2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 6-2-3　向量的數(shù)乘運(yùn)算 學(xué)案

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例分析、掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解其幾何意義，理解兩個(gè)平面向量共線的含義數(shù)學(xué)運(yùn)算2.了解平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義邏輯推理一根細(xì)繩東西方向擺放，一只螞蟻在細(xì)繩上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如果螞蟻向東運(yùn)動(dòng)1秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為a，那么它在同一方向上運(yùn)動(dòng)3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？螞蟻向西運(yùn)動(dòng)3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示？是－3a嗎？你能用圖形表示嗎？問(wèn)題類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算“a＋a＋a＝3a”你能猜想a＋a＋a的結(jié)果嗎？

知識(shí)點(diǎn)一向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律1.向量的數(shù)乘（1）定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa；（2）規(guī)定：①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；（－1）a＝－a.2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么（1）λ（μa）＝（λμ）a；（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.特別地，我們有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.提醒（1）向量的數(shù)乘仍是向量；（2）實(shí)數(shù)λ與向量不能相加；（3）若λa＝0，則λ＝0或a＝0；（4）當(dāng)a≠0時(shí)，向量a｜a｜是與向量知識(shí)點(diǎn)二共線向量定理向量a（a≠0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.共線向量定理中為什么規(guī)定a≠0？提示：（1）若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時(shí)，顯然a與b共線；（2）當(dāng)a＝0時(shí)，若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，但此時(shí)向量a與b共線；（3）當(dāng)a＝0時(shí)，若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa，與存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ矛盾.1.已知非零向量a，b滿足a＝4b，則（）A.｜a｜＝｜b｜B.4｜a｜＝｜b｜C.a與b的方向相同D.a與b的方向相反解析：C∵a＝4b，4＞0，∴｜a｜＝4｜b｜且a與b方向相同.2.12a＋b＋32a－4b＝（A.2a＋3bB.a－3bC.2a－3b D.2a－2b解析：C原式＝（12＋32）a＋（1－4）b＝2a－3b.3.若向量e1，e2不共線，則下列各組中，向量a，b共線的有.（填序號(hào)）

①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b，所以a，b共線；②中，b＝－2a，所以a，b共線；③中，a＝4b，所以a，b共線；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共線.答案：①②③題型一向量的線性運(yùn)算【例1】（1）化簡(jiǎn)：14[2（2a＋4b）－4（5a－2b（2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x.解（1）14[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝14（4a＋8b－20a＋8b）＝14（－16a＋16b）＝－4a（2）因?yàn)?（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.通性通法向量線性運(yùn)算的方法（1）向量的線性運(yùn)算是向量的加、減、數(shù)乘三種運(yùn)算的通稱，類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù)；（2）向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1等步驟求解.1.已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，則4a－3b＝（用e1，e2表示）.

解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4（e1＋2e2）－3（3e1－5e2）＝－5e1＋23e2.答案：－5e1＋23e22.已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y滿足關(guān)系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則向量x＝，y＝.

解析：由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.答案：3a＋2b4a＋3b題型二向量共線的判定及應(yīng)用【例2】設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量.（1）若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；（2）若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值.解（1）證明：∵AB＝OB－OA＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，BC＝OC－OB＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2AB，∴AB與BC共線，且有公共點(diǎn)B，∴A，B，C三點(diǎn)共線.（2）∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.∵a與b不共線，∴8解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.通性通法1.證明或判斷三點(diǎn)共線的方法（1）一般來(lái)說(shuō)，要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λAC（或BC＝λAB等）即可；（2）利用結(jié)論：若A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x，y，使OA＝xOB＋yOC且x＋y＝1.2.利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問(wèn)題的思路是根據(jù)共線向量定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa（a≠0）.而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值.若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零.1.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）與向量n＝e2－2e1共線，則（）A.k＝0 B.k＝1C.k＝2 D.k＝1解析：D由共線向量定理可知存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即－e1＋ke2＝λ（e2－2e1）＝λe2－2λe1，又e1與e2是不共線向量，∴－1=－2.若A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且OA＝xOB＋yOC，則x＋y＝.

解析：∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λBC，即OB－OA＝λ（OC－OB），∴OA＝（1＋λ）OB－λOC，則x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.答案：1題型三用已知向量表示未知向量【例3】在△ABC中，已知D是BC上的點(diǎn)，且CD＝2BD，設(shè)AB＝a，AC＝b，試用a和b表示AD.解∵B，C，D三點(diǎn)共線，且CD＝2BD，∴BD＝13∴AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC（變條件）若將本例中的“CD＝2BD”改為“CD＝BD”，你能用兩種方法解答嗎？解：法一如圖①，∵BC＝AC－AB，且CD＝BD，∴AD＝AB＋BD＝AB＋12BC＝AB＋12（AC－AB）＝12AB＋12AC＝法二如圖②，以AB，AC為鄰邊作?ABEC，則AE＝AB＋AC.∵CD＝BD，∴D是AE的中點(diǎn).∴AD＝12AE＝12（AB＋AC）＝12（a通性通法用已知向量表示未知向量的兩種方法（1）直接法（2）方程法：當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.1.在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AP＝13AB，BQ＝13BC，若AB＝a，AC＝b，則PQA.13a＋13bB.－13aC.13a－13b D.－13a解析：A如圖所示，PQ＝BQ－BP＝13BC－23BA＝13（AC－AB）＋23AB＝13AB＋12.如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中點(diǎn)，則向量AM＝.（用a，b表示）

解析：AM＝AD＋12DC＝AD＋12AB＝b答案：b＋121.如圖所示，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則DF＝（）A.－12ABB.12ABC.13ABD.12AB解析：DAE＝AB＋BE＝AB＋12AD，DF＝DA＋AF＝DA＋12AE＝－AD＋12（AB＋12AD）＝－AD＋12.（多選）下列運(yùn)算正確的是（）A.（－3）·2a＝－6aB.2（a＋b）－（2b－a）＝3aC.（a＋2b）－（2b＋a）＝0D.2（3a－b）＝6a－2b解析：ABD根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算和加、減運(yùn)算律知A、B、D正確；C中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以該運(yùn)算錯(cuò)誤.3.化簡(jiǎn)：1312（2解析：1312（2a+8b)-(4a－2b）＝1答案：2b－a4.設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1