2023-2024學年人教A版必修第二冊 7-1-2　復數(shù)的幾何意義 學案

7.1.2復數(shù)的幾何意義新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.通過實例了解復平面的點與復數(shù)一一對應關系直觀想象2.通過復平面，把復數(shù)與向量建立起緊密的聯(lián)系直觀想象3.通過向量的模表示復數(shù)的模數(shù)學運算我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，也就是說，數(shù)軸可以看成實數(shù)的一個幾何模型.問題（1）你能否為復數(shù)找一個幾何模型？（2）怎樣建立起復數(shù)與幾何模型中點的一一對應關系？

知識點一復數(shù)與復平面內(nèi)點的關系1.建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).2.復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)的點建立了一一對應關系，即復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z（a，b），這是復數(shù)的一種幾何意義.提醒復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）對應的點是（a，b），而不是（a，bi）.知識點二復數(shù)與復平面內(nèi)向量的關系如圖所示，設復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量OZ由點Z唯一確定；反過來，點Z也可以由向量OZ唯一確定.因此，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量建立了如下一一對應關系（實數(shù)0與零向量對應），即復數(shù)z＝a＋bi平面向量OZ.為了方便起見，我們常把復數(shù)z＝a＋bi說成點Z或說成向量OZ，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個復數(shù).知識點三復數(shù)的模1.定義：向量OZ的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模或絕對值.2.記法：復數(shù)z＝a＋bi的模記作｜z｜或｜a＋bi｜.3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝a2＋b2（a，b知識點四共軛復數(shù)1.定義：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù).2.表示：復數(shù)z的共軛復數(shù)用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi.提醒（1）互為共軛的兩個復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱；（2）｜z｜＝｜z｜.1.復數(shù)－1＋i在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B復數(shù)－1＋i在復平面內(nèi)對應的點為（－1，1），故在第二象限.故選B.2.已知O為復平面中直角坐標系的坐標原點，向量OM＝（－1，2），則點M對應的復數(shù)為（）A.1＋2i B.－1＋2iC.2－i D.2＋i解析：B因為O為復平面中直角坐標系的坐標原點，向量OM＝（－1，2），則點M對應的復數(shù)為－1＋2i.故選B.3.設z＝1－2i，則｜z｜＝，z＝.

解析：因為z＝1－2i，所以｜z｜＝12＋(-2）2＝5答案：51＋2i題型一復數(shù)與復平面內(nèi)點的關系【例1】在復平面內(nèi)，若復數(shù)z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i對應的點：（1）在虛軸上；（2）在第二、四象限；分別求實數(shù)m的取值范圍.解復數(shù)z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在復平面內(nèi)對應的點為（m2－2m－8，m2＋3m－10）.（1）由題意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.（2）由題意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2.1.（變設問）本例條件不變，若復數(shù)在第二象限，求m的取值范圍.解：由題意，m2－2m－82.（變設問）本例條件不變，若復數(shù)在直線y＝x上，求m的值.解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝25通性通法利用復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關系解題的步驟（1）找對應關系：復數(shù)的幾何表示即復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）可以用復平面內(nèi)的點Z（a，b）來表示，這是解決此類問題的根據(jù)；（2）列出方程：此類問題可尋求復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程（組）或不等式（組）求解.提醒復數(shù)與復平面內(nèi)的點是一一對應關系，因此復數(shù)可以用點來表示.1.已知復數(shù)z＝1－2i，則z在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱的點是（）A.（1，－2） B.（1，2）C.（－2，1） D.（－1，－2）解析：Dz在復平面內(nèi)對應的點為（1，－2），關于虛軸對稱的點是（－1，－2）.故選D.2.已知復數(shù)z1＝2－ai（a∈R，i為虛數(shù)單位）對應的點在直線y＝13x＋43上，則復數(shù)z2＝a＋2i對應的點在（A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B復數(shù)z1＝2－ai（a∈R）對應的點的坐標為（2，－a），該點在直線y＝13x＋43上，故－a＝23＋43，解得a＝－2，所以復數(shù)z2＝－2＋2i，它對應的點的坐標為（－2，2），題型二復數(shù)與復平面內(nèi)向量的關系【例2】在復平面內(nèi)的長方形ABCD的四個頂點中，點A，B，C對應的復數(shù)分別是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求點D對應的復數(shù).解由題意得OA＝（2，3），OB＝（3，2），OC＝（－2，－3）.設OD＝（x，y），則AD＝（x－2，y－3），BC＝（－5，－5）.由題意知，AD＝BC，所以x－2=－5，y－3=－通性通法復數(shù)與平面向量的對應關系（1）根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數(shù)即為向量對應的復數(shù).反之復數(shù)對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數(shù)對應的向量；（2）解決復數(shù)與平面向量一一對應的問題時，一般以復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應為工具，實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.1.在復平面內(nèi)，復數(shù)1＋i與1＋3i分別對應向量OA和OB，其中O為坐標原點，則線段AB的中點所對應的復數(shù)為.

解析：由復數(shù)的幾何意義可得A（1，1），B（1，3），所以線段AB的中點為M（1，2），故線段AB的中點所對應的復數(shù)為1＋2i.答案：1＋2i2.把復數(shù)1＋i在復平面內(nèi)對應的點向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到點A，把向量OA繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到向量OB，則點B對應的復數(shù)為.

解析：復數(shù)1＋i在復平面內(nèi)對應的點為（1，1），將其向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到點A（2，0），所以OA＝（2，0），所以OB＝（0，2），即點B對應的復數(shù)為2i.答案：2i題型三復數(shù)的模與共軛復數(shù)【例3】已知復數(shù)z1＝3－i，z2＝－12＋3（1）求｜z1｜，｜z2｜（2）設z∈C，且z在復平面內(nèi)對應的點為Z，則滿足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的點Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示.解（1）｜z1｜＝｜3＋i｜＝（3）｜z2｜＝－12－3所以｜z1｜＞｜z2（2）由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2.不等式1≤｜z｜≤2等價于不等式組｜因為滿足｜z｜≤2的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為2的圓及其內(nèi)部（包括邊界），而滿足｜z｜≥1的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為1的圓的外部（包括邊界），所以滿足條件的點Z組成的集合是一個圓環(huán)（包括邊界），如圖中陰影部分所示.通性通法復數(shù)的模的計算（1）計算復數(shù)的模時，應先確定復數(shù)的實部和虛部，再利用模長公式計算.雖然兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大??；（2）設出復數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解.1.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝－2i2＋i，則｜z｜＝.

解析：∵z＝－2i2＋i＝2＋i，∴z＝2－i，∴｜z｜＝22＋(-答案：52.設復數(shù)z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，則滿足｜z｜＝1的復數(shù)z共有個.

解析：法一（代數(shù)運算）由｜z｜＝1，得x2＋y2＝1.又｜x｜＝｜y｜，聯(lián)立，解得z＝±22±2法二（幾何意義）由｜z｜＝1，知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點構(gòu)成一個單位圓.又｜x｜＝｜y｜，故復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點落在直線y＝±x上，顯然直線y＝±x與單位圓有四個交點.答案：41.在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝－3＋4i對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B依題意，在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝－3＋4i對應的點為（－3，4），位于第二象限.2.已知z＝m－1＋（m＋2）i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.（－1，2） B.（－2，1）C.（1，＋∞） D.（－∞，－2）解析：B∵z＝m－1＋（m＋2）i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故實數(shù)m的取值范圍是（－2，1）.3.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z＝1－3i，則｜z｜＝（）A.2B.2 C.4D.8解析：B｜z｜＝1+3＝2.故選B.4.已知復數(shù)z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，