甘肅省武威市涼州區(qū)武威九中片聯(lián)考2023-2024學年九年級上學期1月期末數(shù)學試題(含解析)

2023—2024學年第一學期期末考試試卷九年級數(shù)學一、選擇題（每小題3分，30分）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．從，，3三個數(shù)中隨機取一個數(shù)作為a，則使拋物線的開口向下的概率是（

）A． B． C． D．3．拋物線與x軸有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．4．下列各組條件中，不能判定三角形與三角形相似的是（

）A．， B．，C．， D．5．拋物線先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，所得拋物線是（

）A． B．C． D．6．若，，為二次函數(shù)圖象上的三點，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．7．若一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則圓錐側面展開圖的扇形的圓心角為（

）A．120° B．180° C．240° D．300°8．如圖，從圓外一點引圓的兩條切線，，切點分別為，，如果，，那么弦AB的長是（

）A． B． C． D．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則AC=（）A．5 B． C． D．610．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，點P是△ABC邊上一動點，沿B→A→C的路徑移動，過點P作PD⊥BC于點D，設BD=x，△BDP的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關系的圖象是（）A． B． C． D．二、填空題（每小題3分，24分）11．拋物線的對稱軸是直線．12．若點與點關于原點對稱，則的值為．13．若關于的一元二次方程有實數(shù)解，則的取值范圍是．14．如圖，是的內(nèi)切圓，，且，，則圖中陰影部分的面積是．

15．如圖所示，P是等邊△ABC內(nèi)一點，△BCM是由△BAP旋轉所得，則∠PBM＝．16．若，則．17．在一個不透明的袋子里裝有5個紅球和若干個白球，它們除顏色外其余完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則估計袋中的白球大約有個．18．二次函數(shù)的圖象如圖，給出下列四個結論：①；②；③；④；⑤．其中結論正確的個數(shù)是．三、解答題（66分）19．計算與解方程：(1)；(2)．20．已知關于x的方程．(1)若此方程的一個根為1，求m的值；(2)求證：不論m取何實數(shù)，此方程都有兩個不相等的實數(shù)根．21．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，已知三個頂點坐標分別為，，．(1)畫出關于x軸對稱的，點A，B，C的對稱點分別是點，，，直接寫出點的坐標：____________；(2)畫出繞原點O順時針旋轉后得到的，并求出所掃過的面積是_____．22．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利召開，是具有里程碑意義的大會，必將對中國和世界產(chǎn)生深遠影響，某校積極組織學生學習二十大相關會議精神，并組織了二十大知識問答賽，將比賽結果分為A，B，C，D四個等級，根據(jù)如下不完整的統(tǒng)計圖解答下列問題：(1)求該校參加知識問答賽的學生人數(shù)；(2)現(xiàn)準備從結果為A級的4人（兩男兩女）中隨機抽取兩名同學參加二十大宜講，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生參加宣講活動的概率．23．2023年清明節(jié)來臨之際，某電影院開展“清明祭英烈，共鑄中華魂”系列活動，對團體購買《長津湖》電影票實行優(yōu)惠，決定在原定零售票價基礎上每張降價16元，這樣按原定零售票價需花費2000元購買的門票，現(xiàn)在只花費了1200元．(1)求每張電影票的原定零售票價；(2)為了弘揚愛國主義精神，該影院決定對網(wǎng)上購票的個人也采取優(yōu)惠，原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32.4元，求平均每次降價的百分率．24．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，，．(1)求證：；(2)若，△EFC的面積為20，求△ABC的面積．25．如圖，為的直徑，過圓上一點作的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．(1)求證：與相切；(2)若，，求的長．26．某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點是底邊上一點，連接，以為腰作等腰，且，連接、則和的數(shù)量關系是___________；(2)變式探究：如圖2，中，，．點是腰上一點，連接，以為底邊作等腰，連接，判斷和的數(shù)量關系，并說明理由；(3)問題解決；如圖3，正方形的邊長為10，點是邊上一點，以為對角線作正方形，連接．若設正方形的面積為，．求與的函數(shù)關系式．27．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若直線經(jīng)過，兩點，求直線的函數(shù)表達式；(3)在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求點的坐標；(4)設點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點的坐標．

參考答案與解析

1．B【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的判斷是解題的關鍵．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．2．C【分析】本題主要考查了概率公式和二次函數(shù)的圖像性質，準確計算是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)開口方向向下時，再根據(jù)概率計算公式計算即可；【詳解】∵拋物線開口向下，∴，∴在，，3中符合條件的是，，有2種情況，∴使拋物線的開口向下的概率是．故選C．3．A【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關系．根據(jù)拋物線與x軸有兩個不同的交點，得到對應的方程有兩個不相等的實數(shù)根，利用判別式求出a的取值范圍即可，注意二次函數(shù)的二次項系數(shù)不能為0．【詳解】解：由題意，得：且，∴且；故選A．4．B【分析】本題考查了相似三角形的判定．根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似對A進行判斷；根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似對B進行判斷；根據(jù)直角三角形相似的判定方法對C進行判斷；根據(jù)三組對應邊的比相等的兩個三角形相似對D進行判斷．【詳解】解：A、，，能判定，本選項不符合題意；B、，，不能判定，本選項符合題意；C、，，能判定，本選項不符合題意；D、，能判定，本選項不符合題意；故選：B．5．B【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式拋物線解析式寫出即可．【詳解】解：拋物線y=－2x2的頂點坐標為（0，0），向左平移1個單位，再向下平移3個單位后的拋物線的頂點坐標為（－1，－3），∴平移后的拋物線的解析式為y=－2（x+1）2－3．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用根據(jù)規(guī)律利用頂點的變化確定函數(shù)解析式．6．B【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)開口向上的二次函數(shù)，離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，只需要比較出A、B、C三點離對稱軸距離的大小即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，，∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，∴離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵，，為二次函數(shù)圖象上的三點，，∴．故選：B．7．B【詳解】試題分析：設母線長為R，底面半徑為r，∴底面周長=2πr，底面面積=πr2，側面面積=πrR，∵側面積是底面積的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，設圓心角為n，有=2πr=πR，∴n=180°．故選B．考點：圓錐的計算8．C【分析】先利用切線長定理得到，再利用可判斷為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質求解．【詳解】解：，PB為的切線，，，為等邊三角形，．故選C．【點睛】本題考查切線長定理，掌握切線長定理是解題的關鍵．9．C【詳解】解：如圖，連接CD，∵∠C=90°，D為AB的中點，∴CD=DA=DB．而CD=CB，∴CD=CB=DB，即△CDB為等邊三角形．∴∠B=60°．∵AB=10，∴．故選C．10．B【分析】過A點作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性質得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，分類討論：當0≤x≤2時，如圖1，易得PD=BD=x，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=x2；當2＜x≤4時，如圖2，易得PD=CD=4-x，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=-x2+2x，于是可判斷當0≤x≤2時，y與x的函數(shù)關系的圖象為開口向上的拋物線的一部分，當2＜x≤4時，y與x的函數(shù)關系的圖象為開口向下的拋物線的一部分，然后利用此特征可對四個選項進行判斷．【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，當0≤x≤2時，如圖1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=?x?x=；當2＜x≤4時，如圖2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=?（4﹣x）?x=，故選B．11．【分析】本題考查二次函數(shù)的性質，直接利用對稱軸的計算方法求解即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸是直線；故答案為：．12．【分析】直接利用兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點關于原點的對稱點是，即可得出答案．【詳解】解：點與點關于原點對稱，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標符號是解題的關鍵．13．且【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍．【詳解】∵關于的一元二次方程有實數(shù)解，∴，解得：且，故答案為：且【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，找出關于的一元一次不等式組是解題的關鍵．14．##【分析】此題主要考查了直角三角形內(nèi)切圓的性質及半徑的求法，勾股定理．根據(jù)已知得出是解題關鍵．設、、與的切點分別為、、，證得四邊形是正方形，然后根據(jù)切線長定理可得：，由此可求出半徑的長，然后利用圖中陰影部分的面積代數(shù)求解即可．【詳解】解：如圖所示，設、、與的切點分別為、、

在，，，，∴，四邊形中，，，四邊形是正方形，由切線長定理，得：，，，，∴．∴圖中陰影部分的面積．故答案為：．15．60°【分析】根據(jù)等邊三角形的性質和旋轉的性質即可求得答案.【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BCM是由△BAP旋轉所得，∴旋轉中心是點B，旋轉角為∠ABC=60°，∴∠PBM=∠ABC=60°.故答案為60°.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和旋轉的性質，難度不大，掌握相關性質是解題的關鍵.16．4【分析】直接開平方求出的值，即可得到的值，舍去負數(shù)解即可．【詳解】解：，∴或者，∴，或者，∵，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查開平方的運算，一個正數(shù)的有兩個平方根，互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根，解題的關鍵是注意，舍去負數(shù)解．17．20【分析】設白球個數(shù)為x個，由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近得出口袋中得到紅色球的概率，然后根據(jù)概率公式列方程求解即可．【詳解】結：設白球個數(shù)為x個，∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，∴口袋中得到紅色球的概率為0.2，∴，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的根，故白球的個數(shù)為20個．故答案為20．【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關鍵．18．①②④⑤【分析】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系．根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸、與軸交點可判斷①；根據(jù)拋物線與軸交點個數(shù)可判斷②；根據(jù)與關于對稱軸對稱，且時，可判斷③；根據(jù)時，，且對稱軸為可判斷④；由拋物線在時有最大值，可判斷⑤．【詳解】解：①由拋物線圖象得：；，，即，，選項①正確；②拋物線圖象與軸有兩個交點，△，即，選項②正確；③拋物線對稱軸為，且時，，當時，，即，選項③錯誤；④拋物線對稱軸，即，，由圖象可知，當時，，故，選項④正確；⑤由圖象可知，當時取得最大值，，，即，，選項⑤正確；故正確的有：①②④⑤，故答案為：①②④⑤．19．(1)(2)，【分析】（1）首先計算算術平方根，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，絕對值，然后計算加減；（2）利用因式分解法解一元二次方程．【詳解】（1）；（2）或解得，．【點睛】此題考查了算術平方根，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，絕對值的混合運算，解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握以上運算法則．20．（1）；（2）證明見解析【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值；（2）計算出根的判別式，進一步利用配方法和非負數(shù)的性質證得結論即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，將x=1代入方程，得：，解得：m=．（2）∵，∴不論m取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【點睛】本題考查根的判別式，一元二次方程的解，熟記根的判別式與一元二次方程根的關系是解題的關鍵.21．(1)圖見解析，(2)圖見解析，【分析】本題考查作圖旋轉變換，作圖軸對稱變換等知識，解題的關鍵是理解題意．（1）利用軸對稱的性質，分別作出、、關于軸對稱點、、，順次連接即可；（2）利用旋轉的性質，分別作出、、的對應點、、，順次連接，求得的長，利用扇形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，，故答案為：；（2）解：如圖所示；，∴所掃過的面積是．故答案為：．22．(1)40(2)【分析】本題考查了統(tǒng)計和隨機抽樣的概率；根據(jù)題意求出總人數(shù)、正確畫出樹狀圖并按照公式求解是解題的關鍵．（1）根據(jù)A在頻數(shù)統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)除以扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)即可；（2）畫樹狀圖，求出所有可能和符合條件數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：總人數(shù)為：（人）；（2）畫樹狀圖如下：從兩男兩女中隨機抽取兩名同學共有種可能，恰好抽到一名男生和一名女生有種可能，恰好抽到一名男生和一名女生的概率為：．23．(1)每張門票的原定票價為40元(2)原定票價平均每次的降價率為【分析】本題主要考查了一元二次方程和分式方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)等量關系列出方程，注意要對分式方程的解進行檢驗．（1）設每張門票的原定票價為元，則降價后的價格為元，根據(jù)按原定零售票價需花費2000元購買的門票，現(xiàn)在只花費了1200元，列出方程，解方程即可；（2）設原定票價平均每次的降價率為，根據(jù)原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32.4元，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設每張門票的原定票價為元，則降價后的價格為元，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：每張門票的原定票價為40元．（2）解：設原定票價平均每次的降價率為，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：原定票價平均每次的降價率為．24．(1)見解析(2)【分析】(1)由平行線的性質得出，，即可證得結論；(2)由平行線的性質得出，易證△EFC∽△BAC，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得出結果．【詳解】（1）證明：，，（2）解：【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．25．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明，得出，即可得出直線與相切；（2）設半徑為r，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理得出，求出結果即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵為切線，∴，又∵，∴，，，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切．（2）解：設半徑為r，在中，，即，解得；，，在中，，，解得：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，切線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握切線的判定方法．26．(1)(2)，見解析(3)，【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質即可得到和的數(shù)量關系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用