經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)1.3-函數(shù)的極限

18五月20241第三節(jié)函數(shù)的極限(LimitsofFunctions)

第一章

在前一節(jié)我們討論了數(shù)列的極限，

本節(jié)主要介紹一般函數(shù)的極限以及其性質(zhì)．二、函數(shù)極限的性質(zhì)一、函數(shù)極限的定義18五月20242一、函數(shù)極限的定義18五月202431.自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限(LimitsInvolvingInfinity)18五月2024418五月20245定義1可簡單地表達(dá)為：幾何解釋:補(bǔ)充定義直線y=A

為曲線的水平漸近線18五月20246直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，兩種特殊情況:18五月20247證:例1證明取因此就有故欲使即注:是的水平漸近線.18五月202482.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限.(LimitsInvolvingFinites)18五月20249（1）雙側(cè)極限(Two-sidedLimits)18五月202410當(dāng)時(shí),有18五月20241118五月202412例2證明證:欲使只要取則當(dāng)時(shí),必有因此18五月202413證:例3證明函數(shù)在點(diǎn)x=3處沒有定義.故取當(dāng)時(shí),必有因此18五月202414證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有例4證明:當(dāng)18五月202415（2）單側(cè)極限(One-sidedLimits)左極限(LeftLimits)

:當(dāng)時(shí),有右極限(RightLimits):當(dāng)時(shí),有定理118五月202416證：利用定理1，知18五月202417討論時(shí)的極限是否存在.解:

利用定理1.因?yàn)轱@然所以不存在.例6（補(bǔ)充題）設(shè)函數(shù)18五月202418二、函數(shù)極限的性質(zhì)定理2(函數(shù)極限的唯一性）定理3(函數(shù)極限的局部有界性)證：18五月202419若且

A>0,證:

已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)

A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)定理4

（函數(shù)極限的局部保號(hào)性）18五月202420若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有（書中定理5）分析:推論118五月202421證:

用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)存在假設(shè)A<0,條件矛盾,故18五月202422定理5海因定理（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)條件：（1）（2）結(jié)論：（1）（2）18五月202423內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.函數(shù)極限的性質(zhì):與左右極限等價(jià)定理；Th1唯一性定理；Th2局部有界性；Th3函數(shù)極限的局部保號(hào)性

；Th4海因定理（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)Th518五