(新教材)2019-2020學(xué)年人教B版數(shù)學(xué)必修第二冊4.2.3-第1課時-對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

PAGE1-4．2.3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像第1課時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)對數(shù)函數(shù)的概念理解對數(shù)函數(shù)的概念，會判斷對數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)抽象對數(shù)函數(shù)的圖像初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)直觀想象、數(shù)學(xué)運算對數(shù)函數(shù)的簡單應(yīng)用能利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決與之有關(guān)的問題數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P24－P27的內(nèi)容，思考以下問題：1．對數(shù)函數(shù)的概念是什么？它的解析式具有什么特點？2．對數(shù)函數(shù)的圖像是什么，通過圖像可觀察到對數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？對數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)y＝logax稱為對數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.對數(shù)函數(shù)y＝logax的性質(zhì)：(1)定義域是(0，＋∞)，因此函數(shù)圖像一定在y軸的右邊．(2)值域是實數(shù)集R．(3)函數(shù)圖像一定過點(1，0)．(4)當(dāng)a>1時，y＝logax是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，y＝logax是減函數(shù)．(5)對數(shù)函數(shù)的圖像■名師點撥底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖像的“升降”：當(dāng)a＞1時，對數(shù)函數(shù)的圖像“上升”；當(dāng)0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)的圖像“下降”．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝logxeq\f(1,2)是對數(shù)函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝2log3x是對數(shù)函數(shù)．()(3)函數(shù)y＝log3(x＋1)的定義域是(0，＋∞)．()答案：(1)×(2)×(3)×函數(shù)f(x)＝eq\r(x－1)＋lgx的定義域是()A．(0，＋∞) B．(0，1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：選C.因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,x>0))，所以x≥1.下列不等號連接錯誤的一組是()A．log0.52.2>log0.52.3 B．log34>log65C．log34>log56 D．logπe>logeπ解析：選D.函數(shù)y＝logπx在定義域上單調(diào)遞增，e<π，則logπe<logππ＝1.同理，logeπ>logee＝1，則logπe<logeπ.故D錯誤．函數(shù)y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析：由題意可得0<3a－1<1，解得eq\f(1,3)<a<eq\f(2,3)，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))對數(shù)函數(shù)的概念判斷下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.【解】(1)log2x的系數(shù)是3，不是1，不是對數(shù)函數(shù)．(2)符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對數(shù)函數(shù)．(3)自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù)．(4)對數(shù)式log2x后又加1，不是對數(shù)函數(shù)．eq\a\vs4\al()判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.若某對數(shù)函數(shù)的圖像過點(4，2)，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不確定解析：選A.設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝logax(a＞0且a≠1)，由題意可知loga4＝2，所以a2＝4，所以a＝2，所以該對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x.對數(shù)函數(shù)的圖像如圖所示，曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖像，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則對應(yīng)于c1、c2、c3、c4的a值依次為()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)【解析】法一：觀察在(1，＋∞)上的圖像，先排c1、c2底的順序，底都大于1，當(dāng)x＞1時圖像靠近x軸的底大，c1、c2對應(yīng)的a分別為eq\r(3)、eq\f(4,3).然后考慮c3、c4底的順序，底都小于1，當(dāng)x＜1時圖像靠近x軸的底小，c3、c4對應(yīng)的a分別為eq\f(3,5)、eq\f(1,10).綜合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10).故選A.法二：作直線y＝1與四條曲線交于四點，由y＝logax＝1，得x＝a(即交點的橫坐標(biāo)等于底數(shù))，所以橫坐標(biāo)小的底數(shù)小，所以c1、c2、c3、c4對應(yīng)的a值分別為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)，故選A.【答案】Aeq\a\vs4\al()函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的底數(shù)變化對圖像位置的影響觀察圖像，注意變化規(guī)律：(1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a＞1時，a越大，圖像越靠近x軸，0＜a＜1時，a越小，圖像越靠近x軸．(2)左右比較：比較圖像與y＝1的交點，交點的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．1．函數(shù)y＝loga(x＋2)＋1的圖像過定點()A．(1，2) B．(2，1)C．(－2，1) D．(－1，1)解析：選D.令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函數(shù)y＝loga(x＋2)＋1的圖像過定點(－1，1)．2．如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖像，則()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1D．b＞a＞1解析：選B.作直線y＝1，則直線y＝1與C1，C2的交點的橫坐標(biāo)分別為a，b，易知0＜b＜a＜1.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題若f(x)＝eq\f(1,log\s\do9(\f(1,2))（2x＋1）)，則f(x)的定義域為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))【解析】由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1＞0，,2x＋1≠1，))解得x＞－eq\f(1,2)且x≠0.【答案】Ceq\a\vs4\al()求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時，除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；三是按底數(shù)的取值范圍對應(yīng)單調(diào)性，有針對性地解不等式．函數(shù)y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域為()A．(0，1) B．[0，1)C．(0，1] D．[0，1]解析：選B.因為y＝eq\r(x)ln(1－x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－x＞0，))解得0≤x＜1.1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx解析：選D.選項A、B、C中的函數(shù)都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D選項符合．2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(1－x))＋lg(3x＋1)的定義域是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))解析：選D.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x＞0，,3x＋1＞0，))可得－eq\f(1,3)＜x＜1.3．函數(shù)y＝ax與y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐標(biāo)系中的圖像形狀可能是()解析：選A.函數(shù)y＝－logax恒過定點(1，0)，排除B項；當(dāng)a＞1時，y＝ax是增函數(shù)，y＝－logax是減函數(shù)，排除C項，當(dāng)0<a<1時，y＝ax為減函數(shù)，y＝－logax為增函數(shù)，排除D項，故A項正確．4．若a＞0且a≠1，則函數(shù)y＝loga(x－1)＋1的圖像過定點為________．解析：函數(shù)圖像過定點，則與a無關(guān)，故loga(x－1)＝0，所以x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga(x－1)＋1過定點(2，1)．答案：(2，1)5．比較下列各組數(shù)的大?。?1)log2eq\r(2)________log2eq\r(3)；(2)log32________1；(3)logeq\s\do9(\f(1,3))4________0.解析：(1)底數(shù)相同，y＝log2x是增函數(shù)，所以log2eq\r(2)＜log2eq\r(3).(2)log32＜log33＝1.(3)logeq\s\do9(\f(1,3))4＜logeq\s\do9(\f(1,3))1＝0.答案：(1)＜(2)＜(3)＜[A基礎(chǔ)達標(biāo)]1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lg(1＋x)的定義域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：選C.由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,1－x≠0，))解得x>－1且x≠1.2．對數(shù)函數(shù)的圖像過點M(16，4)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log4x B．y＝logeq\s\do9(\f(1,4))xC．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x D．y＝log2x解析：選D.由于對數(shù)函數(shù)的圖像過點M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以此對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x，故選D.3．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域為()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：選A.因為3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log2(3x＋1)＞0.所以函數(shù)f(x)的值域為(0，＋∞)．4．函數(shù)y＝lg(x＋1)的圖像大致是()解析：選C.由底數(shù)大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的圖像向左平移1個單位(或令x＝0得y＝0)，而且函數(shù)為增函數(shù)，故選C.5．已知函數(shù)f(x)＝loga(x－m)的圖像過點(4，0)和(7，1)，則f(x)在定義域上是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)解析：選A.將點(4，0)和(7，1)代入函數(shù)解析式，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝loga（4－m），,1＝loga（7－m）.))解得a＝4和m＝3，則有f(x)＝log4(x－3)．由于定義域是x＞3，則函數(shù)不具有奇偶性，很明顯函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)．6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________．解析：由對數(shù)函數(shù)的定義可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5.答案：57．已知函數(shù)y＝loga(x－3)－1的圖像過定點P，則點P的坐標(biāo)是________．解析：y＝logax的圖像恒過點(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，則y＝－1.答案：(4，－1)8．若f(x)是對數(shù)函數(shù)且f(9)＝2，當(dāng)x∈[1，3]時，f(x)的值域是________．解析：設(shè)f(x)＝logax，因為loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因為x∈[1，3]，所以0≤f(x)≤1.答案：[0，1]9．若函數(shù)y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的圖像過點(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的定義域．解：(1)將(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，則－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，所以函數(shù)的定義域為{x|x＞－2}．10．求下列函數(shù)的定義域與值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．解：(1)由x－2＞0，得x＞2，所以函數(shù)y＝log2(x－2)的定義域是(2，＋∞)，值域是R.(2)因為對任意實數(shù)x，log4(x2＋8)都有意義，所以函數(shù)y＝log4(x2＋8)的定義域是R.又因為x2＋8≥8，所以log4(x2＋8)≥log48＝eq\f(3,2)，即函數(shù)y＝log4(x2＋8)的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).[B能力提升]11．函數(shù)y＝2＋log2x(x≥1)的值域為()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：選C.當(dāng)x≥1時，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.所以函數(shù)y＝2＋log2x的值域為[2，＋∞)．12．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x－4),lgx－1)的定義域是()A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞)解析：選D.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,lgx－1≠0，,x＞0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x≠10，,x＞0，))所以x≥4且x≠10，所以函數(shù)f(x)的定義域為[4，10)∪(10，＋∞)．故選D.13．如果函數(shù)f(x)＝(3－a)x