線性代數(shù)與概率論（第五版） 課件 2.2 矩陣的秩

第二節(jié)矩陣的秩1本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

理解階梯形矩陣及簡化階梯形矩陣的概念。

熟練掌握矩陣的三種初等行變換。

理解矩陣的秩的概念及性質[能力目標]

能熟練計算矩陣的秩的運算。階梯型矩陣2第二節(jié)矩陣的秩在矩陣中,若一行的元素皆為零,則稱這行為零行若一行的元素不全為零,則稱這行為非零行在非零行中,從左往右數(shù),第一個不為零的元素稱為首非零元素階梯型矩陣3第二節(jié)矩陣的秩定義2.7已知矩陣A,若它同時滿足:(1)各非零行首非零元素分布在不同列;(2)當有零行時,零行在矩陣的最下端.則稱矩陣A為階梯形矩陣.例14第二節(jié)矩陣的秩

階梯型矩陣5第二節(jié)矩陣的秩定義2.8已知階梯形矩陣A,若它同時還滿足:(1)各非零行首非零元素皆為1(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零則進而稱階梯形矩陣A為簡化階梯形矩陣.例26第二節(jié)矩陣的秩

矩陣的初等行變換7第二節(jié)矩陣的秩定義2.9對矩陣施以下列三種變換:(1)交換矩陣的任意兩行(2)矩陣的任意一行乘以非零數(shù)k(3)矩陣任意一行的數(shù)k倍加到另外一行上去稱為矩陣的初等行變換.矩陣的初等行變換8第二節(jié)矩陣的秩考慮矩陣

若將第1行與第3行交換,有

→

矩陣的初等行變換9第二節(jié)矩陣的秩

→

容易看出,積B1A

=A1這說明:交換矩陣A的第1行與第3行相當于用矩陣B1左乘矩陣A矩陣的初等行變換10第二節(jié)矩陣的秩若將第2行乘以非零數(shù)k,有

→

→矩陣的初等行變換11第二節(jié)矩陣的秩容易看出,積B2A

=A2這說明:用非零數(shù)k乘矩陣A的第2行相當于用矩陣B2左乘矩陣A.矩陣的初等行變換12第二節(jié)矩陣的秩若將第1行的k倍加到第2行上去,有

→

矩陣的初等行變換13第二節(jié)矩陣的秩

→

容易看出,積B3A

=A3這說明:矩陣A第1行的k倍加到第2行上去相當于用矩陣B3左乘矩陣A.矩陣的初等行變換14第二節(jié)矩陣的秩定理2.1對任何矩陣A作若干次初等行變換得到矩陣C,相當于用單位矩陣I作同樣若干次初等行變換所得到的矩陣B左乘矩陣A,即BA=C矩陣的初等行變換15第二節(jié)矩陣的秩

首先觀察第1列元素中有多少個非零行首非零元素,若不超過一個,則已符合要求;

矩陣的初等行變換16第二節(jié)矩陣的秩然后再用同樣方法依次觀察和處理其他各列,直至使得非零行首非零元素在不同列為止在對矩陣作初等行變換的過程中,若有零行出現(xiàn),則適時將零行移至矩陣的最下端.矩陣的秩17第二節(jié)矩陣的秩定義2.10已知矩陣A,當矩陣A為階梯形矩陣,或矩陣A雖非階梯形矩陣但可經過若干次初等行變換化為階梯形矩陣.若階梯形矩陣非零行為r行,則稱矩陣A的秩為r,記作r(A)=r例318第二節(jié)矩陣的秩已知矩陣

，則秩r(A)=

.

解:容易看出,所給矩陣A中4行都是非零行,第1行首非零元素1在第3列,第2行首非零元素1在第1列,第3行首非零元素1在第2列,第4行首非零元素1在第4列,它們在不同列,因而矩陣A為階梯形矩陣.又由于其非零行為4行,說明秩r(A)=44例419第二節(jié)矩陣的秩

解:容易看出,所給矩陣A中3行都是非零行,其中第2行與第3行的首非零元素同在第2列,因而矩陣A不為階梯形矩陣,對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣,有例420第二節(jié)矩陣的秩

第2行乘以3,第3行乘以2

第2行的-1倍加到第3行上去

由于階梯形矩陣非零行為3行,于是秩r(A)=3例521第二節(jié)矩陣的秩

容易看出,所給矩陣A中4行都是非零行,它們的首非零元素同在第1列,因而矩陣A不為階梯形矩陣,對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣.有解:例522第二節(jié)矩陣的秩

第1行的-2倍加到第2行上去第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-1倍加到第4行上去

第2行的-1倍分別加到第3行與第4行上去例523第二節(jié)矩陣的秩

由于階梯形矩陣非零行為2行,于是秩r(A)=2.例624第二節(jié)矩陣的秩

對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣.有解:

例625第二節(jié)矩陣的秩第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-5倍加到第4行上去

第2行分別加到第3行與第4行上去

注意到第1行與第2行都是非零行,第4行是零行,欲使得秩r(A)=2,第3行必須是零行.所以元素x=0,使得秩r(A)=2.矩陣的秩的性質26第二節(jié)矩陣的秩矩陣的秩具有下列性質:性質1

r(A)≤min{m,n}矩陣的秩的性質27第二節(jié)矩陣的秩性質2對于m行矩陣A,如果存在m列元素構成m階行列式不為零,則秩r(A)=m矩陣的秩的性質28第二節(jié)矩陣的秩性質3轉置矩陣AT的秩等于矩陣A的秩,即秩r(