小題中、難檔題專練6-外接球-2021屆高三三輪復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)模擬考前15天必刷題

小題中、難檔題專練6—外接球一．單選題1．生活中有很多球缺狀的建筑．一個球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高．現(xiàn)有一個球被一平面所截形成兩個球缺，若兩個球冠的面積之比為，則這兩個球缺的體積之比為A． B． C． D．2．在三棱錐中，已知平面，，．若三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的半徑為A．1 B． C． D．3．將面積為4的矩形沿對角線折起，使二面角的大小為，則三棱錐外接球的體積的最小值為A． B． C． D．與的大小有關(guān)4．如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為A． B． C． D．5．已知三棱錐的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，平面平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．6．已知三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．7．已知四面體中，，且．若四體的外接球體積為，則當(dāng)該四面體的體積最大時，A．2 B．4 C．6 D．88．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．二．多選題9．一個圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一個球的球面上，已知圓錐的底面面積與球面面積比值為，則這個圓錐體積與球體積的比值可能為A． B． C． D．10．已知三棱錐的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，，，，過作平面的垂線，且，，與都在平面的同側(cè)，則A．三棱錐的體積為 B． C． D．球的表面積為11．如圖，直三棱柱，為等腰直角三角形，，且，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是，上的兩個動點(diǎn)，則A．與一定是異面直線 B．三棱錐的體積為定值 C．直線與所成角為 D．若為的中點(diǎn)，則四棱錐的外接球表面積為12．如圖三棱錐，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱錐的外接球，則A．球心到平面的距離是 B．球心到平面的距離是 C．球的表面積是 D．球的體積是三．填空題13．在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，二面角的大小為，則該三棱錐外接球的表面積為．14．《九章算術(shù)》把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，把底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有如圖所示的“塹堵”，其中，，當(dāng)“陽馬”四棱錐體積為時，則“塹堵”即三棱柱的外接球的體積為．15．已知三棱錐中，點(diǎn)在平面上的射影與點(diǎn)重合，．若，則三棱錐的外接球的體積為．16．如圖，已知長方體的底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，且，則四棱錐的外接球的體積為．小題中、難檔題專練6—外接球1．解：設(shè)小球缺的高為，大球缺的高為，則，由題意可得，，則，，即，，小球缺的體積；大球缺的體積．小球缺與大球缺的體積比為．故選：．2．解：，，，三角形的外接圓直徑，，面，，由于三角形為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑，故選：．3．解：設(shè)矩形邊長為，，可得，矩形的對角線相互平方且相等，折疊后，球心在對角線交點(diǎn)上，且球的半徑是對角線的一半，即，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，三棱錐外接球的體積．故選：．4．解：由題意，底面是邊長為3的正方形，面，可得，過作垂線，，，，、、分別為線上的三等分點(diǎn)，，，．過作平行線交于，可得；，，中根據(jù)勾股定理，可得．，底面外接圓的半徑，四棱錐外接球的半徑，四棱錐外接球表面積．故選：．5．解：根據(jù)題意，平面平面，面面，，平面．，是等腰三角形，是直角三角形，可得；那么平面和平面的外接圓半徑分別為，；球心到距離相等于，可得；球的表面積．故選：．6．解：由題意，，，，可得是等邊三角形，是直角三角形，將沿折起后，點(diǎn)是的外心，其圓的半徑；點(diǎn)是的外心，其圓的半徑；是二面角的平面角，即，記該幾何體的外接球球心為，連接，，連接，由于四點(diǎn)共圓，，，，在中由余弦定理，可得，在中，，，可得，外接球半徑，外接球表面積；故選：．7．解：如圖，由，得，，，又，平面，則，又，平面．取中點(diǎn)，可得，則為四面體的外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，由外接球體積為，得，即．．又，設(shè)，，則，即．．當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號．故選：．8．解：如圖，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則三棱錐外接球的球心一定在過點(diǎn)且與平面垂直的直線上，不妨設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則平面，且，過點(diǎn)作平面，則點(diǎn)為外接圓的圓心，在中，由余弦定理有，，，，延長交于，連接，，為邊長為1的正三角形，為中點(diǎn)，，由于平面平面，故四邊形為矩形，則，在中，，即，解得，三棱錐的外接球的表面積為．故選：．9．解：不妨設(shè)球的表面積為，由圓錐的底面面積與球面面積比值為，可得圓錐的底面積為，則圓錐的底面半徑為，由幾何體的特征可知，球心到圓錐底面的距離，球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角形，由此可以求得球心到圓錐底面的距離是，則圓錐體積較小者的高為：；圓錐體積較大者的高為：．故圓錐體積與球體積的比為：，或，故選：．10．解：如圖，長方體的高為1，底面是邊長為2的正方形，滿足，，，三棱錐的體積為，故正確；，滿足，可得，故正確；平面，平面，則，假設(shè)，則，與與相交于矛盾，故錯誤；三棱錐的外接球即長方體的外接球，設(shè)其半徑為，則，即，可得球的表面積為，故正確．故選：．11．解：對于，當(dāng)與重合時，與是相交直線，故錯誤；對于，由已知可得，又平面平面，平面，在矩形中，的面積，又，，故正確；對于，由平面，得，又，，平面，得直線與所成角為，故正確；對于，由題意可知，四邊形為矩形，連接，則矩形的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且，過作，垂足為，連接，，則，，，故，就是四棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，則外接球的表面積為，故正確．故選：．12．解：如圖，由，平面平面，且平面平面，平面，取中點(diǎn)，則為三角形的外心，取的中點(diǎn)，連接，則，可得平面，設(shè)的外心為，三棱錐的外接球的球心為，連接，，則平面，底面，可得四邊形為矩形，則到平面的距離等于，故錯誤；在中，由余弦定理可得，則，設(shè)三角形外接圓的半徑為，可得，又，到底面的距離為，故正確；則三棱錐外接球的半徑，則球的表面積是，故正確；球的體積為，故錯誤．故選：．13．解：如圖，取中點(diǎn)，則為三角形的外心，取等邊三角形的外心，則平面，又二面角的大小為，即平面平面，且平面平面，平面，則，故為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑，則該三棱錐外接球的表面積為．故答案為：．14．解：由已知可得，平面，則，解得．此時“塹堵”即三棱柱的外接球的直徑，三棱柱的外接球的體積為．故答案為：．15．解：如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，故，在中，由正弦定理得，故，則，故球的體積為．故答案為：．16．解：法一：由題意知為正三角形，取的中點(diǎn)，的中心，記，連接，，過，分別作平面與平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為四棱錐的外接球球心．由題意知，，所以四棱錐的外接球半徑，所以四棱錐的外接球的體積．法二：連接，，，，記，，連接，易知四棱錐的外