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文檔簡介
烏蘭察布市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個幾何體的表面積是()A. B. C. D.2.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意,有,且當(dāng)時,.若函數(shù)至少有三個零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.3.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.4.把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.5.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.26.已知m為實(shí)數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立8.已知,則“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.11.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時,(為實(shí)數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.12.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為_____.14.在的展開式中,的系數(shù)等于__.15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,若圓上有且僅有一對點(diǎn),使得的面積是的面積的2倍,則的值為_______.16.已知△ABC得三邊長成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為證明:.18.(12分)已知.(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若時不等式成立,求的取值范圍.19.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),求兩交點(diǎn)間的距離.20.(12分)已知直線:與拋物線切于點(diǎn),直線:過定點(diǎn)Q,且拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)直線與拋物線交于(異于點(diǎn)P)兩個不同的點(diǎn)A、B,直線PA,PB的斜率分別為,那么是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)時,若對一切恒成立,求a的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)時,求不等式解集;(2)若的解集包含于,求a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個正方體中挖掉個球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.2、B【解析】
由題意可得的周期為,當(dāng)時,,令,則的圖像和的圖像至少有個交點(diǎn),畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,根據(jù),求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng),當(dāng),作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個零點(diǎn),則的圖像和的圖像至少有個交點(diǎn),,若,的圖像和的圖像只有1個交點(diǎn),不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個交點(diǎn),則有,即,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法,這也是高考??嫉臒狳c(diǎn)問題,屬于中檔題.3、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.4、D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個對稱中心為,故選D.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).5、A【解析】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、A【解析】
根據(jù)直線平行的等價條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時,兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時,兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時,則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價條件,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.7、D【解析】
取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項(xiàng);由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個不動點(diǎn),且,,因?yàn)楫?dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.8、B【解析】
構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m,n即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,取長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,直線=直線。若令A(yù)D1=m,AB=n,則m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直線m垂直于平面β,所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)有兩個:①考查了充分必要條件的判斷,在確定好大前提的條件下,從m⊥n?m⊥?和m⊥?m⊥n?兩方面進(jìn)行判斷;②是空間的垂直關(guān)系,一般利用長方體為載體進(jìn)行分析.9、D【解析】
結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.10、D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)?,?dāng)時,,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時,.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12、C【解析】
設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn),即可得解.【詳解】的圓心為,關(guān)于對稱點(diǎn)設(shè)為,則有:,解得,所以對稱后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求圓關(guān)于直線的對稱圓方程,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo).14、7【解析】
由題,得,令,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,令,得x的系數(shù).故答案為:7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
寫出所在直線方程,求出圓心到直線的距離,結(jié)合題意可得關(guān)于的等式,求解得答案.【詳解】解:直線的方程為,即.圓的圓心到直線的距離,由的面積是的面積的2倍的點(diǎn),有且僅有一對,可得點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍,可得過圓的圓心,如圖:由,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.16、-【解析】試題分析:根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所對的角為最大角,設(shè)為θ,則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn):余弦定理及等比數(shù)列的定義.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)因?yàn)?,所以,所以,即,又因?yàn)?,所以?shù)列為等差數(shù)列,且公差為1,首項(xiàng)為1,則,即.設(shè)的公差為,則,所以(),則(),所以,因此,綜上,.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則兩式相減得,所以,設(shè)則,所以.18、(1);(2)【解析】分析:(1)將代入函數(shù)解析式,求得,利用零點(diǎn)分段將解析式化為,然后利用分段函數(shù),分情況討論求得不等式的解集為;(2)根據(jù)題中所給的,其中一個絕對值符號可以去掉,不等式可以化為時,分情況討論即可求得結(jié)果.詳解:(1)當(dāng)時,,即故不等式的解集為.(2)當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立.若,則當(dāng)時;若,的解集為,所以,故.綜上,的取值范圍為.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法,以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,需要會用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù),從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決,關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時,可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍,去掉一個絕對值符號,之后進(jìn)行分類討論,求得結(jié)果.19、(1)表示一條直線,是圓心為,半徑為的圓;(2).【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,進(jìn)而可判斷出曲線的形狀,在曲線的方程兩邊同時乘以得,由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,由此可判斷出曲線的形狀;(2)由直線過圓的圓心,可得出為圓的一條直徑,進(jìn)而可得出.【詳解】(1),則曲線的普通方程為,曲線表示一條直線;由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.所以,曲線是圓心為,半徑為的圓;(2)由(1)知,點(diǎn)在直線上,直線過圓的圓心.因此,是圓的直徑,.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線截圓所得弦長的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直線恒過點(diǎn)點(diǎn)及拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為,求出拋物線的方程,再由直線與拋物線相切,即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得直線PA,PB的斜率,求出斜率之和為定值,即存在實(shí)數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】(1)由題意,直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0,所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到其焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為,可得,解得或(舍去),故拋物線C的方程為又由消去y得,因?yàn)橹本€與拋物線C相切,所以,解得,此時,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)(2)設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù),點(diǎn),聯(lián)立,消去x得,則,依題意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在實(shí)數(shù)=滿足條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解,此類問題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)【解析】
(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.(2)解法一:分類討論:當(dāng)時,觀察式子可得恒成立;當(dāng)時,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,可知;當(dāng)時,令,由,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得,進(jìn)而可得在上,單調(diào)遞減,即不滿足題意;解法二:
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