江蘇省鹽城市射陽中學2024屆高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷含解析

江蘇省鹽城市射陽中學2024屆高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．3．若，，，點C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．4．甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是（）A． B． C． D．5．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]6．雙曲線的右焦點為，過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，與雙曲線的其中一個交點為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．7．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)的模為（）A． B．4 C．2 D．8．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)復數(shù)滿足，在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則不可能為（）A． B． C． D．10．如圖是甲、乙兩位同學在六次數(shù)學小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（）A．甲得分的平均數(shù)比乙大 B．甲得分的極差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位數(shù)和乙相等11．已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大，則拋物線的標準方程為（）A． B． C． D．12．設(shè),則(

)A．10 B．11 C．12 D．13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和公式為，則數(shù)列的通項公式為___．14．從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）15．已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則的最小值等于__________，此時a=____________.16．函數(shù)的值域為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.18．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.19．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，直線與交于兩點，，且．（1）求的方程；（2）已知點是上的任意一點，不經(jīng)過原點的直線與交于兩點，直線的斜率都存在，且，求的值．20．（12分）2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年，是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際，學校組織“五四運動100周年”知識競賽，競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類題、4道B類題，參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學至少抽到2道B類題的概率；（2）若甲同學答對每道A類題的概率都是，答對每道B類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學答對題目的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為求a，b的值；證明：．22．（10分）已知函數(shù)，函數(shù).（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

試題分析：把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為，故選D.考點：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).2、A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點睛：本題易錯選B，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學生可能不會將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯．3、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用．4、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選：B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.6、D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用，求出點，因為點在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因為，即可得到，故選：D．【點睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標運算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．7、D【解析】

由復數(shù)的綜合運算求出，再寫出其共軛復數(shù)，然后由模的定義計算模．【詳解】，．故選：D．【點睛】本題考查復數(shù)的運算，考查共軛復數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，可得有解，令，則，對分類討論，得出時，取得極大值，也即為最大值，進而得出結(jié)論.【詳解】解：由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，即有解，令，則，則當時，；當時，，故時，取得極大值，也即為最大值，當趨近于時，趨近于，所以滿足條件．故選：C.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，考查抽象概括、運算求解等數(shù)學能力，屬于難題．9、D【解析】

依題意，設(shè)，由，得，再一一驗證.【詳解】設(shè)，因為，所以，經(jīng)驗證不滿足，故選：D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念，可得所求結(jié)論．【詳解】對于甲，；對于乙，，故正確；甲的極差為，乙的極差為，故錯誤；對于甲，方差.5，對于乙，方差，故正確；甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，故正確．故選：．【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)和方差等概念，培養(yǎng)計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標準方程為：y2＝2x．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值．【詳解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故選：B．【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意，根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項公式．【詳解】由題意，可知當時，；當時，.又因為不滿足，所以.【點睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式，其中解答中熟記數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系，合理準確推導是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

依據(jù)古典概型的計算公式，分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計算即可?！驹斀狻俊叭稳蓚€數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個，所以任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是。【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法。15、3【解析】

根據(jù)題意，分析可得，由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進而分析基本不等式成立的條件可得a的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，正數(shù)a、b滿足，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為3，此時.故答案為：3；.【點睛】本題考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用換元法，得到，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得，令，，即，則，當時，，當時，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)，再利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、特征值為1，特征向量為．【解析】

設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設(shè)矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設(shè)特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個特征向量為．【點睛】本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解，矩陣運算的關(guān)鍵是明確其運算規(guī)則，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)的極坐標為，在中，有，即可得結(jié)果；（2）設(shè)射線：，，圓的極坐標方程為，聯(lián)立兩個方程，可求出，聯(lián)立可得，則計算可得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】（1）設(shè)的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設(shè)射線：，，圓的極坐標方程為，由得：，由得：，，，當，即時，，的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）不妨設(shè)，，計算得到，根據(jù)面積得到，計算得到答案.（2）設(shè)，，，聯(lián)立方程利用韋達定理得到，，代入化簡計算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，，則，．∵，∴，∴．又，∴，∴，，故的方程為．（2）設(shè)，，，則．∵，∴，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得．∵在上，∴，∴上式可化為．∴，，，∴，，∴．∴．【點睛】本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】

（1）甲同學至少抽到2道B類題包含兩個事件：一個抽到2道B類題，一個是抽到3個B類題，計算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計算概率得分布列，再由期望公式計算期望．【詳解】（1）令“甲同學至少抽到2道B類題”為事件，則抽到2道類題有種取法，抽到3道類題有種取法，∴；（2）的所有可能值分別為，，，，，∴的分布列為：0123【點睛】本題考查古典概型，考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望．解題關(guān)鍵是掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式．21、（1）；（2）見解析【解析】分析：第一問結(jié)合導數(shù)的幾何意義以及切點在切線上也在函數(shù)圖像上，從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，從而求得結(jié)果，二是利用中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡化運算.詳解：（1）解：，由題意有，解得（2）證明：（方法一）由（1）知，.設(shè)則只需證明，設(shè)則，在上單調(diào)遞增，，使得且當時，，當時，當時，，單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞增，由，得，，設(shè)，，當時，，在單調(diào)遞減，，因此（方法二）先證當時，，即證設(shè)，則，且，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，則當時，（也可直接分析顯然成立）再證設(shè)，則，令，得且當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.，即又，點睛：該題考查的是有關(guān)利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題，在求解的過程中，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，有關(guān)切線的問題，還有就是應(yīng)用導數(shù)證明不等式，可以構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題來解決，也可以借用不等式的傳遞性，借助中間量來完成.22、(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求