山東省泰安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省泰安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）高一年級(jí)考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，，，則()A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.13.如圖，某圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的斜二測(cè)直觀(guān)圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為()A. B. C. D.4.已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5.某保險(xiǎn)公司為客戶(hù)定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類(lèi)保險(xiǎn)；丁，參保險(xiǎn)種比例定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．已知該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種的參?？蛻?hù)進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如上統(tǒng)計(jì)圖例，則以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A周歲人群參?？傎M(fèi)用最少B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的C.54周歲以上的參保人數(shù)最少D.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞6.拋擲-枚質(zhì)地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，則()A.甲乙互斥 B.乙丙互為對(duì)立 C.甲乙相互獨(dú)立 D.甲丙相互獨(dú)立7.已知，，，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.8.已知正四面體的體積為，為棱的中點(diǎn)，球?yàn)樵撜拿骟w的外接球，則過(guò)點(diǎn)的平面被球所截得的截面面積的最小值為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確是()A.的虛部是B.C.復(fù)平面內(nèi)和分別對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為1D.10.已知函數(shù)的最大值為3，且的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的最小正周期為 B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)在上單調(diào)遞減11.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則下列說(shuō)法正確是()A.若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B.若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則C.若，則與的面積相等D.若點(diǎn)在邊的中線(xiàn)上，且，則點(diǎn)是的重心12.如圖，在直三棱柱中，已知，為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱，分別交于點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是()A.三棱錐的體積為定值B.線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為2D.存在點(diǎn)，使得三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)在北京圓滿(mǎn)落幕．這是一場(chǎng)疫情肆虐下的體育盛會(huì)，是一場(chǎng)團(tuán)結(jié)、友誼、奮進(jìn)、拼搏的盛會(huì)，是一場(chǎng)充分體現(xiàn)中華民族文化自信的盛會(huì)．籌備期間，某大學(xué)青年志愿者協(xié)會(huì)接到組委會(huì)志愿者服務(wù)邀請(qǐng)，計(jì)劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與冬奧會(huì)的志愿服務(wù)工作．已知大一至大三的青年志愿者人數(shù)分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應(yīng)選派__________人．14.已知是第三象限角，且，則的值是___________.15.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)和，測(cè)得，并在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高_(dá)_______m．16.在銳角中，已知，，則的取值范圍為_(kāi)_______．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在銳角中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，向量，，且．(1)求；(2)若為中點(diǎn)，，的面積為，求的長(zhǎng)．18.如圖，平面，，，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面距離．19.某城市正在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)，為了解居民對(duì)活動(dòng)的滿(mǎn)意程度，相關(guān)部門(mén)從甲，乙兩個(gè)社區(qū)各抽取了20人進(jìn)行打分(分?jǐn)?shù)為正整數(shù)，滿(mǎn)分100分)．甲社區(qū)20名居民的打分記錄如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．將乙社區(qū)20名居民的打分分成五組，并畫(huà)出了其頻率分布直方圖(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求甲社區(qū)20名居民打分的第75百分位數(shù)；(2)估計(jì)乙社區(qū)20名居民打分的平均分(同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；(3)現(xiàn)從甲，乙兩社區(qū)打分不低于90分的居民中，任選2人，求2人不在同一社區(qū)的概率．20.已知向量，，設(shè)．(1)若，求的值；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.甲，乙兩人進(jìn)行游戲比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求第三局結(jié)束時(shí)甲獲勝的概率；(2)求乙最終以分獲勝的概率．22.如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，得到如圖2所示的三棱錐．(1)證明：；(2)為線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，設(shè)二面角的大小為，三棱錐與三棱錐的體積之和為，求的最大值．

高一年級(jí)考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C2.已知，，，則()A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】【分析】依題意根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B3.如圖，某圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的斜二測(cè)直觀(guān)圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法得到原圖矩形ABCD中，，從而求出圓柱的高，底面半徑，從而求出圓柱的體積.【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法得，在原圖矩形ABCD中，，所以該圓柱的高為，底面半徑為，故該圓柱的體積為．故選：B4.已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間線(xiàn)面位置關(guān)系依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則或異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則或或相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則或，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B5.某保險(xiǎn)公司為客戶(hù)定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類(lèi)保險(xiǎn)；丁，參保險(xiǎn)種比例定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．已知該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種的參保客戶(hù)進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如上統(tǒng)計(jì)圖例，則以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.周歲人群參?？傎M(fèi)用最少B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的C.54周歲以上的參保人數(shù)最少D.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞【答案】A【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表一一分析即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由扇形統(tǒng)計(jì)圖及折線(xiàn)圖可知，，故不小于周歲人群參?？傎M(fèi)用最少，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，周歲以下參保人群約占參保人群的，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，54周歲以上的參保人數(shù)約占，人數(shù)最小，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種更受參保人青睞，故D正確；故選：A．6.拋擲-枚質(zhì)地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，則()A.甲乙互斥 B.乙丙互為對(duì)立 C.甲乙相互獨(dú)立 D.甲丙相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)古典概型的概率公式分別求出三個(gè)事件的概率，再利用互斥事件、對(duì)立事件以及事件的獨(dú)立性定義判斷各選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的所有可能情況為36種，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”包含的基本事件有：，則；乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”包含的基本事件有：，則；丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”包含的基本事件有：，則；對(duì)于A，甲乙有可能同時(shí)發(fā)生不是互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，除了乙丙以外還有其他事件發(fā)生不是對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲乙同時(shí)發(fā)生的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲丙同時(shí)發(fā)生的概率為，D正確.故選：D.7.已知，，，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先算，再求與向量同向的單位向量和在上的投影，然后由投影向量定義可得.【詳解】由題知，與向量同向的單位向量為因，所以，得所以向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D8.已知正四面體的體積為，為棱的中點(diǎn)，球?yàn)樵撜拿骟w的外接球，則過(guò)點(diǎn)的平面被球所截得的截面面積的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，根據(jù)正四面體的體積求出棱長(zhǎng)和正方體的邊長(zhǎng)，再利用正方體的體對(duì)角線(xiàn)等于外接球的直徑，即可求出球的半徑，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的截面到球心的距離最大為時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，最后利用球的截面的性質(zhì)求出截面圓的半徑，即可求出截面圓的面積最小值.【詳解】如圖所示，球?yàn)檎拿骟w的外接球，即為正方體的外接球，正四面體體積為，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體的棱長(zhǎng)為，所以，解得，設(shè)正四面體的外接球的半徑為，則，基底，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心的距離最大值時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，此時(shí)球心到截面距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，即，可得截面圓的半徑為：，所以截面圓的面積最小值為：.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()A.的虛部是B.C.復(fù)平面內(nèi)和分別對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為1D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義判斷，對(duì)于B，通過(guò)計(jì)算判斷，對(duì)于C，利用兩點(diǎn)間的距離公式分析判斷，對(duì)于D，通過(guò)計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得，所以的虛部為，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)槠矫鎯?nèi)和分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和，所以這兩個(gè)點(diǎn)間的距離為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以D正確，故選：BD10.已知函數(shù)的最大值為3，且的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的最小正周期為 B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出、，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，又的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，，所以，，因?yàn)椋?，所以，則函數(shù)的最小正周期，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故C正確；當(dāng)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：BCD11.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則下列說(shuō)法正確的是()A.若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B.若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則C.若，則與的面積相等D.若點(diǎn)在邊中線(xiàn)上，且，則點(diǎn)是的重心【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平面向量線(xiàn)性法則及共線(xiàn)定理判斷即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，則，即，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，又，且、不共線(xiàn)，所以，故B正確；對(duì)于C：若，則，所以，如圖延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，則，，所以，所以、、三點(diǎn)共線(xiàn)，又為三角形的中位線(xiàn)，所以、到的距離相等，所以，故C正確；對(duì)于D：取的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在邊的中線(xiàn)上，設(shè)，所以，又，所以，又，所以，即，此時(shí)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)不是的重心，故D錯(cuò)誤；故選：BC12.如圖，在直三棱柱中，已知，為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱，分別交于點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是()A.三棱錐的體積為定值B.線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為2D.存在點(diǎn)，使得【答案】AC【解析】【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)及錐體的體積判斷A；用長(zhǎng)表示長(zhǎng)并求出范圍判斷B；利用割補(bǔ)法求出體積判斷C；取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，依題意，只要即可，推出矛盾，即可判斷D.【詳解】在直三棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，有，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接，如圖1，令，于是，即，由，得，即，對(duì)于A，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，又直三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四邊形為矩形，在上，所以所以，故A正確；對(duì)于B，顯然在上單調(diào)遞增，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖，，，，四棱錐即的體積：，故C正確；對(duì)于D：取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，又A可知即在平面內(nèi)的射影，要使，只要即可，若，設(shè)，則，又，所以，所以，得，則，所以不存在點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)在北京圓滿(mǎn)落幕．這是一場(chǎng)疫情肆虐下的體育盛會(huì)，是一場(chǎng)團(tuán)結(jié)、友誼、奮進(jìn)、拼搏的盛會(huì)，是一場(chǎng)充分體現(xiàn)中華民族文化自信的盛會(huì)．籌備期間，某大學(xué)青年志愿者協(xié)會(huì)接到組委會(huì)志愿者服務(wù)邀請(qǐng)，計(jì)劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與冬奧會(huì)的志愿服務(wù)工作．已知大一至大三的青年志愿者人數(shù)分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應(yīng)選派__________人．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣按比例抽取計(jì)算即可【詳解】由題意，在大一青年志愿者中應(yīng)選派人故答案為：14.已知是第三象限角，且，則的值是___________.【答案】##-0.75【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，再根據(jù)正切二倍角公式求得的值.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，所以，則，所以.故答案為：.15.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)和，測(cè)得，并在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高_(dá)_______m．【答案】【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求出，然后利用銳角三角函數(shù)可求出.【詳解】在中，，，則，由正弦定理得，所以，所以，得，在中，，，所以，所以塔高，故答案為：16.在銳角中，已知，，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，，則，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角形函數(shù)，由三角形為銳角三角形求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理，即，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，則，令，則，，，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以，即，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，，且．(1)求；(2)若為中點(diǎn)，，的面積為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示得到，再由正弦定理將邊化角，即可得解；(2)由面積公式求出，即可得到，再由余弦定理計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，又，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，又，，所以，所以，在中，所以.18.如圖，平面，，，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接、，即可得到四邊形為平行四邊形，從而得到，即可得證；(2)利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，又，，，即且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，又平面，所以，因?yàn)?，，所以，由平面，平面，所以，，又，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得.19.某城市正在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)，為了解居民對(duì)活動(dòng)的滿(mǎn)意程度，相關(guān)部門(mén)從甲，乙兩個(gè)社區(qū)各抽取了20人進(jìn)行打分(分?jǐn)?shù)為正整數(shù)，滿(mǎn)分100分)．甲社區(qū)20名居民的打分記錄如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．將乙社區(qū)20名居民打分分成五組，并畫(huà)出了其頻率分布直方圖(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求甲社區(qū)20名居民打分的第75百分位數(shù)；(2)估計(jì)乙社區(qū)20名居民打分平均分(同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；(3)現(xiàn)從甲，乙兩社區(qū)打分不低于90分的居民中，任選2人，求2人不在同一社區(qū)的概率．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；(2)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)公式計(jì)算可得；(3)利用列舉法及古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋赃@個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大排列的第和第個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，即甲社區(qū)名居民打分的第百分位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知，乙社區(qū)名居民打分的平均分為：.【小問(wèn)3詳解】甲社區(qū)打分不低于分的有人記作、，乙社區(qū)打分不低于分的有人，記作、、，從中任選人的可能結(jié)果有、、、、、、、、、共個(gè)基本事件，其中滿(mǎn)足人不在同一社區(qū)的有、、、、、共個(gè)基本事件，所以人不在同一社區(qū)的概率.20.已知向量，，設(shè)．(1)若，求的值；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換可得的表達(dá)式，結(jié)合可得，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，即得答案.(2)根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換規(guī)律可得的表達(dá)式，結(jié)合x(chóng)的范圍求得的值域，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得，由，得，即，故.【小問(wèn)2詳解】由題意得，因?yàn)椋?，所以，故，故函?shù)在上有零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.甲，乙兩人進(jìn)行游戲比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求第三局結(jié)束時(shí)甲獲勝的概率；(2)求乙最終以分獲勝的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)對(duì)甲來(lái)說(shuō)共有兩種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝),根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.(2)以比賽結(jié)束時(shí)的場(chǎng)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)中根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件為