高考數學二輪復習 專題四 導數及其應用 第1講 導數的幾何意義、利用導數研究函數的性質考題溯源變式 理-人教版高三數學試題

（通用版）2016年高考數學二輪復習專題四導數及其應用第1講導數的幾何意義、利用導數研究函數的性質考題溯源教材變式理真題示例對應教材題材評說(經典考題)已知函數f(x)＝ex－ln(x＋m).(1)設x＝0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m≤2時，證明f(x)>0.(選修2－2P32B組T1(3)(4))利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：(3)ex>1＋x，x≠0；(4)lnx<x<ex，x>0.靜態(tài)向動態(tài)轉化是命題的有效途徑，讓數學問題更具生命力.[教材變式訓練]一、選擇題[變式1](選修2－2P31練習(3)改編)若方程x3－12x＋m＝0有且僅有兩相異實根，則實數m的值為()A．16 B．－16C．±16 D．±2解析：選C.依題意知函數f(x)＝x3－12x＋m有兩個不同零點，由f′(x)＝3x2－12＝0知x1＝－2，x2＝2，且x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，x∈(－2，2)時，f′(x)<0，x∈(2，＋∞)時f′(x)>0，∴f(x)極大值＝f(－2)＝16＋m，f(x)極小值＝f(2)＝－16＋m，∴當(16＋m)(m－16)＝0，即m＝±16，f(x)有兩個不同零點．[變式2](選修2－2P18A組T6改編)曲線y＝xex－1在點(1，1)處的切線方程為()A．2ex－y＋1－2e＝0 B．ex－y＋1－e＝0C．2x－y－1＝0 D．x－y＝0解析：選C.∵y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，∴y′|x＝1＝2，又y|x＝1＝1.∴切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[變式3](選修2－2P60A組T1改編)曲線y＝cosx與直線x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：選D.∵y＝cosx在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]上是偶函數．∴由定積分幾何意義知所求面積S＝2∫eq\A\AC(\s\up6(\f(π,3),0))cosxdx＝2sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up6(\f(π,3)),0))＝eq\r(3).[變式4](選修2－2P16思考改編)曲線y＝ln(x＋a)的一條切線方程為x－y＋1＝0，則實數a的值為()A．1 B．2C．－1 D．－2解析：選B.設切點為P(x0，y0)，由y′＝eq\f(1,x＋a)知y′|EQ\S\DO4(x＝x0)＝eq\f(1,x0＋a)＝1，∴x0＝1－a，y0＝ln(x0＋a)＝0，∴切線方程為y＝x－(1－a)與x－y＋1＝0對比知a－1＝1，∴a＝2.[變式5]曲線y＝eq\f(1,\r(x))在x＝a處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為18，則實數a的值為()A．8 B．16C．32 D．64解析：選D.∵y′＝－eq\f(1,2)xEQ\S\UP4(－eq\f(3,2))知y′|x＝a＝－eq\f(1,2)aEQ\S\UP4(－eq\f(3,2))，∴切線方程為y－eq\f(1,\r(a))＝－eq\f(1,2)aEQ\S\UP4(－eq\f(3,2))(x－a)，令x＝0得y＝eq\f(3,2\r(a))，令y＝0得x＝3a，∴切線與坐標軸的交點為A(3a，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2\r(a))))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2\r(a))＝eq\f(9,4)eq\r(a)＝18，∴eq\r(a)＝8，a＝64.[變式6]定義在R上的函數f(x)滿足f(－1)＝2，若函數f(x)圖象上任一點處的切線斜率均大于2，則不等式f(x)>2x＋4的解集為()A．{x|－1<x<1} B．{x|x>－1}C．{x|x<－1} D．{x|x>1}解析：選B.依題意知f(－1)＝2，f′(x)>2，令g(x)＝f(x)－2x－4，則g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)在R上為增函數，∴不等式f(x)>2x＋4?f(x)－2x－4>0?g(x)>g(－1)，∴x>－1，∴不等式f(x)>2x＋4的解集為{x|x>－1}．二、填空題[變式7](選修2－2P56例1、必修2P144B組T3改編)設區(qū)域Q＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，區(qū)域A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）∈Q\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x2,y2≤x))))))，在Q內任取一點P，則P點落在區(qū)域A內的概率為________．解析：如圖，區(qū)域Q即為圖中正方形BCDE內部(含邊界)的點集，其面積為8，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y2＝x))解得兩曲線交點為F(1，1)，則區(qū)域A表示圖中的兩曲線y2＝x與y＝x2所圍成的區(qū)域內部(含邊界)的點集，其面積為S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\f(1,3)x3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，∴P點落在區(qū)域A內的概率為eq\f(\f(1,3),8)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)[變式8](選修2－2P60B組T1(2)改編)eq\i\in(0,2,)eq\r(－x2＋2x)dx＝________．解析：令y＝f(x)＝eq\r(－x2＋2x)，則y≥0且(x－1)2＋y2＝1，∴f(x)的圖象是以(1，0)為圓心，半徑R＝1的圓在x軸及其上方的半圓．由定積分的幾何意義知eq\i\in(0,2,)eq\r(－x2＋2x)dx＝eq\f(1,2)πR2＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)[變式9](選修2－2P32B組T1(4)改編)已知P為函數y＝lnx的圖象上任意一點，Q為函數y＝ex的圖象上任意一點，則|PQ|的最小值為________．解析：∵y＝lnx和y＝ex互為反函數，∴它們的圖象關于直線y＝x對稱，∴當點P處和點Q處的切線都與直線y＝x平行時，|PQ|最小，設P(x0，y0)，則y′＝eq\f(1,x)，y′|eq\s\do4(x＝x0)＝1，即x0＝1，y0＝0，∴P(1，0)到直線y＝x的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|PQ|min＝2d＝eq\r(2).答案：eq\r(2)[變式10](選修2－2P37A組T2(2)改編)將一邊長為a的正方形鐵片四角截去四個相同的小正方形做成無蓋方盒，則無蓋方盒的容積的最大值為________．解析：設截去的小正方形的邊長為x，則V(x)＝(a－2x)2x，(0<x<eq\f(a,2))即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，V′(x)＝12x2－8ax＋a2＝(2x－a)(6x－a)．令V′(x)＝0，x＝eq\f(a,6)，V′(x)>0，0<x<eq\f(a,6)，V′(x)<0，eq\f(a,6)<x<eq\f(a,2).∴V(x)在(0，eq\f(a,6))上單調遞增，在(eq\f(a,6)，eq\f(a,2))上單調遞減，∴V(x)max＝V(eq\f(a,6))＝(a－2×eq\f(a,6))2·eq\f(a,6)＝eq\f(2,27)a3.答案：eq\f(2,27)a3三、解答題[變式11](選修2－2P32B組T1(4)改編)設f(x)＝eq\f(lnx,x)－x，(1)求f(x)的最大值；(2)求證：當x>0時，e2x>ex＋x.解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)－1＝eq\f(1－x2－lnx,x2)(x>0)，顯然f′(1)＝0，當0<x<1時，f′(x)>0，當x>1時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，∴當x＝1時，f(x)有極大值也是最大值為f(x)max＝f(1)＝－1.(2)證明：法一：令g(x)＝e2x－ex－x，則g′(x)＝2e2x－ex－1＝(2ex＋1)(ex－1)，∵當x>0時，g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數，∴當x>0時有g(x)>g(0)，而g(0)＝0，∴g(x)>0，即e2x>ex＋x成立．法二：由(1)知f(x)＝eq\f(lnx,x)－x≤－1，即eq\f(lnx,x)≤x－1，以ex代替x得eq\f(x,ex)<ex－1，即x<e2x－ex，即e2x>ex＋x成立．[變式12](選修2－2P31練習(1)(3)改編)已知函數f(x)＝－x3＋ax＋2在x＝0處的切線在x軸上的截距為－eq\f(2,3)，g(x)＝6x2＋12x＋m.(1)求實數a的值；(2)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)有且僅有一個交點，求m的取值范圍．解：(1)f′(x)＝－3x2＋a，k＝f′(0)＝a，又f(0)＝2，∴f(x)在x＝0處的切線方程為y－2＝ax，即ax－y＋2＝0，依題意切線ax－y＋2＝0過點(－eq\f(2,3)，0)，∴－eq\f(2,3)a＋2＝0，即a＝3.(2)由(1)知f(x)＝－x3＋3x＋2，令h(x)＝f(x)－g(x)＝－x3－6x2－9x＋2－m，則h′(x)＝－3x2－12x－9＝－3(x2＋4x＋3)＝－3(x＋1)(x＋3)，由h′(x)>0解得－3<x<－1，由h′(x)<0解得x<－3或x>－1，