(5.6.15)-4.8常微分方程數(shù)值解

紅色字體表示在屏幕上需要體現(xiàn)的文字內(nèi)容，與語音同時出現(xiàn)黃底色紅字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示并顯示文字黃底色黑字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示，文字不用顯示灰底色刪除線表示刪除的文字批注制作的意見或重點(diǎn)文字的提煉藍(lán)色字體制作的意見或說明綠色字體表示講稿存疑之處，需要與老師進(jìn)行溝通如無特殊說明，上屏文字均為：思源宋體CNSemiBold腳本-常微分方程數(shù)值解（ppt1ppt2）同學(xué)，你好，這節(jié)課我們講授微分方程數(shù)值解。（ppt3）首先，我們來介紹一下是微分方程問題的背景。（ppt4）（動畫1）微分方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用非常廣泛，例如生物、物理、化學(xué)等學(xué)科都涉及微分方程的應(yīng)用，微分方程也是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際生活的重要途徑。（動畫2）例如，物理中的彈性震動問題涉及微分方程。（動畫3）還有在化學(xué)實(shí)驗(yàn)中反應(yīng)物和生成物之間的關(guān)系，也是一個微分方程問題，說明微分方程能描述許多實(shí)際問題。（ppt5）（動畫1）那么我們?yōu)槭裁匆芯课⒎址匠痰臄?shù)值解，這對我們解決實(shí)際問題的有哪些方面的影響?（動畫2，3）以下面這個化學(xué)反應(yīng)方程為例。（動畫4，動畫5）我們這個化學(xué)反應(yīng)方程是一個非線性方程，難以求的真解（動畫6，7）針對難求真解的情況下，我們是可以利用數(shù)值方法得到方程的數(shù)值解，從而對該模型進(jìn)行了求解。（ppt6）接下來我們學(xué)習(xí)常微分方程數(shù)值解。（ppt7）先來看一下微分方程的問題模型。（動畫1）我們考慮的問題類為一階常微分方程的初值問題。（動畫2）也就是y對x的導(dǎo)數(shù)等于f(x,y)，y(x_0)等于y_0。（動畫3）其中，f(x,y)為的連續(xù)函數(shù)，x_0,y_0是給定的初始值，精確解記為y(x)。下面我們將對問題模型進(jìn)行數(shù)值求解。（動畫4，5）首先，我們對定義區(qū)間a到b進(jìn)行均勻剖分，得到離散點(diǎn)a等于x_0小于x_1小于x_2小于x_N等于b，定步長記為h。如圖所示。（ppt8）其次，我們考慮利用不同的數(shù)值方法進(jìn)行建模，利用不同的數(shù)值方法近似代替導(dǎo)數(shù)，再對目標(biāo)方程進(jìn)行求解。（動畫2）先來看第一種方法——向前歐拉方法，（動畫3）利用向前差商y(x_n+1)減去y(x_n)再比上步長h，代替y在x_n處的導(dǎo)數(shù)，則有（動畫4）??(??_(??+1))約等于??(??_??)加上?乘以??(??_??,??(??_??))。（動畫5）若考慮的是向后歐拉方法。（動畫6）類似的，利用向后差商y(x_n+1)減去y(x_n)再比上步長h代替y在x_(n+1)處的導(dǎo)數(shù)，（動畫7）則有??(??_(??+1))約等于??(??_??)加上?乘以??(??_(??+1),??(??_(??+1)))，（ppt9）（動畫1）將y_n，y_(n+1)近似代替??(??_??),??(??_(??+1))，結(jié)合初值條件，得到向前歐拉方法模型為(動畫2)y_(n+1)等于y_n加上h乘以f(x_n,y_n)，再帶上初值條件y_0等于y(x_0)。（動畫3，4）向后歐拉方法模型為y_(n+1)等于y_n加上h乘以f(x_(n+1),y_(n+1))，再帶上初值條件y_0等于y(x_0)。（ppt10）（動畫1）我們剛剛所討論的向前歐拉方法也稱為顯式歐拉方法；向后歐拉方法也稱為隱式歐拉方法；它們的局部截斷誤差都為，整體誤差都為。（動畫2）再來看一下這兩種方法的區(qū)別：（動畫3）1.顯式歐拉方法計算簡單，但穩(wěn)定性稍差，也即初值擾動一點(diǎn)點(diǎn)，可能數(shù)值解變化比較大；（動畫4）2.隱式歐拉方法是無條件穩(wěn)定的；但在數(shù)值計算時，需要每一步都需要計算一個非線性方程。（ppt11）（動畫1）我們還可以用改進(jìn)的歐拉方法求解微分方程的數(shù)值解。（動畫2）對微分方程y對x的導(dǎo)數(shù)等于f(x,y(x))的兩端同時在區(qū)間??_??到??_(??+1)上進(jìn)行積分，根據(jù)梯形公式，則可以得到（動畫3）??(??_(??+1))???(??_??)約等于2分之(??_(??+1)???_??)乘以f(x,y)在x_n和x_n+1處的取值的和。（動畫4，5）類似我們用y_n+1和y_n代替y(x_(n+1))和y(x_n)，就可以得到下面這個式子。（動畫6）我們稱該方法為改進(jìn)的歐拉方法，該方法可以理解為向前歐拉方法和向后歐拉方法加起來取平均值。這樣處理能提升方法的精度。局部截斷誤差是，整體誤差是。（ppt12）（動畫1）最后，我們考慮利用龍格-庫塔方法對方程進(jìn)行建模求解。（動畫2，3）考慮方程(1)，由拉格朗日微分中值定理知，存在??屬于(??_??,??_(??+1))使Y在ξ這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于(??(??_(??+??))???(??_??))除以??，再可以推導(dǎo)出??(??_(??+??))等于??(??_??)加??乘以Y在ξ這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即等于??(??_??)加????星。（動畫4）其中，K星等于y在ξ這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，也等于f(x,y)在ξ這一點(diǎn)的取值，我們把它稱為??(??_??)在??_??到??_(??+1)開區(qū)間上的平均斜率。（動畫5）若考慮取點(diǎn)x_n的斜率值K_1等于f(??_??,??_??)作為平均斜率,（動畫6）有??(??_(??+1))等于??(??_??)加?乘以??(??_??,??_??)，（動畫7）則該方法轉(zhuǎn)化為顯式歐拉方法。（ppt13）（動畫1）若考慮取點(diǎn)x_n的平均斜率為??星等于2分之(??_1+??_2),其中，K_1等于f(x_n,y_n)以及??_2=??(??_(??+??),??_??+???_1)，（動畫2）則??_(??+1)等于??_??加上2分之h乘以[??(??_??,??_??)+??(??_(??+1),??_(??+1))]，（動畫3）則該方法轉(zhuǎn)化為改進(jìn)的歐拉方法。（ppt14）（動畫1）經(jīng)典的4階龍格-庫塔格式如下：??_(??+1)等于??_??加上6分之h乘以K_1加2K_2加2K_3加K_4。這里K_1，K_2，K_3和K_4可以表示為下面這些等式。（ppt15）接下來，我們將一起探討微分方程實(shí)際應(yīng)用。（ppt16）（動畫1）來看第一個例子，考慮微分初值問題y對t的導(dǎo)數(shù)等于??減去y分之2x，其中x是屬于0到1的。并且y(0)等于1。（動畫2）其中，方程的真解為y等于根號下(1+2x)，我們?nèi)〔介Lh等于0.2。（動畫3）分別利用向前歐拉方法、向后歐拉方法、改進(jìn)的歐拉方法以及4階龍格-庫塔方法求解，數(shù)值試驗(yàn)得到的近似解與真解進(jìn)行對比，如表1所示。（ppt17）（動畫1）對比不同數(shù)值方法的數(shù)值結(jié)果（ppt18）（動畫1）根據(jù)計算結(jié)果我們可以得到結(jié)論（動畫2）1、改進(jìn)的歐拉方法要比顯（隱）式歐拉方法的效果好，且局部截斷誤差提高了一階；（動畫3）2、4階龍格庫塔方法的計算精度更高。（ppt19）（動畫1，2）我們再來看第二個例子：考慮描述某種化學(xué)反應(yīng)方程的微分初值問題，看下面這個微分方程，其中，y_1(t),y_2(t),y_3(t)表示的是反應(yīng)物的濃度。（ppt20）（動畫1）我們利用龍格-庫塔方法對微分方程進(jìn)行求解，在MATLAB中用ODE23命令，試驗(yàn)結(jié)果如下圖