2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 7-1-2　復(fù)數(shù)的幾何意義 學(xué)案

7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例了解復(fù)平面的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系直觀想象2.通過(guò)復(fù)平面，把復(fù)數(shù)與向量建立起緊密的聯(lián)系直觀想象3.通過(guò)向量的模表示復(fù)數(shù)的模數(shù)學(xué)運(yùn)算我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)，數(shù)軸可以看成實(shí)數(shù)的一個(gè)幾何模型.問(wèn)題（1）你能否為復(fù)數(shù)找一個(gè)幾何模型？（2）怎樣建立起復(fù)數(shù)與幾何模型中點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？

知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系1.建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).2.復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b），這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.提醒復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（a，b），而不是（a，bi）.知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量OZ由點(diǎn)Z唯一確定；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)Z也可以由向量OZ唯一確定.因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量建立了如下一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)），即復(fù)數(shù)z＝a＋bi平面向量OZ.為了方便起見(jiàn)，我們常把復(fù)數(shù)z＝a＋bi說(shuō)成點(diǎn)Z或說(shuō)成向量OZ，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模1.定義：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值.2.記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記作｜z｜或｜a＋bi｜.3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝a2＋b2（a，b知識(shí)點(diǎn)四共軛復(fù)數(shù)1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).2.表示：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi.提醒（1）互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；（2）｜z｜＝｜z｜.1.復(fù)數(shù)－1＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B復(fù)數(shù)－1＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（－1，1），故在第二象限.故選B.2.已知O為復(fù)平面中直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OM＝（－1，2），則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A.1＋2i B.－1＋2iC.2－i D.2＋i解析：B因?yàn)镺為復(fù)平面中直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OM＝（－1，2），則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i.故選B.3.設(shè)z＝1－2i，則｜z｜＝，z＝.

解析：因?yàn)閦＝1－2i，所以｜z｜＝12＋(-2）2＝5答案：51＋2i題型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系【例1】在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：（1）在虛軸上；（2）在第二、四象限；分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解復(fù)數(shù)z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（m2－2m－8，m2＋3m－10）.（1）由題意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.（2）由題意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2.1.（變?cè)O(shè)問(wèn)）本例條件不變，若復(fù)數(shù)在第二象限，求m的取值范圍.解：由題意，m2－2m－82.（變?cè)O(shè)問(wèn)）本例條件不變，若復(fù)數(shù)在直線y＝x上，求m的值.解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝25通性通法利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解題的步驟（1）找對(duì)應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示即復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）來(lái)表示，這是解決此類問(wèn)題的根據(jù)；（2）列出方程：此類問(wèn)題可尋求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過(guò)解方程（組）或不等式（組）求解.提醒復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示.1.已知復(fù)數(shù)z＝1－2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)是（）A.（1，－2） B.（1，2）C.（－2，1） D.（－1，－2）解析：Dz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，－2），關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)是（－1，－2）.故選D.2.已知復(fù)數(shù)z1＝2－ai（a∈R，i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝13x＋43上，則復(fù)數(shù)z2＝a＋2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B復(fù)數(shù)z1＝2－ai（a∈R）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－a），該點(diǎn)在直線y＝13x＋43上，故－a＝23＋43，解得a＝－2，所以復(fù)數(shù)z2＝－2＋2i，它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，2），題型二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系【例2】在復(fù)平面內(nèi)的長(zhǎng)方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解由題意得OA＝（2，3），OB＝（3，2），OC＝（－2，－3）.設(shè)OD＝（x，y），則AD＝（x－2，y－3），BC＝（－5，－5）.由題意知，AD＝BC，所以x－2=－5，y－3=－通性通法復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量；（2）解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問(wèn)題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對(duì)應(yīng)向量OA和OB，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

解析：由復(fù)數(shù)的幾何意義可得A（1，1），B（1，3），所以線段AB的中點(diǎn)為M（1，2），故線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i.答案：1＋2i2.把復(fù)數(shù)1＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A，把向量OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到向量OB，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

解析：復(fù)數(shù)1＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，1），將其向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A（2，0），所以O(shè)A＝（2，0），所以O(shè)B＝（0，2），即點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.答案：2i題型三復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)【例3】已知復(fù)數(shù)z1＝3－i，z2＝－12＋3（1）求｜z1｜，｜z2｜（2）設(shè)z∈C，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則滿足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示.解（1）｜z1｜＝｜3＋i｜＝（3）｜z2｜＝－12－3所以｜z1｜＞｜z2（2）由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2.不等式1≤｜z｜≤2等價(jià)于不等式組｜因?yàn)闈M足｜z｜≤2的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為2的圓及其內(nèi)部（包括邊界），而滿足｜z｜≥1的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓的外部（包括邊界），所以滿足條件的點(diǎn)Z組成的集合是一個(gè)圓環(huán)（包括邊界），如圖中陰影部分所示.通性通法復(fù)數(shù)的模的計(jì)算（1）計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用模長(zhǎng)公式計(jì)算.雖然兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的模可以比較大??；（2）設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題求解.1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝－2i2＋i，則｜z｜＝.

解析：∵z＝－2i2＋i＝2＋i，∴z＝2－i，∴｜z｜＝22＋(-答案：52.設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，則滿足｜z｜＝1的復(fù)數(shù)z共有個(gè).

解析：法一（代數(shù)運(yùn)算）由｜z｜＝1，得x2＋y2＝1.又｜x｜＝｜y｜，聯(lián)立，解得z＝±22±2法二（幾何意義）由｜z｜＝1，知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)單位圓.又｜x｜＝｜y｜，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在直線y＝±x上，顯然直線y＝±x與單位圓有四個(gè)交點(diǎn).答案：41.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝－3＋4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：B依題意，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝－3＋4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（－3，4），位于第二象限.2.已知z＝m－1＋（m＋2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.（－1，2） B.（－2，1）C.（1，＋∞） D.（－∞，－2）解析：B∵z＝m－1＋（m＋2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－2，1）.3.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝1－3i，則｜z｜＝（）A.2B.2 C.4D.8解析：B｜z｜＝1+3＝2.故選B.4.已知復(fù)數(shù)z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，