考研數(shù)學三(線性代數(shù))歷年真題試卷匯編8(題后含答案及解析)

考研數(shù)學三（線性代數(shù)）歷年真題試卷匯編8(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．行列式=()A．(ad一bc)2。B．一(ad一bc)2。C．a(chǎn)2d2一b2c2。D．一a2d2+b2c2。正確答案：B解析：由行列式的展開定理展開第一列。=一ad(ad一bc)+bc(ad—bc)=一(ad一bc)2。故選B。知識模塊：線性代數(shù)2．設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，若A3=O，則()A．E一A不可逆，E+A不可逆。B．E—A不可逆，E+A可逆。C．E—A可逆，E+A可逆。D．E—A可逆，E+A不可逆。正確答案：C解析：(E—A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。故E—A，E+A均可逆。知識模塊：線性代數(shù)3．設α是n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則()A．E一ααT不可逆。B．E+ααT不可逆。C．E+2ααT不可逆。D．E一2ααT不可逆。正確答案：A解析：由α是n維單位列向量可知(ααT)α=α(αTα)=α，且1≤r(ααT)≤r(α)=1，即1是矩陣ααT的特征值，且r(ααT)=1，所以ααT的特征值為0(n一1重)和1。矩陣E一ααT的特征值為1(n一1重)和0，則E一ααT不可逆。E+ααT的特征值為1(n一1重)和2，E+2ααT的特征值為1(n一1重)和3，E一2ααT的特征值為1(n一1重)和一1，三者的矩陣行列式均不為零，因此均可逆。不可逆的只有A選項。知識模塊：線性代數(shù)4．設矩陣A=(aij)3×3滿足A*=AT，其中A*是A的伴隨矩陣，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣。若a11，a12，a13為三個相等的正數(shù)，則a11為()A．。B．3。C．。D．。正確答案：A解析：由A*=AT及AA*=A*A=｜A｜E，有aij=Aij，i，j=1，2，3，其中Aij，為aij的代數(shù)余子式，且AAT=｜A｜E→｜A｜2=｜A｜3→｜A｜=0或｜A｜=1。而｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=3a112≠0，于是｜A｜=1，且a11=。故正確選項為A。知識模塊：線性代數(shù)5．設A，B均為二階矩陣，A*，B*分別為A，B的伴隨矩陣。若｜A｜=2，｜B｜=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為()A．B．C．D．正確答案：B解析：根據(jù)CC*=｜C｜E，則C*=｜C｜C-1，C-1=C*。分塊矩陣=(一1)2×2｜A｜｜B｜=2×3=6≠0，即分塊矩陣可逆，故答案為B。知識模塊：線性代數(shù)6．設A=，其中A可逆，則B-1等于()A．A-1P1P2。B．P1A-1P2。C．P1P2A-1。D．P2A-1P1。正確答案：C解析：由所給矩陣A，B觀察，將A的二，三列互換，再將A的一，四列互換，可得B。根據(jù)初等矩陣變換的性質(zhì)，知將A的二、三列互換相當于在矩陣A的右側(cè)乘以E23，將A的一、四列互換相當于在矩陣A的右側(cè)乘以E14，即AE23E14=B，其中E23=，由題設條件知P1=E1，P2=E23，因此B=AP2P1。由于對初等矩陣Eij有，Eij-1=Eij，故P1-1=P1，P2-1=P2。因此，由B=AP2P1及逆矩陣的運算規(guī)律，有B-1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1。知識模塊：線性代數(shù)7．設A為三階矩陣，將A的第二行加到第一行得B，再將B的第一列的一1倍加到第二列得c，記P=，則()A．C=P-1AP。B．C=PAP-1。C．C=P-1AP。D．C=PAPT。正確答案：B解析：而P-1=，則有C=PAP-1。故應選B。知識模塊：線性代數(shù)8．設A為三階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B，再交換B的第二行與第三行得單位矩陣。記P1=，則A=()A．P1P2。B．P1-1P2。C．P2P1。D．P2P1-1。正確答案：D解析：由題設條件可知，矩陣P1，P2正是和題中所給的初等變換對應的初等矩陣，根據(jù)初等矩陣的性質(zhì)，有B=AP1和E=P2B，從而E=P2AP1，即A=P2-1P1-1=P2P1-1，因此選D。另一方面，由于對矩陣A作一次初等行(列)變換，相當于用對應的初等矩陣左(右)乘矩陣A，所以根據(jù)題意可知選項A，B是錯誤的，而P1-1≠P1，所以選項C也是錯誤的。知識模塊：線性代數(shù)9．設A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P-1AP=。若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，則Q-1AQ=()A．B．C．D．正確答案：B解析：由P-1AP=可知矩陣A可相似對角，且可逆矩陣P的列向量α1，α2，α3與對角矩陣的特征值1，1，2一一對應。由此可知，λ=1是矩陣A的二重特征值，且λ=1對應的特征向量為α1，α2，則α1+α2還是屬于λ=1的特征向量。從而Q-1AQ=，故選B。知識模塊：線性代數(shù)10．齊次線性方程組，的系數(shù)矩陣記為A。若存在三階矩陣B≠O使得AB=O，則()A．λ=一2且｜B｜=0。B．λ=一2且｜B｜≠0。C．λ=1且｜B｜=0。D．λ=1且｜B｜≠0。正確答案：C解析：由AB=O知，r(A)+r(B)≤3，又A≠O，B≠O，于是1≤r(A)＜3，1≤r(B)＜3，故｜A｜=0，｜B｜=0，即｜A｜==(1一λ)2=0，得λ=1。應選C。知識模塊：線性代數(shù)11．設n(n≥3)階矩陣若矩陣A的秩為n一1，則a必為()A．1。B．。C．-1。D．。正確答案：B解析：其中(1)變換：將1行乘以(一1)再分別加到其余各行；(2)變換：將其余各列分別加到第1列。由階梯形矩陣知，當1+(n一1)a=0，即a=時，有r(A)=n一1，故應選B。知識模塊：線性代數(shù)填空題12．設隨機變量Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)獨立同分布，E(Xij)=2，則行列式Y=的數(shù)學期望E(Y)=__________。正確答案：0解析：由行列式的定義知，行列式是由n個元素Xij的乘積組成的n!項和式，每一項都是n個元素的乘積，這n個元素取自行列式中不同行和不同列，在這全部n!項中每項都帶有正號或負號。由于隨機變量Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)獨立，所以有所以前面無論取正號或者負號，對和式的期望等于各項期望之和。即有而Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)同分布，且EXij=2。所以，(行列式的性質(zhì)：若行列式兩行(列)成比例，則行列式為0)。知識模塊：線性代數(shù)13．行列式=__________。正確答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：令D4=，將行列式按第一列展開可得D4=λD3+4，所以D4=λ(2D2+3)+4=λ2(λD1+2)+3λ+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4。知識模塊：線性代數(shù)14．若四階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為，則行列式｜B-1一E｜=__________。正確答案：24解析：A～B→A，B有相同的特征值。由矩陣B-1是矩陣B的逆矩陣，它們所有特征值具有倒數(shù)的關系，得B-1有特征值2，3，4，5，由B-1的特征矩陣為｜λE一B-1｜，B-1一E的特征矩陣為｜λE一(B-1一E)｜=｜(λ+1)E—B-1｜，可以看出B與B-1一E的特征值相差1，所以B-1一E有特征值1，2，3，4。由矩陣的行列式等于其特征值的乘積，知｜B-1一E｜=λi=1．2．3．4=24。知識模塊：線性代數(shù)15．設矩陣A=，E為二階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則｜B｜=__________。正確答案：2解析：由題設，有B(A—E)=2E，于是有｜B｜｜A-E｜=4，而｜A—E｜==2，所以｜B｜=2。知識模塊：線性代數(shù)16．設三階矩陣A的特征值為1，2，2，E為三階單位矩陣，則｜4A-1一E｜=________。正確答案：3解析：A的特征值為1，2，2，所以A-1的特征值為1，，所以4A-1一E的特征值為4×1—1=3，4×—1=1，故｜4A-1一E｜=3×1×1=3。知識模塊：線性代數(shù)17．設A，B為三階矩陣，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，則｜A+B-1｜=__________。正確答案：3解析：｜A+B-1｜=｜B-1(BA+E)｜=｜B-1(BA+A-1A)｜=｜B-1(B+A-1)A｜=｜B-1｜｜(B+A-1)｜｜A｜=(B+A-1)｜｜A｜=×2×3=3。知識模塊：線性代數(shù)18．設A為三階矩陣，｜A｜=3，A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第一行與第二行得到矩陣B，則｜BA*｜=__________。正確答案：一27解析：由題意可知｜BA*｜=｜B｜｜A*｜，其中｜B｜=一｜A｜=一3，｜A*｜=｜A｜3-1=9，則｜BA*｜=一27。知識模塊：線性代數(shù)19．設A=(aij)是三階非零矩陣，｜A｜為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式。若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，則｜A｜=__________。正確答案：一1解析：由于以aij+Aij=0，結合伴隨矩陣的定義可以得到A*=一AT。兩邊同時求行列式可得｜A*｜=｜—AT｜，也即｜A｜2=一｜A｜，從而可以得到｜A｜=0或｜A｜=一1。若｜A｜=0，則AA*=｜A｜E=O，即AAT=O。再結合r(AAT)=r(A)，會得到A=O，產(chǎn)生矛盾。從而｜A｜=一1。知識模塊：線性代數(shù)20．設三階矩陣A的特征值為2，一2，1，B=A2一A+E，其中E為三階單位矩陣，則行列式｜B｜=__________。正確答案：21解析：假設A的特征值為A，則B=A2一A+E有特征值λ2一λ+1。由題設可知矩陣A的特征值為2，一2，1。所以矩陣B的特征值為3，7，1。則｜B｜=3．7．1=21。知識模塊：線性代數(shù)21．設A=，而n≥2為整數(shù)，則An一2An-1=__________。正確答案：O解析：A=，根據(jù)矩陣的乘法，以及數(shù)與矩陣相乘，矩陣的每一個元素都要乘以該數(shù)，有故有An一2An-1=An-2(A2一2A)=O?；蛴葾2=2A，式子左右兩端同右乘An-2，得A2．An-2=2A．An-2，即An=2An-1，得An一2An-1=O?；蛴葾2=2A，式子左右兩端同右乘A，得A2．A=A3=(2A)A=2A2=2(2A)=22A，式子左右兩端再同乘A，得A3．A=A4=A2(2A)=2A3=2．22A=23A，…，依此類推，得An-1=2n-2A，An=2n-1A，所以An一2An-1=2n-1A一2×2n-2A=2n-1A一2n-1A=O。知識模塊：線性代數(shù)22．設n維向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0；E為n階單位矩陣，矩陣A=E一ααT，B=E+ααT，其中A的逆矩陣為B，則a=__________。正確答案：一1解析：由題設，有AB=(E一ααT)(E+ααT)=E一ααT+ααT．ααT=E一ααT+α(αTα)αT=E一ααT+ααT一2aααT=E+(一1—2a+)ααT=E，于是有一1—2a+=0，即2a2+a一1=0，解得a=，a=一1。由于a＜0，故a=一1。知識模塊：線性代數(shù)23．設矩陣A=，且秩(A)=3，則k=_________。正確答案：一3解析：由初等變換(既可作初等行變換，也可作初等列變換)。不改變矩陣的秩，故對A進行初等變換可見只有當k=一3時，r(A)=3。故k=一3。知識模塊：線性代數(shù)解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。24．設矩陣A，B滿足A*BA=2BA一8E，其中A=，E為單位矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則B=__________。正確答案：解析：由題設A*BA=2BA一8E，由于｜A｜=一2≠0，所以A可逆。上式兩邊左乘A，右乘A-1，得AA*BAA-1=2ABAA-1一8AA-1．｜A｜B=2AB一8E(N用公式：AA*=｜A｜E，AA-1=E)，｜A｜B一2AB=一8E(移項)，(｜A｜E一2A)B=一8E(矩陣乘法的運算法則)，將｜A｜=一2代入上式，整理得(E+A)B=E。由矩陣可逆的定義，知E+A，B均可逆，且知