高中一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)板塊命題點(diǎn)專(zhuān)練（八）平面向量

板塊命題點(diǎn)專(zhuān)練(八)平面向量命題點(diǎn)一平面向量基本定理命題指數(shù)：☆☆☆☆☆難度：低題型：選擇題、填空題1.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up7(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)解析：選A法一：設(shè)C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up7(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))從而eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A.法二：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故選A.2．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(BC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))解析：選Aeq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，故選A.3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))解析：選Aeq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，故選A.4．(2016·北京高考)設(shè)a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選D若|a|＝|b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為菱形．a(chǎn)＋b，a－b表示的是該菱形的對(duì)角線(xiàn)，而菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，從而充分條件不成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，而矩形的鄰邊長(zhǎng)度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，從而必要條件不成立．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件．5．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\r(5) D．2解析：選A以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直線(xiàn)BD的方程為2x＋y－2＝0，點(diǎn)C到直線(xiàn)BD的距離為eq\f(2,\r(22＋12))＝eq\f(2,\r(5))，所以圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝eq\f(4,5).因?yàn)镻在圓C上，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2\r(5),5)cosθ，2＋\f(2\r(5),5)sinθ)).又eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,0)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(0,2)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))＝(λ，2μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2\r(5),5)cosθ＝λ，,2＋\f(2\r(5),5)sinθ＝2μ，))λ＋μ＝2＋eq\f(2\r(5),5)cosθ＋eq\f(\r(5),5)sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tanφ＝2)，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝eq\f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z時(shí)，λ＋μ取得最大值3.命題點(diǎn)二平面向量數(shù)量積命題指數(shù)：☆☆☆☆☆難度：中、低題型：選擇題、填空題、解答題1.(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：選A因?yàn)閑q\o(BA,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).又因?yàn)閑q\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝eq\f(\r(3),2)，所以cos∠ABC＝eq\f(\r(3),2).又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.2．(2017·浙江高考)如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點(diǎn)O.記I1＝eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))，I2＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))，I3＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))，則()A．I1<I2<I3 B．I1<I3<I2C．I3<I1<I2 D．I2<I1<I3解析：選C如圖所示，四邊形ABCE是正方形，F(xiàn)為正方形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，易得AO<AF，而∠AFB＝90°，∴∠AOB與∠COD為鈍角，∠AOD與∠BOC為銳角．根據(jù)題意，I1－I2＝eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|·|eq\o(CA,\s\up7(→))|cos∠AOB<0，∴I1<I2，同理得，I2>I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB<BG＝GD<OD，而OA<AF＝FC<OC，∴|eq\o(OA,\s\up7(→))|·|eq\o(OB,\s\up7(→))|<|eq\o(OC,\s\up7(→))|·|eq\o(OD,\s\up7(→))|，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))>eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))，即I1>I3，∴I3<I1<I2.3．(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若eq\r(3)e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是________．解析：因?yàn)閑q\f(\r(3)e1－e2·e1＋λe2,|\r(3)e1－e2|·|e1＋λe2|)＝eq\f(\r(3)－λ,2\r(1＋λ2))，故eq\f(\r(3)－λ,2\r(1＋λ2))＝eq\f(1,2)，解得λ＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)4．(2017·浙江高考)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4.又eq\f(|a＋b|＋|a－b|,2)≤eq\r(\f((a＋b)2＋(a－b)2,2))＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值為2eq\r(5).法二：設(shè)a，b的夾角為θ.∵|a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝eq\r(a＋b2)＋eq\r(a－b2)＝eq\r(5＋4cosθ)＋eq\r(5－4cosθ).令y＝eq\r(5＋4cosθ)＋eq\r(5－4cosθ)，則y2＝10＋2eq\r(25－16cos2θ).∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，∴y∈[4,2eq\r(5)]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值為4，最大值為2eq\r(5).答案：42eq\r(5)5．(2017·天津高考)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，且eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝－4，則λ的值為_(kāi)_______．解析：法一：eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝3×2×eq\f(1,2)＝3，所以eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))))·(－eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ－\f(2,3)))eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)λeq\o(AC,\s\up7(→))2＝－3＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ－\f(2,3)))＋eq\f(2,3)λ×4＝eq\f(11,3)λ－5＝－4，解得λ＝eq\f(3,11).法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up7(→))的方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨假設(shè)點(diǎn)C在第一象限，則A(0,0)，B(3,0)，C(1，eq\r(3))．由eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2\r(3),3)))，由eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，得E(λ－3，eq\r(3)λ)，則eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2\r(3),3)))·(λ－3，eq\r(3)λ)＝eq\f(5,3)(λ－3)＋eq\f(2\r(3),3)×eq\r(3)λ＝eq\f(11,3)λ－5＝－4，解得λ＝eq\f(3,11).答案：eq\f(3,11)6．(2016·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若對(duì)任意單位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤eq\r(6)，則a·b的最大值是________．解析：由于e是任意單位向量，可設(shè)e＝eq\f(a＋b,|a＋b|)，則|a·e|＋|b·e|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·a＋b,|a＋b|)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b·a＋b,|a＋b|)))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·a＋b,|a＋b|)＋\f(b·a＋b,|a＋b|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b·a＋b,|a＋b|)))＝|a＋b|.∵|a·e|＋|b·e|≤eq\r(6)，∴|a＋b|≤eq\r(6)，∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6.∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，∴a·b≤eq\f(1,2)，∴a·b的最大值為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.解析：法一：易知|a＋2b|＝eq\