北師大版必修四第三章《三角恒等變形》教案

北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第三章《三角恒等變形》全部教案黑池高中王成林第一課時§3.1.1兩角和與差的余弦（一）（一）教學(xué)目標(biāo)：1、知識目標(biāo)：（1）利用向量的數(shù)量積去發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式；2）靈活正反運用兩角差的余弦。2、能力目標(biāo)：（1）通過求兩個向量的夾角，發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦，培養(yǎng)學(xué)生融會貫通的能力。（2）培養(yǎng)學(xué)生注重知識的形成過程。3、情感目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)，更進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“向量”的強(qiáng)大作用。（二）教學(xué)重點、難點重點：（1）兩角差的余弦；（2）靈活應(yīng)用兩角差的公式解決問題難點：（1）兩角差的余弦的推導(dǎo)；（2）兩角差的余弦的靈活應(yīng)用（三）教學(xué)方法：本節(jié)主要是采用數(shù)形結(jié)合的思路，由代數(shù)的精密推導(dǎo)和幾何的直觀性，推導(dǎo)出兩角差的余弦，使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣；另外，整體上是由特殊到一般，再由一般回歸特殊應(yīng)用的辯證唯物思想的方法。這樣學(xué)生易接受。（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積以及它的主要作用：求兩個向量夾角的余弦值。正板書：例1：已知向量，，求<>的余弦解：=1=1====即：cos15o==學(xué)生回答，老師寫副板書；寫出向量的數(shù)量積以及它的變形（求夾角的余弦值）師：求向量夾角的余弦值，應(yīng)具備哪些條件？生：應(yīng)該求出兩個向量的數(shù)量積以及它們各自的模師：回答很好。我們先來求這兩個向量的模以及它們的數(shù)量積。生：上黑板板書。師：下面我們來看看這道題的幾何解釋。由上面的代數(shù)解法可知，它們的模都是1，這說明它們都在單位圓上。（給出幻燈片或邊說邊畫）如果，，則∠AOB=<>=15o；通過圖形可知，實際上我們求的就是cos15o以舊帶新，注意創(chuàng)設(shè)問題的情境，為引出新課程打基礎(chǔ)。通過這道題一來鞏固向量積，二來為引出兩角差的余弦做好準(zhǔn)備。先通過代數(shù)方法來求；從幾何圖形上直觀的反應(yīng)這道題。加深同學(xué)們從幾何圖形上進(jìn)一步理解兩個向量夾角的余弦練習(xí)1：向量與向量夾角的余弦值解：cos<>=師：思考題：請同學(xué)們按照上述想法來看這道題師：提醒學(xué)生從幾何圖形方面想問題。并找學(xué)生回答。生：在坐標(biāo)系的單位圓中畫出向量，由圖形可知，這兩個向量的夾角是60o，所以它們夾角的余弦值是讓學(xué)生深刻理解和掌握通過圖形可以解決兩個向量夾角的余弦利用向量積公式出發(fā)來求，碰到的困難是“求不出向量積”；逼著學(xué)生從幾何角度想問題。公式的推導(dǎo)以及理解公式cos（α—β）的推導(dǎo)，以及公式的結(jié)構(gòu)。練習(xí)2：設(shè)∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夾角的余弦值是多少？解：點A，點B，那么，所以cos∠AOB=cos（α－β）=cos<>==總結(jié)：cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.師：如果上述圖形中∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夾角的余弦值是多少？生：點A，點B，那么，所以cos∠AOB=cos（α-β）=cos<>==師：非常好。我們注意到在推導(dǎo)過程中，角α，β沒有任何限制。所以cos（α-β）=由特殊到一般。推導(dǎo)出兩角差的余弦。公式的應(yīng)用例2：已知cosα=（），求cos（）解：因為cosα=，且所以sin==因此cos（）=coscosα+sinsinα=練習(xí)2：P135練習(xí)B1（1）3（2）4（2）師：請看這道題生：由α的余弦求出α的正弦，而是特殊值，由兩角差的余弦公式可以求出強(qiáng)化公式的應(yīng)用歸納小結(jié)本節(jié)主要是從向量的數(shù)量積以及利用向量在單位圓中的圖形兩種思路探討了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)。依賴板書，與學(xué)生共同總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。使學(xué)生對本課的知識點有一個完成得清晰的認(rèn)識，體現(xiàn)了由特殊到一般，以及數(shù)形結(jié)合的教育思想。布置作業(yè)P131：習(xí)題3-1A3；2（5）課后思考：兩角和的余弦公式鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識。注重公式的形成過程。五、教后反思：第二課時§３.1。兩角和與差的余弦(二)（一）教學(xué)目標(biāo)：1、知識目標(biāo)：掌握公式結(jié)構(gòu)特點，會用公式求值．2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的觀察，分析，類比，聯(lián)想能力，間接推理能力，自學(xué)能力．3、情感能力：發(fā)展學(xué)生正向，逆向思維能力，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．（二）教學(xué)重點，難點重點是公式的結(jié)構(gòu)特點，會用公式求值．難點是公式的逆向和變形運用．（三）教學(xué)方法：教師按照課本的知識結(jié)構(gòu)先設(shè)計若干問題，課前印發(fā)給學(xué)生，引導(dǎo)他們閱讀課本，課堂上在教師三導(dǎo)（引導(dǎo)，指導(dǎo)，輔導(dǎo)）下，以學(xué)生為主體，對所設(shè)問題進(jìn)行讀，議，練，講，其間教師通過提問，參與討論，巡視學(xué)生練習(xí)及板演，觀察學(xué)生情緒等渠道，及時搜集反饋信息，及時作出評價，再發(fā)指令，使教學(xué)過程處于動態(tài)平衡中．（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)公式先讓學(xué)生默寫兩角和與差的余弦公式，然后指出這兩個公式是討論復(fù)角與單角的余弦函數(shù)間的關(guān)系，且此關(guān)系對任意角均成立，并且要注意是錯誤的．以舊引新，注意創(chuàng)設(shè)情境，通過設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生開展積極的思維活動．公式的運用例1、已知，求．例1學(xué)生練習(xí)，板演，教師講評注意幾個問題：特殊角不需要查表，直接求出三角函數(shù)值．再求時，要注意角的取值范圍，三角函數(shù)值的正負(fù)．代入時，從左至右依次代入．注意可以象上面這樣逆用．例1是使學(xué)生掌握公式的正向應(yīng)用，并進(jìn)一步熟悉公式的特征，為后面的靈活運用奠定基礎(chǔ)．變式１：已知且均為銳角，求變式１教師講評注意幾個問題：將看作一個整體，角由得到．應(yīng)用公式由得到，再進(jìn)一步參考．確定的值．變式１是一個典型例題，在變式中注意配湊公式，對它的解法深入討論，有益于啟發(fā)學(xué)生思維，提高學(xué)生的解題能力，且在解題過程中提煉思想方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)．公式的運用例2利用證明：例2學(xué)生練習(xí)，教師講評注意兩個問題：方法１可以按和差角的余弦公式直接展開，將看作一個整體角．方法２也可以，再按誘導(dǎo)公式進(jìn)行運算．例2要求學(xué)生用兩種方法來做，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)．公式的運用練習(xí)１，已知求．練習(xí)１使用平方法將兩個等式平方，然后相加，利用只剩下問題得解．思維過程可以逆向，（考慮由入手，尋找想到平方．）通過這個練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．歸納小結(jié)從知識，方法兩個方面來對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)．對公式做到一掌握，二會想，三會用．使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有一個清晰完整的認(rèn)識布置作業(yè)教材練習(xí)３．１B2,3教材p131頁１思考題：1、已知cos()=求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。2、sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值鞏固本課所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，五、教學(xué)反思：第三課時3.1.2兩角和與差的正弦一、教學(xué)目標(biāo)：⒈知識目標(biāo)：掌握兩角和與差公式的推導(dǎo)過程；⒉能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生利用公式求值、化簡的分析、轉(zhuǎn)化、推理能力；⒊情感目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的正、逆向思維能力，構(gòu)建良好的思維品質(zhì)。二、教學(xué)重點、難點重點：兩角和與差公式的應(yīng)用和旋轉(zhuǎn)變換公式；難點：兩角和與差公式變aSina＋bCosa為一個角的三角函數(shù)的形式。三、教學(xué)方法：溫故、推新，循序漸進(jìn)，以學(xué)生為主體逐步掌握本節(jié)知識要點四、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)：⑴Cos(αβ)=？⑵Sin(π/2－α)=?⑶任意角三角函數(shù)的定義：若p(x，y)︱op︱=r則Sinα=?Cosα=?學(xué)生回答為證明Sin(αβ)作好準(zhǔn)備。公式推導(dǎo)及理解例：求證：Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ證明：（略）求證：Sin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ分析：等式兩邊的特征？如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦？聯(lián)系所學(xué)知識，已學(xué)過的哪一個公式可把α+β的三角函數(shù)化成α、β的函數(shù)形式？（學(xué)生回答）故需要把（α+β）的正弦化成與α+β的相關(guān)的余弦形式即可。問：Sin(α+β)應(yīng)化成哪個角的余弦形式？問：Cos[－(α+β)]又如何展開才可得到α、β的正、余弦形式？學(xué)生證明注重分析，使學(xué)生理解知識間的相互轉(zhuǎn)化。鞏固Sin(α+β)的推導(dǎo)過程。公式的深化（標(biāo)題）兩角和與差的正弦Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβSin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ公式的特征及與兩角和與差的余弦的區(qū)別公式的作用正用：求非特殊角的正弦值。如：求Sin75°=？Sin15°=？逆用：把具有角α、β的正余弦交叉積的形式化簡求值。如Sin22°Cos38°＋Cos22°Sin38°=?練習(xí)：P138/2⑴—⑸，3鞏固公式公式的應(yīng)用例1：已知向量=(3，4)逆時針旋轉(zhuǎn)45°到的位置，求點p’(x’，y’)的坐標(biāo)。解：（略）例2：已知點P（x，y）與原點的距離保持不變，逆時針旋轉(zhuǎn)θ角到點p’(x’，y’)求證：x’=xCosθ－ySinθy’=xSinθ＋yCosθ證明：（略）注：這個結(jié)論叫旋轉(zhuǎn)變換公式練習(xí)：P139/2例3：求函數(shù)y=aSinx+bCosx的最大值和最小值，其中a，b是不同時為零的實數(shù)。解：（略）注：凡形如的相關(guān)問題，一般提出去處理。練習(xí)：(1)求y=Sinx＋Cosx的最值和周期(2)p138例5問題：求點p’(x’，y’)的坐標(biāo)必須知怎樣的條件？由所給點P的坐標(biāo)可知哪些結(jié)論？師生共同完成解答過程若把向量=(3，4)改為=(x，y)，結(jié)論變嗎？再把45°改為θ，對結(jié)論有影響嗎？學(xué)生證明。問：公式的記憶規(guī)律？問題：欲求函數(shù)y=aSinx+bCosx的最值和周期，必須化成什么形式？已知表達(dá)式中的Sinx、Cosx系數(shù)變成同一個角θ的余弦、正弦方可。設(shè)P(a，b)，則設(shè)以op為終邊的一個角為θ，則Cosθ、Sinθ即可用a、b表示此時需對y=aSinx+bCosx做怎樣的變形？問題：y=aSinx＋bCosβ還可提嗎？學(xué)生練習(xí)學(xué)生看書培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和運算推理能力歸納小結(jié)作業(yè)本節(jié)所學(xué)知識：Sin(α±β)公式的推導(dǎo)及Sin(α±β)的應(yīng)用。P132/A4，B1，3師生一起總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納整理的學(xué)習(xí)習(xí)慣五、教學(xué)反思：第四課時3.1兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)一.教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：（1）能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；（2）能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；（3）能夠運用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡、求值、證明；（4）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（5）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.2.過程與方法：通過創(chuàng)設(shè)情境：通過向量的手段證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會向量作為一種有效手段的同時掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3.情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認(rèn)識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點：重點:公式的應(yīng)用.難點:兩角差的余弦公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式.(2)探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.(3)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)過程（一）、復(fù)習(xí)：1、寫出兩角和與差的余弦公式，說說它是如何推導(dǎo)的。2、寫出兩角和與差的正弦公式，說說它是如何推導(dǎo)的。3、說說公式結(jié)構(gòu)的特征。（二）、例題解析：例1、利用和（差）角公式計算下列各式的值（1）、；（2）、；解：分析：解此類題首先要學(xué)會觀察，看題目當(dāng)中所給的式子與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個相象.（1）、；（2）、；例2、已知是第四象限角，求的值.解：因為是第四象限角，得，，于是有例3、已知，是第三象限角，求的值.解：因為，由此得又因為是第三象限角，所以所以點評：注意角、的象限，也就是符號問題.例4、化簡解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？思考：是怎么得到的？，我們是構(gòu)造一個叫使它的正、余弦分別等于和的.（三）、小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運用.（四）作業(yè)：習(xí)題3.1A組第1,2,3題．五、課后反思：第五課時3.1.3兩角和與差的正切函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：（1）能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；（2）能夠運用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明；（3）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（4）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.2、過程與方法：借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會各個公式之間的聯(lián)系及結(jié)構(gòu)特點；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認(rèn)識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二、教學(xué)重、難點：重點:公式的應(yīng)用.難點:公式的推導(dǎo).三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：通過通過類比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。教學(xué)用具:電腦、投影機(jī)四、教學(xué)過程【探究新知】1．兩角和與差的正切公式T+,T問：在兩角和與差的正、余弦公式的基礎(chǔ)上，你能用tan，tan表示tan(+)和tan()嗎？（讓學(xué)生回答）[展示投影]∵cos(+)0tan(+)=tan(+)=當(dāng)costan(+)=分子分母同時除以coscos得：tan(tan()=以代得：2．運用此公式應(yīng)注意些什么？（讓學(xué)生回答）[展示投影]注意：1必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。）[展示投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.求tan15，tan75及cot15的值：解：1tan15=tan(4530)=2tan75=tan(45+30)=3cot15=cot(4530)=（為什么？）例2.（見課本P134例1）例3.已知tan=，tan=2求cot()，并求+的值，其中0<<90,90<<180.解：cot()=∵tan(+)=又∵0<<90,90<<180∴90<+<270∴+=135例4.求下列各式的值：12tan17+tan28+tan17tan28解：1原式=2∵∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1tan17tan28∴原式=1tan17tan28+tan17tan28=1【展示投影】練習(xí)教材P135第1、2、3、4題.【課堂小結(jié)】：1．必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2．注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。五、評價設(shè)計：作業(yè)：習(xí)題3.1A組第4、5、6、7、8題．六、課后反思：第六課時3.2二倍角的三角函數(shù)一.教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能（1）能夠由和角公式而導(dǎo)出倍角公式；（2）能較熟練地運用公式進(jìn)行化簡、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識和邏輯推理能力；（3）能推導(dǎo)和理解半角公式；（4）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.并培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力.2.過程與方法讓學(xué)生自己由和角公式而導(dǎo)出倍角公式和半角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識.3.情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對三角函數(shù)各個公式之間有一個全新的認(rèn)識；理解掌握三角函數(shù)各個公式的各種變形，增強(qiáng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點重點:倍角公式的應(yīng)用.難點:公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教法教法與學(xué)法：(1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.四.教學(xué)過程（一）探究新知1、復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：2、提出問題：公式中如果，公式會變得如何？3、讓學(xué)生板演得下述二倍角公式：[展示投影]這組公式有何特點？應(yīng)注意些什么？注意：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2．熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角——降次，降角——升次）3．特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：這兩個形式今后常用.（二）[展示投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.（公式鞏固性練習(xí)）求值：①．sin22°30’cos22°30’=②．③．④．例2.化簡①．②．③．④．例3、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。解：∵∴∴sin2a=2sinacosa=cos2a=tan2a=[展示投影]思考：你能否有辦法用sina、cosa和tana表示多倍角的正弦、余弦和正切函數(shù)？你的思路、方法和步驟是什么？試用sina、cosa和tana分別表示sin3a，cos3a，tan3a.[展示投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例4.cos20°cos40°cos80°=例5.求函數(shù)的值域.解：————降次（三）、[展示投影]學(xué)生練習(xí)：教材P140練習(xí)第1、2、3題（四）、學(xué)習(xí)小結(jié)1．公式的特點要囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2．熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角——降次，降角——升次）.3．特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：這兩個形式今后常用.4.半角公式左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方；公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5．注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號.（五）、作業(yè)布置：習(xí)題3.2A組第1、2、3、4題．五、教學(xué)反思：第七課時3.3半角的三角函數(shù)一.教學(xué)目標(biāo)：（1）能推導(dǎo)和理解半角公式；（2）能較熟練地運用公式進(jìn)行化簡、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識和邏輯推理能力。二.教學(xué)重、難點重點:半角公式的應(yīng)用.難點:公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教法教法與學(xué)法：(1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.四.教學(xué)過程（一）、探究新知1、復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：2、提出問題：公式中如果，公式會變得如何？3、讓學(xué)生板演得下述二倍角公式：[展示投影]這組公式有何特點？應(yīng)注意些什么？注意：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2．熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角——降次，降角——升次）3．特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：這兩個形式今后常用.（二）、[展示投影]思考（學(xué)生思考，學(xué)生做，教師適當(dāng)提示）你能夠證明：證：1°在中，以a代2a，代a即得：∴2°在中，以a代2a，代a即得：∴3°以上結(jié)果相除得：[展示投影]這組公式有何特點？應(yīng)注意些什么？注意：1°左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方。2°公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切3°上述公式稱之謂半角公式（課標(biāo)規(guī)定這套公式不必記憶）4°還有一個有用的公式：（課后自己證）（三）、[展示投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）已知cos，求的值.解：由得求cos的值.解：cos=例3、已知sin，，求的值.解析：∵，∴且由半角公式可得（四）、[展示投影]練習(xí)教材P145練習(xí)第1、2、3題.（五）小結(jié)：（1）能推導(dǎo)和理解半角公式；（2）能較熟練地運用公式進(jìn)行化簡、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識和邏輯推理能力。（六）、作業(yè)布置：習(xí)題3.3A組第1、2、3、4題．五、教學(xué)反思：第八課時3.4三角函數(shù)的和差化積與積化和差一.教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能（1）能夠推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式，并對此有所了解.（2）能較熟練地運用公式進(jìn)行化簡、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題.（3）揭示知識背景，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與建模意識.2.過程與方法讓學(xué)生自己導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；同時讓學(xué)生初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題.通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識.3.情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對三角恒等變形公式的意義和作用有一個初步的認(rèn)識；理解并掌握三角函數(shù)各個公式的靈活變形，體會公式所蘊涵的和諧美，增強(qiáng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.二.教學(xué)重、難點重點:三角恒等變形.難點:“和差化積”及“積化和差”公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教法教法與學(xué)法：(1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己根據(jù)已有的知識導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.四.教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景請回憶兩角和的正弦公式、兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式、兩角差的余弦公式；問你能否用sin與sin表示sin·cos和cos·sin？類似地能否用cos與cos來表示cos·cos和sin·sin？【探究新知】[展示投影]（在學(xué)生已完成的基礎(chǔ)上進(jìn)行評價）積化和差公式的推導(dǎo)sin(+)+sin()=2sincossincos=[sin(+)+sin()]sin(+)sin()=2cossincossin=[sin(+)sin()]cos(+)+cos()=2coscoscoscos=[cos(+)+cos()]cos(+)cos()=2sinsinsinsin=[cos(+)cos()][展示投影]這組公式有何特點？應(yīng)注意些什么？這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的優(yōu)點在于將“積式”化為“和差”，有利于簡化計算。（在告知公式前提下）（二）、[展示投影]練習(xí)1.求的值2.求的值3.在積化和差中若令+=，=φ，則，代入可得什么的式子，做做看：（教師巡視，先觀察學(xué)生做的情況，再決定是否示范）∴引導(dǎo)學(xué)生觀察這套公式的特點：這套公式稱為和差化積公式，其特點是同名的正（余）弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用.（三）、[展示投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.教材P148例2.例2.教材P149例3.[展示投影]練習(xí).教材P149第1、2題.[展示投影]例題講評（學(xué)生邊做教師邊提示）例3.已知coscos=，sinsin=，求tan(+)的值解：∵coscos=，∴①sinsin=，∴②∵∴∴∴例4.教材P150例6.（學(xué)生做，教師巡視，鼓勵學(xué)生用多種方法求解）[展示投影]練習(xí)1.化簡①；②；③2.教材P151練習(xí)第1、2、3、4題.[展示投影]例題講評（學(xué)生邊思考教師邊提示）例5.要使半徑為R的半圓形木料截成長方形（如圖），應(yīng)怎樣截取才能使長方形的面積最大？A解：設(shè)∠AOB=，在△AOB中A∴長方形的面積S=B∴當(dāng)時，長方形的面積S為B[學(xué)生自主學(xué)習(xí)階段]學(xué)生閱讀教材P154~158相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生提問，學(xué)生回答，教師控制課堂節(jié)奏。學(xué)生自主學(xué)習(xí)檢測：教材P158~159的相應(yīng)習(xí)題。（四）、學(xué)習(xí)小結(jié)：嘗試由學(xué)生小結(jié)，學(xué)生補(bǔ)充的形式.（五）、作業(yè)布置：習(xí)題3.4A組第1、2、3、4、5、6、7題．2.作業(yè)：習(xí)題3.5A組第4題（選做）．五、課后反思：第九課時三角函數(shù)的簡單應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo):1、知識目標(biāo)：a通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會由圖象求解析式的方法；b體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；c體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．2、能力目標(biāo)：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力．3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。二、教學(xué)重難點教學(xué)重點：根據(jù)已知圖象求解析式；將實際問題抽象為三角函數(shù)模型。教學(xué)難點：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題．三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過程（一）、例題探析（學(xué)生邊做教師邊提示）例1、一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角45°方向，距離12海里的海面上有一走私船正以10海里/小時的速度沿方位角為105°方向逃竄，若緝私艇的速度為14海里/小時，緝私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船，求追及所需時間和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角）.解：設(shè)緝私艇與走私船原來的位置分別為A、B，在C處兩船相遇，由條件知∠ABC=120°，AB=12（海里），設(shè)t小時后追及，，由正弦定理得由正弦定理得；再由余弦定理得但當(dāng)，不合，.例2、如圖，人眼在M處看一幅畫AB，AB=6米，OB=2米，問人應(yīng)在何處，使視角∠AMB最大？解：設(shè)∠AMO=，∠BMO=，∠AMB==-,OM=x(x>0)tan=,tan=,tan=tan(-)==當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=4時，tan最大。因為正切函數(shù)在（0,）上是增函數(shù)，所以當(dāng)人距O點4米，∠AMB最大。例3、水渠橫斷面為等腰梯形，渠深為h，梯形面積為S.為了使渠道的滲水量達(dá)到最小，并降低成本，應(yīng)盡量減少水與水渠壁的接觸面.問此時水渠壁的傾斜角α應(yīng)是多少？ABDC例3、解：設(shè)，，，設(shè)記，等號成立時，；（注）也可以對u求導(dǎo)：得，單調(diào)遞減，處左負(fù)右正，時，u最小，從而y最小.例4.已知cosa-cosb=，sina-sinb=，求tan(a+b)的值解：∵cosa-cosb=，∴①sina-sinb=，∴②∵∴∴∴（二）課堂練習(xí)1、下表是某城市1973-20XX年月平均氣溫（華氏）月份123456789101112平均氣溫21.426.036.048.859.168.673.171.964.753.539.827.7若用表示月份，表示平均氣溫，則下面四個函數(shù)模型中最合適的是（）答案：【C】A、B、C、D、2、如圖3-5-1為一半徑為3的水輪，水輪圓心O距離水面，已知水輪自點B開始1旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點P到水面距離與時間滿足函數(shù)關(guān)系，則有（）答案：【A】A、，B、，C、，D、，3、一條河寬1km，相距4km（直線距離）的兩座城市A與B分別位于河的兩岸（如下圖），現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜線連通A與B，已知底下電纜的修建費用為2萬元／km，水下電纜的修建費用為4萬元／km，假定河的兩岸是平行的直線，問應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可以使總的修建費用最少？【答案：見后附】（三）、課堂小結(jié)：1.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,我們可以通過建立三角函數(shù)模型來解決實際問題,如天氣預(yù)報,地震預(yù)測,等等.2.建立三角函數(shù)模型的一般步聚:現(xiàn)實問題現(xiàn)實問題現(xiàn)實模型改造三角函數(shù)模型抽象概括解析式圖形三角函數(shù)模型的解數(shù)學(xué)方法還原說明現(xiàn)實模型的解是否符合實際修改（四）、作業(yè)布置：1、如圖所示，足球比賽地寬為am，球門寬bm在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方球門附近過人沿直線（貼近球場邊線）向前推進(jìn)．試問：該邊鋒在距乙方底線多遠(yuǎn)時起腳射門的可命中角最大（圖中AB表示乙方所守球門，AB所在直線為乙方邊線，表示甲方邊鋒前進(jìn)的直線）？2、技能培養(yǎng)物體沿斜坡由靜止下滑，物體下滑到坡底的水平距離為定值S，若不計摩擦阻力，求當(dāng)斜坡傾斜角為何值時，物體到達(dá)坡底的時間最短？如圖甲所示，人（眼）在點C處看一幅畫AB，AB＝6km，OB=2m，問人應(yīng)站在何處，使視角∠ACB最大？課外練習(xí)：3、拓展空間（1）、傾角為45°的山坡上某處有一風(fēng)暴點，該風(fēng)暴點到達(dá)山腳有兩條路，一條是筆直到達(dá)山腳的銷路，另一條是與小路夾角成45°的直線公路，若某輛汽車的最大爬頗度數(shù)是35°，問這輛汽車能否到達(dá)該風(fēng)暴點？（2）、平面上有兩個向量，今有動點P向（－１，2）開始沿著與向量相同的方向做勻速直線運動，速度為｜｜，另一動點Q從點（－2，－1）出發(fā)，沿與向量＋相同的方向做勻速直線運動，速度為｜｜，設(shè)P，Q在時刻t=0s時分別在處，求當(dāng)時，t為多少？答案:五、教學(xué)反思：第十課時三角恒等變換復(fù)習(xí)小結(jié)一、教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：初步了解三角恒等變換公式的框圖；熟悉公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能用主要公式求三角函數(shù)值及三角函數(shù)的性質(zhì)；能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、綜合等能力；通過構(gòu)造角，轉(zhuǎn)化條件解決較為簡單的三角函數(shù)綜合題；情感目標(biāo)：通過復(fù)習(xí)，提高學(xué)生對三角變換的應(yīng)用能力；從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識；二、教學(xué)重點、難點：強(qiáng)化公式的記憶，并利用公式解決三角函數(shù)綜合題；三、教學(xué)方法：利用較為常見的變換加強(qiáng)對公式的記憶，引導(dǎo)學(xué)生并通過學(xué)生的交流來達(dá)到用三角恒等變換解決三角函數(shù)問題的基本目標(biāo)；從而對全章有個整體認(rèn)識。四、教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖知識結(jié)構(gòu)的復(fù)習(xí)閱讀課本P153知識結(jié)構(gòu)框圖，并根據(jù)箭頭方向回憶并討論公式推導(dǎo)的簡單方法；學(xué)生：分小組簡單討論各公式的推導(dǎo)過程。熟悉公式之間的關(guān)系，加深公式的記憶。強(qiáng)化練習(xí)=；；；學(xué)生回答為以下例題做準(zhǔn)備，并強(qiáng)化公式的簡單應(yīng)用。例題選講例1：若，。且都為銳角。求：的值。學(xué)生：板書，觀察學(xué)生板書中的問題。教師：糾正學(xué)生板書中的問題。通過例1，學(xué)會構(gòu)造角的基本方法，并注意求三角函數(shù)值時要特別關(guān)注角的范圍；例題選講例2：已知：且求：的值。學(xué)生：提出解題方法。教師：分析思路的全過程，演示解題全過程。提高學(xué)生觀察問題、分析問題的能力，以及綜合運用三角恒等變換的變形能力例題選講例3：已知函數(shù)：求：的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間。教師：分析思路，引導(dǎo)學(xué)生回憶形如的形式的三角函數(shù)的性質(zhì)，并體會三角恒等變換在解決綜合問題中的應(yīng)用價值。通過例題回顧正弦函數(shù)性質(zhì)，并進(jìn)一步理解三角恒等變換在解決三角函數(shù)問題時的作用。（即：化成形如的形式）例題選講（備選）例4：已知，，定義函數(shù)求：（1）函數(shù)的最小正周期；（2）函數(shù)取得最大值時所有值的集合；（3）若，求函數(shù)的值域。學(xué)生：較好學(xué)生說出解題思路，寫出較為規(guī)范的解題過程。教師：糾正問題，重點講解第三小問。通過例4，提高