2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興高級中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興高級中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機(jī)選出兩名，把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A． B． C．i D．i3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．4．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．5．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若，則，，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．7．百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“仁”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位9．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．10．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．211．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，為上任意一點(diǎn)，若，則（）A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則____.14．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.15．設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為40，則＋的最小值為_____.16．在的展開式中，的系數(shù)等于__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線：.過點(diǎn)的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）為增強(qiáng)學(xué)生的法治觀念，營造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動，并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識競賽．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的競賽成績，已知這50名學(xué)生的競賽成績均在[50，100]內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)51515123（1）將競賽成績在內(nèi)定義為“合格”，競賽成績在內(nèi)定義為“不合格”．請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？合格不合格合計(jì)高一新生12非高一新生6合計(jì)（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進(jìn)行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．20．（12分）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)，求證：弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點(diǎn)交曲線于點(diǎn)，求面積的最大值.21．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)組合知識，計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為，然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.2、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2x．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，求得對應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所?.綜上；故選D.7、A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1，2同時出現(xiàn)時即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】依題意有的周期為.而，故應(yīng)左移.9、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時,等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時,,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，故，得到答案.【詳解】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，在中，，故，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

計(jì)算出，兩個復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.14、40【解析】

先求出的展開式的通項(xiàng)，再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項(xiàng)為，令r=3,則，令r=2,則，所以展開式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為：40【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(diǎn)(8,10)時，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.16、7【解析】

由題，得，令，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，令，得x的系數(shù).故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進(jìn)而可推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，，，，、、、，設(shè)平面的一個法向量，，，由，得，令，則，，.設(shè)平面的一個法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1），；（2）.【解析】

（1）將代入求解，由（為參數(shù)）消去即可.（2）將（為參數(shù)）與聯(lián)立得，設(shè)，兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，，則，，再根據(jù)，即，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）把代入，得，由（為參數(shù)），消去得，∴曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程分別是，.（2）將（為參數(shù)）代入得，設(shè)，兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，，則，，由得，所以，即，所以，而，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：合格不合格合計(jì)高一新生121426非高一新生18624合計(jì)302050則的觀測值，所以有的把握認(rèn)為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)．（2）抽取的5名學(xué)生中競賽成績合格的有名學(xué)生，記為，競賽成績不合格的有名學(xué)生，記為，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有：，共10種，這2名學(xué)生競賽成績都合格的基本事件有：，共3種，所以這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率為．20、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得：，利用，根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，證明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，且，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面釈計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(Ⅰ)由題意：，，解得，則曲線的方程為：和.(Ⅱ)證明：由題意曲線的漸近線為：，設(shè)直線，則聯(lián)立，得，，解得：，又由數(shù)形結(jié)合知.設(shè)點(diǎn)，則，，，，，即點(diǎn)在直線上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得：，，設(shè)，，，，面積，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理論證能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當(dāng)時，.∵，∴當(dāng)時，，即②.綜上①②可得，.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能