2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 6-2-4　第一課時　向量數(shù)量積的概念、運(yùn)算及投影向量 學(xué)案

6.2.4向量的數(shù)量積新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積數(shù)學(xué)抽象2.通過幾何直觀了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義數(shù)學(xué)運(yùn)算3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系邏輯推理第一課時向量數(shù)量積的概念、運(yùn)算及投影向量我們在物理課中學(xué)過，力與在力的方向上移動的距離的乘積稱為力對物體所做的功.如圖所示，如果作用在小車上的力F的大小為｜F｜N，小車在水平面上位移s的大小為｜s｜m，力的方向與小車位移的方向所成夾角為θ，那么這個力所做的功為W＝｜F｜｜s｜c(diǎn)osθ.問題（1）顯然，功W與力向量F及位移向量s有關(guān)，這三者之間有什么關(guān)系？（2）給定任意兩個向量a，b，能確定出一個類似的標(biāo)量嗎？如果能，請指出確定的方法；如果不能，說明理由.

知識點(diǎn)一向量的夾角1.夾角：已知兩個非零向量a，b（如圖），O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角，夾角θ的取值范圍是0≤θ≤π.當(dāng)θ＝0時，a與b同向；當(dāng)θ＝π時，a與b反向.2.垂直：如果a與b的夾角是π2，則稱a與b垂直，記作a⊥b提醒（1）兩個向量只有起點(diǎn)重合時所對應(yīng)的角才是向量的夾角；（2）兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角的范圍是[0，π]，而兩直線夾角的范圍為0，知識點(diǎn)二兩個向量的數(shù)量積1.定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.提醒（1）數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫；（2）向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.2.性質(zhì)：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則：（1）a·e＝e·a＝｜a｜c(diǎn)osθ；（2）a⊥b?a·b＝0；（3）當(dāng)a∥b時，a·b＝｜a||b|,a與b同向，-|a||b|,a與b反向.（4）a·b≤｜a｜｜b｜；（5）cosθ＝a·知識點(diǎn)三投影向量1.如圖，設(shè)a，b是兩個非零向量，AB＝a，CD＝b，我們考慮如下的變換：過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a2.如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM＝a，ON＝b.過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則OM1與e，a，θ之間的關(guān)系為OM1提醒（1）向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量；（2）如果向量a與向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，當(dāng)a與b垂直時，a在b上的投影向量為0.1.已知向量a，b滿足｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝2，則向量a，b的夾角為（）A.3π4 C.π4 D.－解析：C設(shè)向量a，b的夾角為θ，則θ∈[0，π]，因為｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝2，所以cosθ＝a·b｜a||b｜＝22×1＝22.已知｜a｜＝6，e為單位向量，當(dāng)向量a，e的夾角等于45°時，向量a在向量e上的投影向量是.

解析：因為向量a，e的夾角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量是｜a｜·cos45°·e＝32e.答案：32e3.如圖所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，則AB·BC＝.

解析：AB·BC＝｜AB｜·｜BC｜c(diǎn)os（180°－B）＝－｜AB｜·｜BC｜·cosB＝－｜AB｜·｜BC｜·｜AB｜｜BC｜＝－｜AB答案：－1題型一兩向量的夾角【例1】已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？解如圖所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°.以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則OC＝a＋b，BA＝a－b.因為｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以O(shè)C與OA的夾角為30°，BA與OA的夾角為60°.即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.通性通法求兩個向量夾角的方法（1）求兩個向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點(diǎn)重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出；（2）特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b（λ1，λ2是非零常數(shù)）的夾角為θ0，當(dāng)λ1λ2＜0時，θ0＝180°－θ；當(dāng)λ1λ2＞0時，θ0＝θ.在△ABC中，C＝90°，BC＝12AB，則AB與BC的夾角是（A.30° B.60°C.120° D.150°解析：C如圖，作向量AD＝BC，則∠BAD是AB與BC的夾角，在△ABC中，因為∠ACB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即AB與BC的夾角是120°題型二直接用數(shù)量積公式求數(shù)量積【例2】（1）已知向量a與b的夾角為120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；（2）已知正三角形ABC的邊長為1，求：①AB·AC；②AB·BC；③BC·AC.解（1）①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②a·a－a·b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12.（2）①∵AB與AC的夾角為60°，∴AB·AC＝｜AB｜｜AC｜c(diǎn)os60°＝1×1×12＝1②∵AB與BC的夾角為120°，∴AB·BC＝｜AB｜·｜BC｜c(diǎn)os120°＝1×1×（－12）＝－1③∵BC與AC的夾角為60°，∴BC·AC＝｜BC｜｜AC｜·cos60°＝1×1×12＝1通性通法定義法求平面向量的數(shù)量積若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ.運(yùn)用此法計算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.1.已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足｜AB｜＝3，｜BC｜＝4，｜CA｜＝5，則AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝（）A.－7 B.7C.25 D.－25解析：D由題得｜AC｜2＝｜AB｜2＋｜BC｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.2.設(shè)｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為.

解析：設(shè)a，b的夾角為θ，則cosθ＝a·b｜a||b｜＝12，∵θ∈[0答案：π題型三投影向量【例3】（1）已知｜a｜＝6，｜b｜＝3，a·b＝－12，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b方向上的投影向量是（）A.－4e B.4eC.－2e D.2e（2）已知a·b＝16，e為b方向上的單位向量.若a在b上的投影向量為4e，則｜b｜＝.

解析（1）根據(jù)投影向量的定義，設(shè)a，b的夾角為θ，可得向量a在b方向上的投影向量是｜a｜c(diǎn)osθe＝a·b｜b｜e（2）設(shè)a與b的夾角為θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜·cosθ＝16，又∵a在b上的投影向量為4e，∴｜a｜·cosθe＝4e，∴｜a｜c(diǎn)osθ＝4，∴｜b｜＝4.答案（1）A（2）4通性通法投影向量的求解方法任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜c(diǎn)osθe（θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量）.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為.

解析：∵cosθ＝a·b｜a||b｜＝45（θ為a與b的夾角），∴向量a在向量b上的投影向量為｜答案：1251.已知｜a｜＝3，｜b｜＝23，a與b的夾角是120°，則a·b＝（）A.3 B.－3C.－33 D.33解析：B由數(shù)量積的定義，得a·b＝｜a｜｜b｜·cos120°＝3×23×（－12）＝－3.故選2.若△ABC為等腰直角三角形且C＝90°，AB＝2，則AB·BC＝（）A.－2 B.2C.－22 D.22解析：A由題意知BC＝2，所以AB·BC＝｜AB｜·｜BC｜c(diǎn)os135°＝2×2×（－22）＝－2.故選3.若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a與向量b的夾角為120°，則向量a在向量b上的投影向量為（）A.－34bB.