(3.6)-第五章 時(shí)間序列分析

12.平穩(wěn)時(shí)間序列3.非平穩(wěn)時(shí)間序列4.建模步驟5.案例分析1.基本概念第五章時(shí)間序列分析第一節(jié)

基本概念一、了解時(shí)間序列二、時(shí)間序列的基本概念一、了解時(shí)間序列1.1什么是時(shí)間序列？時(shí)間序列是指按時(shí)間順序排列的、隨時(shí)間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。1.2什么是時(shí)間序列分析？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行觀察研究，找尋它的發(fā)展規(guī)律，預(yù)測(cè)它將來(lái)的走勢(shì)。34時(shí)間序列經(jīng)過(guò)合理函數(shù)變換均可認(rèn)為是三個(gè)部分疊加而成。即：趨勢(shì)項(xiàng)部分、周期項(xiàng)部分、隨機(jī)噪聲項(xiàng)部分時(shí)間序列可有不同的分類：

根據(jù)所研究的對(duì)象數(shù)量可分為一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列；根據(jù)時(shí)間的連續(xù)性，可分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列；根據(jù)序列的統(tǒng)計(jì)特性，可分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。5二、時(shí)間序列的基本概念2.1隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程,t固定時(shí),是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)其均值為.當(dāng)t變動(dòng)時(shí),是t的函數(shù).2.2隨機(jī)過(guò)程的方差函數(shù)：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程

,t固定時(shí),的方差為;當(dāng)t變動(dòng)時(shí),是t的函數(shù)，記為

2.3自協(xié)方差函數(shù)：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程

取定定義其自協(xié)方差函數(shù)為62.4自相關(guān)函數(shù)：為刻畫在時(shí)刻與之間的相關(guān)性，將標(biāo)準(zhǔn)化后定義自相關(guān)函數(shù)為2.5平穩(wěn)時(shí)間序列：隨機(jī)序列滿足條件2.6白噪聲序列：隨機(jī)序列

是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量構(gòu)成的,且其期望和方差都是常數(shù)。即

第二節(jié)

平穩(wěn)時(shí)間序列

1.AR(p)模型

2.MA(q)模型

3.ARMA(p,q)模型

78ARMA模型簡(jiǎn)介ARMA模型主要包含三種基本模型：AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型.1.AR(p)模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為p階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR(p)滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

9引進(jìn)算子多項(xiàng)式，算子B定義為中心化AR(p)模型又可以簡(jiǎn)記為其中：為自回歸參數(shù)向量

稱為回歸系數(shù)*：特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化AR(p)模型2.MA(q)模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為q階移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為MA(q)滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

為移動(dòng)平均參數(shù)向量稱為滑動(dòng)平均系數(shù)*：特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化MA(q)模型引進(jìn)算子多項(xiàng)式，定義后移算子為,中心化MA(q)模型又可以簡(jiǎn)記為其中：123.ARMA(p,q)模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為ARMA(p,q)滿足條件其中：

是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

為自回歸移動(dòng)平均參數(shù)向量

*：特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化ARMA（p,q）模型引進(jìn)算子多項(xiàng)式，中心化ARMA(p,q)模型又可以簡(jiǎn)記為其中：4.ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性對(duì)于一般的平穩(wěn)序列，設(shè)其均值，滿足引進(jìn)算子多項(xiàng)式后，有假定和無(wú)公共因子，且則:

模型的平穩(wěn)性條件—— 的根全在單位圓外

模型的可逆性條件—— 的根全在單位圓外

15注意：

對(duì)于時(shí)間序列模型來(lái)說(shuō)，只有滿足了平穩(wěn)性與可逆性，才能夠真正有意義的反映動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的實(shí)際變化特征。

第三節(jié)

非平穩(wěn)時(shí)間序列

1、差分運(yùn)算

2、ARIMA(p,d,q)模型16171、差分運(yùn)算1.1差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)：差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息。d階差分后序列可以表示為1.2差分方式的選擇在實(shí)際情況中，常見(jiàn)的差分情況有以下三種：1）序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)。2）序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響。3）對(duì)于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好地提取周期信息。182、ARIMA(p,d,q)模型2.1ARIMA(p,d,q)模型結(jié)構(gòu)具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為ARIMA(p,d,q)模型可簡(jiǎn)記為：其中：

192.2對(duì)于ARIMA(p,d,q)模型有下列三種形式

當(dāng)d=0時(shí)，ARIMA(p,d,q)模型實(shí)際上是ARMA(p,q)模型

當(dāng)p=0時(shí)，ARIMA(p,d,q)模型可以簡(jiǎn)記為IMA(d,q)模型

當(dāng)q=0時(shí)，ARIMA(p,d,q)模型可以簡(jiǎn)記為ARI(p,d)模型特別地。當(dāng)d=1,p=q=0時(shí)，ARIMA(0,1,0)模型為該模型被稱為隨機(jī)游走（RandomWalk）模型。

第四節(jié)

建模步驟

1、時(shí)間序列預(yù)處理2、模型識(shí)別與定階3、參數(shù)確定4、模型的檢驗(yàn)5、模型的優(yōu)化6、序列預(yù)測(cè)及結(jié)果分析獲得觀測(cè)值序列時(shí)間序列預(yù)處理（平穩(wěn)性檢驗(yàn)與隨機(jī)性檢驗(yàn)）模型識(shí)別與定階參數(shù)確定模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測(cè)NY差分運(yùn)算平穩(wěn)性與隨機(jī)性Y平穩(wěn)性N結(jié)束隨機(jī)性NStep1時(shí)間序列預(yù)處理1、平穩(wěn)性檢驗(yàn)——檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性1）時(shí)序圖檢驗(yàn)根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無(wú)明顯趨勢(shì)及周期特征。2）自相關(guān)圖檢驗(yàn)平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性，該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來(lái)描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快地衰減為零。3）單位根檢驗(yàn)

單位根檢驗(yàn)是指檢驗(yàn)序列中是否存在單位根，因?yàn)榇嬖趩挝桓褪欠瞧椒€(wěn)時(shí)間序列了。單位根就是指單位根過(guò)程，可以證明，序列中存在單位根過(guò)程就不平穩(wěn)，會(huì)使回歸分析中存在偽回歸。4)建立模型之前，首先要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)平穩(wěn)，如果不平穩(wěn)，該時(shí)間序列就屬于ARIMA(p,d,q)模型，就要對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行差分，差分后成為平穩(wěn)序列（即轉(zhuǎn)化為ARMA模型），則稱其為d階單整序列，其中d為差分的次數(shù)。2、純隨機(jī)性檢驗(yàn)（白噪聲檢驗(yàn)）——檢驗(yàn)序列是否具有相關(guān)性純隨機(jī)序列沒(méi)有分析價(jià)值，為了確定某平穩(wěn)序列值不值得繼續(xù)分析，我們需要對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

Q-統(tǒng)計(jì)量2）判斷原則：

Q-統(tǒng)計(jì)量的P值小于時(shí)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列；反之，則為白噪聲序列。Step2模型識(shí)別與定階兩個(gè)基本概念1）自相關(guān)系數(shù)（ACF）：構(gòu)成時(shí)間序列的每個(gè)序列值之間的簡(jiǎn)單相關(guān)關(guān)系，用來(lái)度量自相關(guān)程度，即觀測(cè)值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：其中：2）偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）：所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)，就是說(shuō)在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，對(duì)影響的相關(guān)度量，即觀測(cè)值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：其中：

根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)進(jìn)行擬合。具體判斷標(biāo)準(zhǔn)為：（1）若為q階截尾,則判斷是MA(q)序列（2）若為p階截尾，則判斷是AR(p)序列（3）若、都不截尾，而僅僅是以負(fù)指數(shù)衰減，則可初步判斷是ARMA(p,q)序列

模型特征

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程平穩(wěn)性條件無(wú)條件自相關(guān)系數(shù)拖尾q步截尾拖尾偏自相關(guān)系數(shù)p步截尾拖尾拖尾補(bǔ)充：1）在實(shí)際處理中，要使、在某一階之后全部為0幾乎是不可能的，只能在某一階之后圍繞零值上下波動(dòng)2）拖尾性：呈負(fù)指數(shù)衰減

截尾性：若樣本（偏）自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而后幾乎95%的（偏）自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值的波動(dòng)過(guò)程非常突然。這時(shí)，通常視為（偏）自相關(guān)系數(shù)截尾，截尾階數(shù)為d。28最小信息準(zhǔn)則——定階準(zhǔn)則1）ARMA(p,q)序列的AIC定階準(zhǔn)則為：選取p,q使得其中：n為樣本數(shù)目，為的估計(jì)，為對(duì)數(shù)似然函數(shù)，使函數(shù)達(dá)到最小的p,q即為模型的階2）ARMA(p,q)模型的BIC準(zhǔn)則為：

貝葉斯決策理論是主觀貝葉斯派歸納理論的重要組成部分。是在不完全情報(bào)下，對(duì)部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，然后用貝葉斯公式對(duì)發(fā)生概率進(jìn)行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策其中，k為模型參數(shù)個(gè)數(shù)，n為樣本數(shù)量，L為似然函數(shù)。Step3模型的參數(shù)確定

對(duì)于一個(gè)非中心化的ARMA(p,q)模型有

即

其中：該模型有p+q+2個(gè)未知參數(shù)：其中的估計(jì)值可以用樣本均值估計(jì)總體均值得到，其他p+q+1個(gè)未知參數(shù)可用矩估計(jì)、最大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)。Step4模型的檢驗(yàn)1）模型的顯著性檢驗(yàn)

目的：判斷整個(gè)模型對(duì)信息的提取是否充分。

模型檢驗(yàn)的對(duì)象為殘差序列，目的是為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，即?duì)信息的提取是否充分。判定原則：A、一個(gè)好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列B、若殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說(shuō)明擬合模型不夠有效

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

LB統(tǒng)計(jì)量：

檢驗(yàn)原則：當(dāng)LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p>顯著性水平0.05時(shí)，接受原假設(shè)，認(rèn)為殘差序列為白噪聲序列，擬合模型顯著有效。當(dāng)LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p<0.05時(shí)，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明殘差序列中還殘留著相關(guān)信息，擬合模型不顯著。2）參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)每一個(gè)未知參數(shù)是否顯著非零，這個(gè)檢驗(yàn)是使模型最精簡(jiǎn)。如果某個(gè)參數(shù)不顯著，即表示該參數(shù)所對(duì)應(yīng)的那個(gè)自變量對(duì)因變量的影響不明顯，該自變量可以從擬合模型中剔除，最終模型將由一系列參數(shù)顯著非零的自變量表示。Step5模型的優(yōu)化

當(dāng)一個(gè)擬合模型通過(guò)了檢驗(yàn)，說(shuō)明在一定的置信水平下，該模型能有效地?cái)M合觀察值序列的波動(dòng)，但這種效果并不是唯一的。當(dāng)同一個(gè)向量可以構(gòu)造兩個(gè)擬合模型，兩個(gè)模型都顯著有效，那么到底該選擇哪一個(gè)模型用于統(tǒng)計(jì)推斷呢？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們用Step2中的最小信息準(zhǔn)則——AIC準(zhǔn)則，BIC準(zhǔn)則確定模型相對(duì)最優(yōu)判定原則：AIC、BIC、SC值越小，模型擬合相對(duì)最優(yōu)。Step6序列預(yù)測(cè)及結(jié)果分析利用得到的模型，預(yù)測(cè)下一時(shí)間段的值：在軟件中進(jìn)行相應(yīng)的預(yù)測(cè)。依據(jù)題意，分析得到的結(jié)果。

第五節(jié)

案例分析

1.ARMA模型(Eviews求解)2.ARIMA模型(Matlab求解)1.ARMA模型(Eviews求解)已知某城市過(guò)去63年中每年降雪量數(shù)據(jù)，如下表，試預(yù)測(cè)該城市下一年降雪量1）時(shí)間序列預(yù)處理

結(jié)果分析：從時(shí)序圖（左）可以看出，y序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無(wú)明顯趨勢(shì)及周期特征，該序列為平穩(wěn)序列。從Q-統(tǒng)計(jì)量的Prob值可以看出，大部分小于0.05，該序列為非白噪聲序列。單位根平穩(wěn)性檢驗(yàn)由單位根檢驗(yàn)可知，在1%，5%，10%顯著性水平下，ADF檢驗(yàn)值（t值）均小于顯著水平值，則通過(guò)檢驗(yàn)，即原序列平穩(wěn)2）確定模型類型的和階數(shù)根據(jù)自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，確定模型類型的和階數(shù)模型自相關(guān)系數(shù)（ACF）偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾

分別嘗試用ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(1,3)等模型擬合，并通過(guò)誤差分析來(lái)選取最優(yōu)模型3）三種模型模型擬合結(jié)果分析與比較

ARMA(1,1)結(jié)果ARMA(1,2)結(jié)果ARMA(1,3)結(jié)果結(jié)果分析：由AIC、SC準(zhǔn)則（AIC、SC越小越好，以及DW檢驗(yàn)結(jié)果（在1.5-2.5范圍內(nèi)較為合適）。我們選取最優(yōu)的ARMA（1,1）模型，其中AIC為9.143925，SC值為9.279997。4）ARMA(1，1)模型擬合結(jié)果根據(jù)該圖，我們得出這一模型形式如下：5）模型檢驗(yàn)

殘差序列相關(guān)圖結(jié)果分析：P值均大于0.05，殘差序列為白噪聲序列，建模通過(guò)DW檢驗(yàn)值為2.025609，序列無(wú)自相關(guān)性。6）序列預(yù)測(cè)與結(jié)果分析基于ARMA（1,1）模型的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)結(jié)果分析：該城市下一年的降雪量約為93.17。2.ARIMA模型(Matlab求解)1949—2001年中國(guó)人口時(shí)間序列數(shù)據(jù)見(jiàn)表5.3MATLAB解法算法步驟如下：Step1對(duì)原序列進(jìn)行純隨機(jī)性及平穩(wěn)性檢驗(yàn)與處理Step2模型的識(shí)別與定階Step3模型的建立Step4模型的優(yōu)化Step5模型的檢驗(yàn)Step6模型的預(yù)測(cè)MATLAB源代碼如下：clc,clearA=textread('例題2.txt');%把原始數(shù)據(jù)去掉年份按照原來(lái)的排列格式存放在純文本文件hua.txtN=length(A);H=lbqtest(A)%原始序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)D=0;%初始化差分階數(shù)dA=A;ifadftest(A)~=1dA=diff(A);D=1;whileadftest(dA)~=1%判斷一次差分后是否平穩(wěn),如果時(shí)間序列不平穩(wěn)就再次進(jìn)行下一次差分，直到平穩(wěn)為止dA=diff(dA);D=D+1;endenddA;%達(dá)到平穩(wěn)后差分的結(jié)果；D%輸出最后達(dá)到平穩(wěn)所需要經(jīng)過(guò)的差分次數(shù)%畫出自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)的圖像，來(lái)找到合適的參數(shù)p,q的范圍；subplot(221);autocorr(dA)%畫出自相關(guān)圖，圖中上下兩條橫線分別表示自相關(guān)系數(shù)的上下界，超出邊界的部分表示存在相關(guān)關(guān)系。[a,b]=autocorr(dA)%a為各階的相關(guān)系數(shù)，b為滯后階數(shù)subplot(222);parcorr(dA)%畫出偏自相關(guān)圖[c,d]=parcorr(dA)%c為各階的偏自相關(guān)系數(shù)，d為滯后階數(shù)n=length(dA);%差分后的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)k=0;%初始化的試探模型的個(gè)數(shù)；fori=0:1forj=0:1ifi==0&&j==0continueelseifi==0ToEstMd=arima('MALags',1:j,'Constant',0);%指定模型的結(jié)構(gòu)為MA模型elseifj==0ToEstMd=arima('ARLags',1:i,'Constant',0);%指定模型的結(jié)構(gòu)為AR模型elseToEstMd=arima('ARLags',1:i,'MALags',1:j,'Constant',0);%指定模型的結(jié)構(gòu)為ARMA模型endk=k+1;p(k)=i;q(k)=j;[EstMdl,EstParamCov,logL,info]=estimate(ToEstMd,dA);%模型擬合,將假設(shè)的模型和數(shù)據(jù)擬合起來(lái);numParams=sum(any(EstParamCov));%計(jì)算擬合參數(shù)的個(gè)數(shù)%computeAkaikeandBayesianInformationCriteria[aic(k),bic(k)]=aicbic(logL,numParams,n);%使用aicbic函數(shù)求取每個(gè)模型對(duì)應(yīng)的AIC，BIC的值endendfprintf('p,q,AIC,BIC的對(duì)應(yīng)值如下\n%f');%顯示計(jì)算結(jié)果check=[p',q',aic',bic']r=input('輸入階數(shù)p＝');m=input('輸入階數(shù)q＝');M=armax(dA,[r,m]);%模型擬合dAs=predict(M,dA);%計(jì)算殘差向量res=dA-dAs;h=lbqtest(res)%進(jìn)行模型檢驗(yàn)ifh==0ifr==0ToEstMd=arima('MALags',1:m,'Constant',0);%指定模型的結(jié)構(gòu)為MA模型elseifm==0ToEstMd=arima('ARLags',1:r,'Cons