜合應用動點問題數(shù)形結(jié)合分類討論與幾何圖形結(jié)合、勾股定理等

【典型例題】考點一：求二次函數(shù)的解析式【例1】例1：（2016?四川攀枝花）將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為（C） A．y=﹣2（x+1）2 B．y=﹣2（x+1）2+2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2+1【例2】（2016?資陽）已知拋物線與x軸交于A（6，0）、B（﹣，0）兩點，與y軸交于點C，過拋物線上點M（1，3）作MN⊥x軸于點N，連接OM．（1）求此拋物線的解析式；（2）如圖1，將△OMN沿x軸向右平移t個單位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′與直線AC分別交于點E、F．①當點F為M′O′的中點時，求t的值；②如圖2，若直線M′N′與拋物線相交于點G，過點G作GH∥M′O′交AC于點H，試確定線段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+），把點M（1，3）代入即可求出a，進而解決問題．（2））①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′，首先證明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解決問題．②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大時，EH最大，構(gòu)建二次函數(shù)求出EG的最大值即可解決問題．【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+），把點M（1，3）代入得a=﹣，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+），∴y=﹣x2+x+2．（2）①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′．∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，∴==3，∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，∴△AOC∽△MNO，∴∠OAC=∠NMO，∵∠NMO+∠MON=90°，∴∠MON+∠OAC=90°，∴∠AGO=90°，∴OM⊥AC，∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，∴O′M′∥OM，∴O′M′⊥AC，∵M′F=FO′，∴EM′=EO′，∵EN′∥CO，∴=，∴=，∴EN′=（5﹣t），在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，∴（+t）2=1+（﹣t）2，∴t=1．②如圖2中，∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，∴GH⊥AC，∴∠GHE=90°，∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，∴△GHE∽△AOC，∴==，∴EG最大時，EH最大，∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．∴t=2時，EG最大值=，∴EH最大值=．∴t=2時，EH最大值為．【例3】（2013?資陽）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C、D作拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點為E，連結(jié)CE，點A、B、D的坐標分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）已知拋物線的對稱軸l交x軸于點F，交線段CD于點K，點M、N分別是直線l和x軸上的動點，連結(jié)MN，當線段MN恰好被BC垂直平分時，求點N的坐標；（3）在滿足（2）的條件下，過點M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線的解析式．考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求點C的坐標，由待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）連結(jié)BD交對稱軸于G，過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式，根據(jù)拋物線對稱軸公式可求對稱軸，由此即可求出點N的坐標；（3）過點M作直線交x軸于點P1，分點P在對稱軸的左側(cè)，點P在對稱軸的右側(cè)，兩種情況討論即可求出直線的解析式．解答：解：（1）∵點A、B、D的坐標分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=5，∴點C的坐標為（5，4），∵過點A、C、D作拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），∴，解得．故拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4．（2）連結(jié)BD交對稱軸于G，在Rt△OBD中，易求BD=5，∴CD=BD，則∠DCB=∠DBC，又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE，過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，易證GH=HN，∴點G與點M重合，故直線BD的解析式y(tǒng)=﹣x+4根據(jù)拋物線可知對稱軸方程為x=，則點M的坐標為（，），即GF=，BF=，∴BM==，又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=，∴點N的坐標為（，0）；（3）過點M作直線交x軸于點P1，易求四邊形AECD的面積為28，四邊形ABCD的面積為20，由“四邊形AECD的面積分為3：4”可知直線P1M必與線段CD相交，設交點為Q1，四邊形AP1Q1D的面積為S1，四邊形P1ECQ1的面積為S2，點P1的坐標為（a，0），假設點P在對稱軸的左側(cè)，則P1F=﹣a，P1E=7﹣a，由△MKQ1∽△MFP1，得=，易求Q1K=5P1F=5（﹣a），∴CQ1=﹣5（﹣a）=5a﹣10，∴S2=（5a﹣10+7﹣a），根據(jù)P1（，0），M（，）可求直線P1M的解析式為y=x﹣6，若點P在對稱軸的右側(cè)，則直線P2M的解析式為y=﹣x+．點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，拋物線對稱軸公式，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．【課后練習】（2016?四川成都）將拋物線y=x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達式為（A）A．y=（x+2）2﹣3 B． y=（x+2）2+3 C． y=（x﹣2）2+3 D． y=（x﹣2）2﹣3(20XX年四川資陽)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標；（3）將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S．分析：（1）根據(jù)對稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）分三種情況：①當MA=MB時；②當AB=AM時；③當AB=BM時；三種情況討論可得點M的坐標．（3）平移后的三角形記為△PEF．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．分二種情況：①當0＜m≤時；②當＜m＜3時；討論可得用m的代數(shù)式表示S．解答： 解：（1）由題意可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），則，解得．故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）①當MA=MB時，M（0，0）；②當AB=AM時，M（0，﹣3）；③當AB=BM時，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以點M的坐標為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形記為△PEF．設直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得．則直線AB的解析式為y=﹣x+3．△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．設直線AC的解析式為y=k′x+b′，則，解得．則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．①當0＜m≤時，如圖1所示．設PE交AB于K，EF交AC于M．則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，聯(lián)立，解得，即點M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF?h=﹣（3﹣m）2﹣m?2m=﹣m2+3m．②當＜m＜3時，如圖2所示．設PE交AB于K，交AC于H．因為BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因為直線AC的解析式為y=﹣2x+6，所以當x=m時，得y=6﹣2m，所以點H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA?PH﹣PA2=﹣（3﹣m）?（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．綜上所述，當0＜m≤時，S=﹣m2+3m；當＜m＜3時，S=m2﹣3m+．(20XX年四川資陽)已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），點C關于x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，則這條拋物線的解析式為_____________________．解析：先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交點C′的坐標為（1，4），再求出“夢之星”拋物線y=x2+2x+1的頂點A坐標（﹣1，0），接著利用點C和點C′關于x軸對稱得到C（1，﹣4），則可設頂點式y(tǒng)=a（x﹣1）2﹣4，然后把A點坐標代入求出a的值即可得到原拋物線解析式．解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A點坐標為（﹣1，0），解方程組得或，∴點C′的坐標為（1，4），∵點C和點C′關于x軸對稱，∴C（1，﹣4），設原拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，∴原拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案為y=x2﹣2x﹣3．(20XX年四川成都)將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為（）（A）（B）（C）（D）解：.故選D?？键c二：根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)判斷代數(shù)式的符號【例1】(20XX年四川資陽)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正確結(jié)論的個數(shù)是（） A．4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個解：∵拋物線和x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正確；∵對稱軸是直線x=﹣1，和x軸的一個交點在點（0，0）和點（1，0）之間，∴拋物線和x軸的另一個交點在（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴把（﹣2，0）代入拋物線得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②錯誤；∵把（1，0）代入拋物線得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正確；∵拋物線的對稱軸是直線x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正確；即正確的有3個，故選B．【例2】（2013?資陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（1，0）和點（0，﹣2），且頂點在第三象限，設P=a﹣b+c，則P的取值范圍是（）A．﹣4＜P＜0B．﹣4＜P＜﹣2C．﹣2＜P＜0D．﹣1＜P＜0分析：求出a＞0，b＞0，把x=1代入求出a=2﹣b，b=2﹣a，把x=﹣1代入得出y=a﹣b+c=2a﹣4，求出2a﹣4的范圍即可．解答：解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴a＞0，∵對稱軸在y軸的左邊，∴﹣＜0，∴b＞0，∵圖象與y軸的交點坐標是（0，﹣2），過（1，0）點，代入得：a+b﹣2=0，∴a=2﹣b，b=2﹣a，∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2，把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，∵b＞0，∴b=2﹣a＞0，∴a＜2，∵a＞0，∴0＜a＜2，∴0＜2a＜4，∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0，故選A．【課后練習】（2016?資陽）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且圖象過A（x1，m）、B（x1+n，m）兩點，則m、n的關系為（）A．m=nB．m=nC．m=n2D．m=n2【分析】由“拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點”推知x=﹣時，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根據(jù)拋物線對稱軸的定義知點A、B關于對稱軸對稱，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，∴當x=﹣時，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵點A（x1，m），B（x1+n，m），∴點A、B關于直線x=﹣對稱，∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），將A點坐標代入拋物線解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，∵b2=4c，∴m=n2，故選D．函數(shù)和在同一直角坐標系內(nèi)的圖象大致是（）【答案】C；【解析】∵a≠0，∴分a＞0，a＜0兩種情況來討論兩函數(shù)圖象的分布情況．若a＞0，則y＝ax+b的圖象必經(jīng)過第一、三象限，的圖象開口向上，可排除D．若a＞0，b＞0，則y＝ax+b的圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上，的圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)，故B不正確．若a＞0，b＜0，則y＝ax+b的圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上，的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，故C正確．若a＜0，則y＝ax+b的圖象必經(jīng)過第二、四象限，的圖象開口向下，故A不正確．考點三：二次函數(shù)與實際問題【例1】(20XX年四川資陽)某商家計劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調(diào)的采購單價y1（元/臺）與采購數(shù)量x1（臺）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；冰箱的采購單價y2（元/臺）與采購數(shù)量x2（臺）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）．（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購單價不低于1200元，問該商家共有幾種進貨方案？（2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺時總利潤最大？并求最大利潤．解答： 解：（1）設空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺，由題意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式組的解集是11≤x≤15，∵x為正整數(shù)，∴x可取的值為11、12、13、14、15，所以，該商家共有5種進貨方案；（2）設總利潤為W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，則W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000=30x2﹣540x+12000=30（x﹣9）2+9570，當x＞9時，W隨x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴當x=15時，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采購空調(diào)15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．【例2】(20XX年四川成都)在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長為28米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），設AB=x米。（1）若花園的面積為192平方米，求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是15米和6米，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值。【解析】AB+AC=28m，解：（1）由題意可知：x（28-x）=192，解得x=12或16；∴x的值為12米或16米；（2）∵；∴當x=13米時，【課后練習】(20XX年四川成都)某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結(jié)600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高果園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子，假設果園多種x棵橙子樹.(1)直接寫出平均每棵樹結(jié)的橙子數(shù)y（個）與x之間的關系式；(2)果園多種多少棵橙子樹時，可以使橙子的總產(chǎn)量最大？最大為多少個？解：（1）；(2)設果園多種x棵橙子樹時，橙子的總產(chǎn)量為z個.由題知：Z＝（100＋x）y＝（100＋x）（600-5x）＝－5(x－10）2＋60500∵a＝－5＜0∴當x＝10時，Z最大＝60500.∴果園多種10棵橙子樹時，可以使橙子的總產(chǎn)量最大，最大為60500個.某體育用品店購進一批單件為40元的球服，如果按單價60元銷售樣，那么一個月內(nèi)可售出240套，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高5元，銷售量相應減少20套．設銷售單價為x（x≧60）元，銷售量為y套．（1）求出y與x的函數(shù)關系式；（2）當銷售單件為多少元時，月銷售額為14000元？（3）當銷售單價為多少元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）銷售單價為x元，則銷售量減少×20，故銷售量為y=240﹣×20=﹣4x+480（x≥60）；（2）根據(jù)題意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合題意舍去），故當銷售價為70元時，月銷售額為14000元；（3）設一個月內(nèi)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400．當x=80時，w的最大值為6400．故當銷售單價為80元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤，最大利潤是6400元．考點四：二次函數(shù)的綜合應用【例1】(2015四川資陽)已知直線y=kx+b（k≠0）過點F（0，1），與拋物線y=x2相交于B、C兩點.（1）如圖13-1，當點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式；（2）在（1）的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖13-2，設(m<0)，過點的直線l∥x軸，BR⊥l于R，CS⊥l于S，連接FR、FS．試判斷△RFS的形狀，并說明理由．分析：（1）首先求出C的坐標，然后由C、F兩點用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）因為DM∥OF，要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則DM=OF，設M（x，﹣x+1），則D（x，x2），表示出DM，分類討論列方程求解；（3）根據(jù)勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．解答：解：（1）因為點C在拋物線上，所以C（1，），又∵直線BC過C、F兩點，故得方程組：解之，得，所以直線BC的解析式為：y=﹣x+1；（2）要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則MD=OF，如圖1所示，設M（x，﹣x+1），則D（x，x2），∵MD∥y軸，∴MD=﹣x+1﹣x2，由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，①當﹣x+1﹣x2=1時，解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，），②當﹣x+1﹣x2，=﹣1時，解得，x=，所以M（，）或M（，），綜上所述，存在這樣的點M，使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，M點坐標為（﹣3，）或（，）或（，）；（3）過點F作FT⊥BR于點T，如圖2所示，∵點B（m，n）在拋物線上，∴m2=4n，在Rt△BTF中，BF====，∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS=∠BFC=90°，∴△RFS是直角三角形．【課后練習】(2016四川成都)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與軸交于點C（0，），頂點為D，對稱軸與軸交于點H.過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸右側(cè).(1)求a的值及點A、B的坐標；(2)當直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時，求直線l的函數(shù)表達式；(3)當點P位于第二象限時，設PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否成為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由．解析：（1）∵拋物線與與軸交于點C（0，－EQ\F(8,3)）.∴a－3＝－EQ\F(8,3)，解得：a＝EQ\F(1,3)，∴y＝EQ\F(1,3)(x＋1)2－3當y＝0時，有EQ\F(1,3)(x＋1)2－3＝0，∴X1＝2，X2＝－4∴A(－4，0)，B(2，0).（2）∵A(－4，0)，B(2，0)，C（0，－EQ\F(8,3)），D(－1，－3)∴S四邊形ABCD＝S△AHD＋S梯形OCDH＋S△BOC＝EQ\F(1,2)×3×3＋EQ\F(1,2)(EQ\F(8,3)＋3)×1＋EQ\F(1,2)×2×EQ\F(8,3)＝10.從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：①當直線l邊AD相交與點M1時，則S△AHM1＝EQ\F(3,10)×10＝3，∴EQ\F(1,2)×3×（－yM1）＝3∴yM1＝－2，點M1（－2，－2），過點H（－1，0）和M1（－2，－2）的直線l的解析式為y＝2x＋2.②當直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2（EQ\F(1,2)，－2），過點H（－1，0）和M2（EQ\F(1,2)，－2）的直線l的解析式為y＝－EQ\F(4,3)x－EQ\F(4,3).綜上：直線l的函數(shù)表達式為y＝2x＋2或y＝－EQ\F(4,3)x－EQ\F(4,3).（3）設P（x1,y1）、Q（x2,y2）且過點H（－1，0）的直線PQ的解析式為y＝kx+b,∴－k＋b＝0，∴y＝kx＋k.由，∴∴x1＋x2＝－2＋3k,y1+y2＝kx1+k+kx2+k＝3k2,∵點M是線段PQ的中點，∴由中點坐標公式的點M（EQ\F(3,2)k－1，EQ\F(3,2)k2）.假設存在這樣的N點如下圖，直線DN∥PQ，設直線DN的解析式為y＝kx＋k-3由，解得：x1＝－1,x2＝3k－1,∴N（3k－1，3k2－3）∵四邊形DMPN是菱形，∴DN＝DM，∴整理得：3k4－k2－4＝0，，∵k2＋1＞0，∴3k2－4＝0，解得，∵k＜0，∴,∴P（－，6），M（－，2），N（－，1）∴PM＝DN＝2eq\r(,7)，∴四邊形DMPN為菱形∴以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標為（－，1）.(2016四川成都)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；（3）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．xyxyOABDlC備用圖xyOABDlCE【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a；（2）a＝－EQ\F(2,5)；（3）P的坐標為（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)）或（1，－4）【解析】：（1）A（－1，0）xyOABDlCEF∵直線l經(jīng)過點A，∴0xyOABDlCEF∴y＝kx＋k令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標為4∴－3－EQ\F(k,a)＝－1×4，∴k＝a∴直線l的函數(shù)表達式為y＝ax＋a（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F設E（x，ax2－2ax－3a），則F（x，ax＋a）EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4aS△ACE＝S△AFE－S△CFE＝EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)(x＋1)－EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)x＝EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)＝EQ\F(1,2)a(x－EQ\F(3,2))2－EQ\F(25,8)a∴△ACE的面積的最大值為－EQ\F(25,8)a∵△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，∴－EQ\F(25,8)a＝EQ\F(5,4)，解得a＝－EQ\F(2,5)（3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0xyABDlCQPO解得x1＝－1，xxyABDlCQPO∵y＝ax2－2ax－3a，∴拋物線的對稱軸為x＝1設P（1，m）①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a）m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a）∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°∴AD2＋PD2＝AP2∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2即a2＝EQ\F(1,7)，∵a＜0，∴a＝－EQ\F(eq\r(,7),7)，∴P1（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)）xyOABDxyOABDlCPQ則線段AD的中點坐標為（EQ\F(3,2)，EQ\F(5a,2)），Q（2，－3a）m＝5a－(－3a)＝8a，則P（1，8a）∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°∴AP2＋PD2＝AD2∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2即a2＝EQ\F(1,4)，∵a＜0，∴a＝－EQ\F(1,2)，∴P2（1，－4）綜上所述，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P的坐標為（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)）或（1，－4）3、（20XX年四川自貢）如圖，已知拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于A、B兩點，并與直線y=x﹣2交于B、C兩點，其中點C是直線y=x﹣2與y軸的交點，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：△ABC為直角三角形；（3）△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由．分析： （1）由直線y=x﹣2交x軸、y軸于B、C兩點，則B、C坐標可求．進而代入拋物線y=ax2﹣x+c，即得a、c的值，從而有拋物線解析式．（2）求證三角形為直角三角形，我們通?？紤]證明一角為90°或勾股定理．本題中未提及特殊角度，而已經(jīng)A、B、C坐標，即可知AB、AC、BC，則顯然可用勾股定理證明．（3）在直角三角形中截出矩形，面積最大，我們易得兩種情形，①一點為C，AB、AC、BC邊上各有一點，②AB邊上有兩點，AC、BC邊上各有一點．討論時可設矩形一邊長x，利用三角形相似等性質(zhì)表示另一邊，進而描述面積函數(shù)．利用二次函數(shù)最值性質(zhì)可求得最大面積．解答： （1）解：∵直線y=x﹣2交x軸、y軸于B、C兩點，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y=ax2﹣x+c過B、C兩點，∴，解得，∴y=x2﹣x﹣2．（2）證明：如圖1，連接AC，∵y=x2﹣x﹣2與x負半軸交于A點，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO=1，OC=2，∴AC=，在Rt△BOC中，∵BO=4，OC=2，∴BC=2，∵AB=AO+BO=1+4=5，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC為直角三角形．（3）解：△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為，理由如下：①一點為C，AB、AC、BC邊上各有一點，如圖2，此時△AGF∽△ACB∽△FEB．設GC=x，AG=﹣x，∵，∴，∴GF=2﹣2x，∴S=GC?GF=x?（2）=﹣2x2+2x=﹣2[（x﹣）2﹣]=﹣2（x﹣）2+，即當x=時，S最大，為．②AB邊上有兩點，AC、BC邊上各有一點，如圖3，此時△CDE∽△CAB∽△GAD，設GD=x，∵，∴，∴AD=x，∴CD=CA﹣AD=﹣x，∵，∴，∴DE=5﹣x，∴S=GD?DE=x?（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣[（x﹣1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+，即x=1時，S最大，為．綜上所述，△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為．【課后作業(yè)】一、選擇題1．已知拋物線，將拋物線C平移得到拋物線．若兩條拋物線C、關于直線x＝1對稱．則下列平移方法中，正確的是（）．A．將拋物線C向右平移個單位B．將拋物線C向右平移3個單位C．將拋的線C向右平移5個單位D．將拋物線C向右平移6個單位2．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列5個代數(shù)式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的個數(shù)為()．A．2B．3C．4D．53．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關系式不正確的是()．A．B．a(chǎn)bc＞0C．a(chǎn)+b+c＞0D．4．在平面直角坐標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是()A．B．C．D．5．如圖所示，半圓O的直徑AB＝4，與半圓O內(nèi)切的動圓O1與AB切于點M，設⊙O1的半徑為y，AM＝x，則y關于x的函數(shù)關系式是()．A．B．C．D．第5題第6題6．如圖所示，老師出示了小黑板上的題后，小華說：過點(3，0)；小彬說：過點(4，3)和(0，3)；小明說：a＝1，c=3；小穎說：拋物線被x軸截得的線段長為2．你認為四人的說法中，正確的有()．A．1個B．2個C．3個D．4個7．已知一次函數(shù)的圖象過點(-2，1)，則關于拋物線的三條敘述：①過定點(2，1)；②對稱軸可以是直線x＝l；③當a＜0時，其頂點的縱坐標的最小值為3．其中所有正確敘述的有()．A．0個B．1個C．2個D．3個8．如圖，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax2（a≠0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標是﹣2，點B的橫坐標是3，則以下結(jié)論：①拋物線y=ax2（a≠0）的圖象的頂點一定是原點；②x＞0時，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax2（a≠0）的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；③AB的長度可以等于5；④△OAB有可能成為等邊三角形；⑤當﹣3＜x＜2時，ax2+kx＜b，其中正確的結(jié)論是（） A．①②④ B． ①②⑤ C． ②③④ D． ③④⑤二、填空題9．由拋物線y＝x2先向左平移2個單位，再向下平移3個單位得到的拋物線的解析式為.10．已知一元二次方程的一根為-3．在二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖象上有三點、、，y1、y2、y3、的大小關系是.11．如圖所示，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線上運動，當⊙P與x軸相切時，圓心P的坐標為________．第11題第13題12．一個二次函數(shù)的圖象頂點坐標為（2，1），形狀與拋物線y=﹣2x2相同，試寫出這個函數(shù)解析式．13．已知二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當x＝1和x＝3時，函數(shù)值相等；③4a+b＝0；④當y＝-2時，x的值只能取0，其中正確的有.（填序號）14．已知拋物線的頂點為，與x軸交于A、B兩點，在x軸下方與x軸距離為4的點M在拋物線上，且，則點M的坐標為．15．已知二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l的實數(shù))．其中正確的結(jié)論有________(只填序號)．第15題第16題16．如圖所示，拋物線向右平移1個單位得到拋物線y2．回答下列問題：(1)拋物線y2的頂點坐標________．(2)陰影部分的面積S＝________．(3)若再將拋物線y2繞原點O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y3，則拋物線y3的開口方向________，頂點坐標________．三、解答題17．某網(wǎng)店打出促銷廣告：最潮新款服裝30件，每件售價300元．若一次性購買不超過10件時，售價不變；若一次性購買超過10件時，每多買1件，所買的每件服裝的售價均降低3元．已知該服裝成本是每件200元，設顧客一次性購買服裝x件時，該網(wǎng)店從中獲利y元．（1）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）顧客一次性購買多少件時，該網(wǎng)店從中獲利最多？18．如圖所示，已知經(jīng)過原點的拋物線與x軸的另一交點為A，現(xiàn)將它向右平移m(m＞0)個單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點，與原拋物線交于點P．(1)求點A的坐標，并判斷△PCA存在時它的形狀(不要求說理)；(2)在x軸上是否存在兩條相等的線段?若存在，請一一找出，并寫出它們的長度(可用含m的式子表示)；若不存在，請說明理由；(3)設△PCD的面積為S，求S關于m的關系式．19.在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝-x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．20.如圖①所示，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸正半軸交于點F(16，0)、與y軸正半軸交于點E(0，16)，邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點，重合．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖②所示，若正方形ABCD在平面內(nèi)運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q(運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合)．設點A的坐標為(m，n)(m＞0)．①當PO＝PF時，分別求出點P與點Q的坐標；②在①的基礎上，當正方形ABCD左右平移時，請直接寫出m的取值范圍；③當n＝7時，是否存在m的值使點P為AB邊的中點?若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C；【解析】，∴其頂點坐標為，設頂點坐標為，由題意得，∴，∴的解析式為．由到需向右平移5個單位，因此選C．2.【答案】A；【解析】由圖象知，a＜0，c＜0，，∴b＞0，ac＞0，∴2a-b＜0．又對稱軸，即2a+b＜0．當x＝1時，a+b+c＞0；當x＝-2時，4a-2b+c＜0．綜上知選A．3.【答案】C；【解析】由拋物線開口向下知a＜0，由圖象知c＞0，，b＜0，即abc＞0，又拋物線與x軸有兩個交點，所以．4.【答案】B；【解析】拋物線，其頂點(-1，2)繞點(0，3)旋轉(zhuǎn)180°后坐標為(1，4)，開口向下．∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為．5.【答案】B；【解析】連接O1M、O1O，易知兩圓切點在直線OO1上，線段OO1＝OA-y＝2-y，O1M＝y(tǒng)，OM＝OA-AM＝2-x．由勾股定理得(2-y)2＝y(tǒng)2+(2-x)2，故．6.【答案】C；【解析】由小華的條件，拋物線過(3，0)與(1，0)兩點，則對稱軸為x＝2；由小彬的條件，拋物線過點(4，3)又過(0，3)點，∴對稱軸為直線x＝2；由小明的條件a＝1，c=3,得到關系式為，過點(1，0)得b＝-4，對稱軸為；由小穎的條件拋物線被x軸截得的線段長為2，另一交點可能是(3，0)或(-1，0)，當另一交點為(-1，0)時，對稱軸不是x＝2．所以小穎說的不對.故選C.7．【答案】C；【解析】①若過定點(2，1)，則有．整理、化簡，得-2a+b＝1，與題設隱含條件相符；②若對稱軸是直線x＝1，這時，2a-b＝0，與題設隱含條件不相符；③當a＜0時，拋物線開口向下，這時頂點的縱坐標為．由于，．∴．∴．綜合以上分析，正確敘述的個數(shù)為2，應選C．8．【答案】B；【解析】①拋物線y=ax2，利用頂點坐標公式得：頂點坐標為（0，0），本選項正確；②根據(jù)圖象得：直線y=kx+b（k≠0）為增函數(shù)；拋物線y=ax2（a≠0）當x＞0時為增函數(shù)，則x＞0時，直線與拋物線函數(shù)值都隨著x的增大而增大，本選項正確；③由A、B橫坐標分別為﹣2，3，若AB=5，可得出直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，故AB不可能為5，本選項錯誤；④若OA=OB，得到直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能為等邊三角形，本選項錯誤；⑤直線y=﹣kx+b與y=kx+b關于y軸對稱，如圖所示：可得出直線y=﹣kx+b與拋物線交點C、D橫坐標分別為﹣3，2，由圖象可得：當﹣3＜x＜2時，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，則正確的結(jié)論有①②⑤．故選B．二、填空題9．【答案】y＝(x+2)2-3；【解析】y＝x2的頂點為(0，0)，y＝(x+2)2+3的頂點為(-2，-3)，將(0，0)先向左平移2個單位，再向下平移3個單位可得(-2，-3)，即將拋物線y＝x2先向左平移2個單位，再向下平移3個單位得到拋物線y＝(x+2)2-3．10．【答案】y1＜y2＜y3.【解析】設x2+bx-3＝0的另一根為x2，則，∴x2＝1，∴拋物線的對稱軸為，開口向上時，到對稱軸的距離越大函數(shù)值越大，所以y1＜y3，y1＜y2＜y3，也可求出b＝2，分別求出y1，y2，y3的值再比較大?。?1．【答案】或；【解析】當⊙P與x軸相切時，圓心P的縱坐標為2，將y＝2得，所以，從而圓心P的坐標為或．12．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1；【解析】圖象頂點坐標為（2，1）可以設函數(shù)解析式是y=a（x﹣2）2+1又∵形狀與拋物線y=﹣2x2相同即二次項系數(shù)絕對值相同則|a|=2因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2