安徽省宣城市數學小學奧數系列8-6-1構造與論證

安徽省宣城市數學小學奧數系列8-6-1構造與論證

姓名:班級:成績:

攀，

M親愛的小朋友們，這一段時間的學習，你們收獲怎么樣呢？今天就讓我們來檢驗一下吧！

一、最佳安排和選擇方案（共20題；共103分）

1.（1分）一堆圍棋子，黑子的個數是白子的3倍，每次拿5枚黑子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完,

還剩11枚黑子.這堆棋子中，共有白子個.

2.（5分）木材加工廠堆放原木（堆放方式如下圖所示），每上一層都比原來一層少4根。已知最上層有4根,

最下層有20根。

層

（1）這堆原木堆放了多少層？

（2）一共有多少根原木？

3.（5分）甲、乙、丙、丁在談論他們及他們的同學何偉的居住地.

甲說：“我和乙都住在北京，丙住在天津.”

乙說：“我和丁都住在上海，丙住在天津.”

丙說：“我和甲都不住在北京，何偉住在南京.”

丁說：“甲和乙都住在北京，我住在廣州.”

假定他們每個人都說了兩句真話，一句假話.問：不在場的何偉住在哪兒？

4.（5分）甲說：“乙和丙都說謊。”乙說：“甲和丙都說謊。”丙說：“甲和乙都說謊。”根據三人所說,

你判斷一下，下面的結論哪一個正確：（1）三人都說謊；（2）三人都不說謊；（3）三人中只有一人說謊；（4）三人

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中只有一人不說謊。

5.（10分）將100顆綠豆和100顆黃豆混在一起又一分為二，需要幾次才能使A堆中黃豆和B堆中的綠豆相

等呢？

6.（5分）有一批四種顏色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各種信號，試說明在200個信號中至少有

四個信號完全相同。

7.（5分）塑料袋里有六個橘子，如何均分給三個小孩，而塑料袋里仍有二個橘子？（不可以分開橘子）

8.（10分）一斤白菜5角錢，一斤蘿卜6角錢，那一斤排骨多少錢？

9.（5分）寶寶、貝貝、聰聰每人有兩個外號，人們有時以“數學博士”、“短跑健將”、“跳高冠軍”、

“小畫家”、“大作家”和“歌唱家”稱呼他們，止匕外：⑴數學博士夸跳高冠軍跳的高⑵跳高冠軍和大作家常與寶

寶一起看電影⑶短跑健將請小畫家畫賀年卡⑷數學博士和小畫家關系很好⑸貝貝向大作家借過書⑹聰聰下象棋常

贏貝貝和小畫家問：寶寶、貝貝、聰聰各有哪兩個外號嗎？

10.（2分）證明：在任意的6個人中必有3個人，他們或者相互認識，或者相互不認識.

11.（5分）世界杯足球賽，每個小組有4支球隊，每兩支球隊之間各賽一場，勝一場得3分，負一場得0

分，平局各得1分.每個小組總分最多的兩支球隊出線.如果在第一小組比賽中出現了一場平局，問：在第一小組

中一支球隊至少得多少分，一定能夠出線？

12.（5分）一次數學考試，共六道判斷題.考生認為正確的就畫“J”，認為錯誤的就畫“*”.記分的

方法是：答對一題給2分；不答的給1分；答錯的不給分.已知上、B、C、D>E、F、G七人的

答案及前六個人的得分記錄在表中，請在表中填出G的得分.并簡單說明你的思路.

ABCDEFG

1J7XX

2XXXX

3XXXX

44*XX

5XJX

64JXXXX

程分155597

13.（5分）張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農民和教師，己知：⑴張明不

在北京工作，席輝不在上海工作；⑵在北京工作的不是教師；⑶在上海工作的是工人；⑷席輝不是農民.問：這三

人各住哪里？各是什么職業(yè)？

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14.（5分）有六個大小相同的彩球，三個紅，三個白，分別放入三個罐子里，一個罐里放兩紅球，一個罐里

放兩白球，另一罐放一紅一白.然后將寫有“兩紅”、“兩白”、“紅白”的三個標簽貼在三個罐子上，由于粗心,

三個標簽全貼錯了.試問此時最少要從罐子中取出幾個球，才能確定三個罐分別裝的是什么彩球？

15.（5分）一位法官在審理一起盜竊案中，對涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進行了審問.四人分別供

述如下：

甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中.”

乙說：“我沒有作案，是丙偷的.”

丙說：“在甲和丁中間有一人是罪犯.”

丁說：“乙說的是事實."

經過充分的調查，證實這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話.

同學們，請你做一名公正的法官，對此案進行裁決，確認誰是罪犯？

16.（5分）三個小朋友去買文具，他們分別要買鉛筆、轉筆刀和尺子。

17.（5分）班上四名同學進行跳棋比賽，每兩名同學都要賽一局.每局勝者得2分，平者各得1分，負者

得0分.已知甲、乙、丙三名同學得分分別為3分、4分、4分，且丙同學無平局，甲同學有勝局，乙同學有

平局，那么丁同學得分是多少？

18.（5分）買一雙高級女皮鞋要214元5角6分錢，請問買一只要多少錢？

19.（5分）編號為1,2,3,4,5的五個同學比賽乒乓球，每2人要比賽一場，到現在為止，1號已經賽了

4場，2號賽了3場，3號賽了2場，4號賽了1場.5號已經賽了幾場？（提示：用5個點代表五個人，用兩點之間

的連線代表兩人已經比賽過.）

20.（5分）東東、西西、北北三人進行乒乓球單循環(huán)賽，結果3人獲勝的場數各不相同.問第一名勝了幾

場？

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二、染色與賦值問題（共11題；共60分）

21.（5分）一4,B,C,D分別是中國、日本、美國和法國人.已知：⑴X和中國人是醫(yī)生；⑵B和

法國人是教師；⑶C和日本人職業(yè)不同；⑷。不會看病.問：A,B,C,。各是哪國人，

22.（5分）五封信，信封完全相同，里面分別夾著紅、藍、黃、白、紫五種顏色的卡片.現在把它們按順序

排成一行，讓X、B、C、。、E五人猜每只信封內所裝卡片的顏色.

一｛猜：第2封內是紫色，第3封是黃色；

8猜：第2封內是藍色，第4封是紅色；

。猜：第1封內是紅色，第5封是白色；

D猜：第3封內是藍色，第4封是白色；

E猜：第2封內是黃色，第5封是紫色.

然后，拆開信封一看，每人都猜對一種顏色，而且每封都有一人猜中.請你根據這些條件，再猜猜，每封信中

夾什么顏色的卡片？

23.（5分）班里舉行投籃比賽，規(guī)定投中一個球得5分，投不進扣2分.小立一共投了6個球，得了16

分，那么小立投中了幾個球？

24.（5分）一個數若去掉前面的第一個數字是11,去掉最后一個數字為50,原數是多少？

25.（5分）三（一）班的同學在周末舉行象棋比賽，規(guī)定贏1局得3分，輸1局倒扣1分，平1局各

得1分.小晴共參加了6局比賽，結果勝了3局，平了1局，那么小晴的最后得分是多少？

26.（5分）（2019二下?通榆期末）有甲、乙、丙三人，一個是語文老師，一個是數學老師，一個是體育老

師。甲和乙經常和體育老師學打羽毛球，乙?guī)W生去找數學老師輔導數學。甲、乙、丙分別是什么老師？

27.（5分）一』、8、C、。、E五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤.到現在為止，A已

經賽4?盤，8賽3盤，C賽2盤，Z）賽1盤.問：此時E同學賽了幾盤？

28.（10分）甲、乙、丙三個工廠共訂300份報紙，每個工廠至少訂了99份，至多101份，問：一共有多少

種不同的訂法？

29.（5分）想一想，請你繼續(xù)寫！

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149

2536

-觀察這些數，I

L你發(fā)現了什么呢?

噢！我發(fā)現了：.

30.（5分）考試做判斷題，小花擲骰子決定答案，但題目有20題，為什么他卻扔了40次？

31.（5分）甲、乙、丙、丁在比較他們的身高，甲說：“我最高.”乙說：“我不最矮.”丙說：“我沒甲

高，但還有人比我矮.”丁說：“我最矮.”實際測量的結果表明，只有一人說錯了.請將他們按身高次序從高到

矮排列出來.

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參考答案

一、最佳安排和選擇方案（共20題；共103分）

1-K修1號】〃

解:（20-4）+4=4（層）4+1=5（層）

2-1、答：這堆原木堆放了5層.

解:（4+20）*5+2=60（根）

2-2、答：一共有60用原木.

3-1、

解：因為甲、乙都說“丙住在天津,-我們可以假設這句話是假話，月心甲、乙的前兩句應當都是真話，推出乙既住在1際又

住在上海，矛盾.所以假設不成立，即“丙住在天津”是真話.

因為甲的前兩句話中有一句假話，而甲、丁兩人的前兩句話相同，所以丁的第三句話“我住在廣州”是真的.

由此知乙的第二句話“丁住在上?！笔羌僭?第一句"我住在上海”是真話；進而推知甲的第二句是假話,第一句"我住在北

JJT是真話；最后談丙的第二句話是假話，第三句"何隹住在南京.是真話.所以,何隹住在南京.

4-1、

解：每個人都說其他兩個人說謊，所以（1）（3）鐳說；

如果三人中只育一人說謊，假設甲說謊（可以任意選一個人，結果一樣），那么乙、丙沒有說謊，而乙又說丙說端，矛盾，故

*；

如果三人中只有一人不說謊，假設甲不說謊（可以任意選一個人，結果一樣），月弦乙、丙都說謊，乙說.甲和丙都說端”,

月降甲.丙種中至少育一人沒稗說謊，成立，丙說?1甲和乙都說謊”.另監(jiān)甲、乙種中至少有一人沒有說謊，成立.

5-1、解:一次.

解:四種顏色H面排成一行：4x4*4=64（種）

200+64=3......8,3+1=4（個）

6-1、答：至少有4個信號完全相同.

7-1、解：當然是f人兩個楮子,只是

解:10x10=100（^）

8-1、苔：一斤排骨10CM.

9-1

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解：由（2沏，寶寶不是跳女車和大作家；由（5和，貝貝不是大作家；由（6聞，貝貝、聰聰都不是小畫家，可以得到下表：

數學博士應跑健格跳高冠軍小福密大作涼歌唱家

寶寶XJX

XX

KKX4

因為寶寶是〃畫家,所以由（3X4閱寶寶不是短SB健將和數學博土，皿全全是歌唱家,因為聰聰是大作家,所以由（2加聰聰不

是跳高志軍，推知貝3是跳高冠軍，因為貝貝是跳高冠軍,所以由（1加貝貝不是數字博士,將上面結論依次填入上表，得到下

表：

數學博士短跑健將趺商冠軍小畫涼大作家歌唱東

寶寶XXXJXJ

貝貝XJXXX

JXXXJX

所以,寶寶是小畫家和或唱家，貝貝是短跑健朽和跳商冠軍,聰聰是數字修士和大作家.

10-1、

解：把這6個人看作6個點,每兩點之間在一條線段,兩人相互認識的話將送段涂紅色，兩人不認識的話將統(tǒng)段涂上藍色，那么

只震證明其中育一個同色三角形即可.從這6個點中隨怠選取一點J，從<點引出的5條線段，根據油屜原理,必有3條的顏色

相同,不妨設有3條線成為紅色，它們另一田點分別為B、C.D.那么這H點中只要有兩點比如說B.C之間的戰(zhàn)役

是紅色，那么.小B、C3點組成紅色三角形；如果方、c,°三點之間的統(tǒng)段都不是紅色，9眩都是藍色，這樣5、c

.D3點組成套色三角形，也籽合條件.所以結論成立.

11-1、

解：考察兩支隊之間進行比賽所獲得的分數,如果產生勝負關系,那么兩隊急得分為3分,如果平局，貝出得分為2分.四支隊

伍相互同進行了6場比賽.如果不出現平局，應當得分總和為18分，但是出現了一場平局，因此總得分為18-1=17分.一支

隊伍要確保出線，必須保證不可能出現兩支比自己得分鬲的球隊.因世翼得分應大于總徨分的1,因此這支球隊至少要得

"-3=句分，即至少周6分.很容易說明得6分一定出送，因為如果存在另外兩支隊伍出送,那么他們的得分應不小于6分，

因此總得分將不小于18分，矛盾.另外,如果得分不到6分，那么這支球隊最多只能得4分（因為得5分意味著兩場平局，題目

中吉訴我們只有一場平局），這時候其他三支球隊息得分為13分,如果分別為6分，6分，1分，那么4分的球隊就不能出線了.

12-1、

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解：由于E得了9分,說明他只答播了一道題.先假定答鐳的是第1裳,這樣就有一個標準花盍,并由此可分析其他人的得分.

如出現矛盾，再假定￡答錯的是第2邈......直到判斷出￡答18的邀號為止.有了正確的答案，就可以寫出G的得分.

假設E的第1題答錯,那么j至少錯3遒題,T未答,最多得5分，與j得7分矛盾.所以￡第1題答對.

假設E第2題答錯，可知j最多得3分，矛盾.所以七第2整答對.

假設￡第3蹙管錯,則B最多得3分，矛盾.所以七第3典答對.

線設￡第6?答錯,則D最多得3分，矛盾.所以￡?第63答對.

由于E得9分，因此￡只答錯一邀,因此￡第4邀答錯，于是j的第2,4兩迪對，3,6兩題播.而j得7分，說明j的第5

題是對的?由.，E兩人的答寶,可得一標準答宏如下表：

題號123456

答案X■iXJ4X

按此標準評分，與差中所給A<B<C<D<E'F得分相符合,所以E的第4差確實答錯了.

上表的答案是正確的.故可知G得8分?

13-1

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解:這道題的關系要復雜一些，要求我們通過推理,弄清人物、工作地點、職業(yè)三者之間的關系.三者的關系需要兩兩構造三

個表,即人物與地點,人物與職業(yè)，地點與職業(yè)三個表.

我們先將題目條件中所給出的關系用下面的表來表示，由條件（1測到表1,由條件（2）、（3清到表2.由條件（4滯到表3.

北京上海天津北京上海天漳工人農民教師

張明X故卿X

席輝X工人qX

李網農民李剛

Ai412表3

因為各表中，每行每列只能有f,所以表2可填全為表5?

北京上鼻天津北京3天津

張明XVXXXV

席蜂XX4工人XVX

》則qXX農民qXX

從4As

由表5知農品在二氏工作，又知席不是農民，所以席輝不在：!涼工作，可以將表1可填全完為表4

由表4和表5知得到：張明住在上海，是工人；席輝住在天津，是癡I幣；李剛住在二陳,是農民.

方法二：由題目條件可知：席理不在上海工作，而在上海工作的是工人,所以席輝不是工人,又不是農

民,那么席輝只能是教師,不在二徐工作，就只鴕是在天津工作，那么張明在上海工作，是工人.李剛

由然,是農民.

北京3天津工人農民

XVX張明XX

XX/席蟀XXq

qXX爭刖XVX

14-1、

解：因為所有罐子上的標簽都和量中實物不符，所以在貼有"紅白”標簽的罐子中只能是兩紅或兩白.月弦只需在“紅白”罐

子中取出一個彩球，者是紅色球,則可知罐中是兩紅，那么標有“兩白一的罐子中就是“一紅一白”,標育“兩紅”的罐子中

就是“兩白"；若是白色球,則可知罐中是“兩白"，那么標有一兩紅"的罐子中就是?一紅一白",而標有一兩白"的罐子

中就是再紅”.

答：最少從寫稗“紅白-的罐子中取出1個球，才能確定三個娓分別裝的什么彩球.

15-1、

解：如果甲說的是假話,那么剩下三人中有一人說的也是假話,另外兩人說的是真話.可是乙和丁兩人的觀點一致，所以在剩

下的三人中只能是丙說了假話，乙和丁說的都是真話.即"丙是盜竊犯".這樣一來，甲說的也是對的.不是假話.這樣，前

后就產生了矛盾.所以甲說的不可能是假話,只能是真話.同理，剩下的三人中只能是丙說百話.乙和丁說的是假話，即丙不

是菲犯，乙是菲犯.又由甲所述為苴話.即甲不是靠犯.再由丙所述為直話，圓丁是罪犯.所以乙和丁是盜防犯.

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16-1、答：小明要買的是鉛筆.

17-1、

解：個同學共賽4x3+2=6（局），結合條件“丙同學無平局，甲同學有勝局,乙同學有平局"，分保三名同學分數配比：

甲：3=1x2+1（一勝T~?!）；乙：4=1x24-2*1（一勝二平）或（二》f）；丙：4=2*2（二；觀

察可知有四勝二負，所以丁同學負了二場,又因為有三平,所以丁同孚平了一場.則丁同學得：1x1=1（分）

18-1、解：一M214元5角6分除

19-1、

解：用一個點代表1人，兩點之間的連線代表兩人已經比賽過，根據已有條件可以畫出右圖.從圖中可以看出5號已經賽了2場.

20-1、

解：三人進行單循環(huán)賽，即每兩人都要賽一場，共進行3x2-2=3（場）比賽.每場比賽都有一人獲勝,抵人都賽？場.由

期意知三人獲勝的場數各不相同,所以三人獲勝的場數分別為2、1.0.顯然，第一名是勝了2場.

二、染色與賦值問題（共11題；共60分）

21-1

解：有⑴（2）可知，X、5都不是中國人和法國人，再由（以4聞.D也不是中國人，所以.c是中國人，由③，日本人也是教

師，從而推知,￡（是法國人，得下表：

中國人日本人美國人法國人

AXX

BXX

CJXXX

DXXXJ

最后由c是中國人及⑴（3）,性知日本人是教師,再由（2閱］B是日本人?

22-1

解：把已知條件簡明地記錄在表格中.選擇其中一只信封作為"突破口”.比如第3封，.轉的是黃色.D猜的卻是藍色.由

已知條件,這只信封內的卡片不是藍色，就是黃色.假如第3封是藍色，另幽逐^推理可導出矛盾:白色卡片沒人猜對.這說明

假設不正確，第3封內應是黃色.由此推出其它各封內的顏色.

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23-1

解：如果小立6個球全部投中，應該得6x5=30（分），實際上少了30-16=14（分），投中一個球得5分，投不進扣

2分，投不進f球就少5+2=7（分），所以一共沒投進14+7=2（個），投中了6-2=4（個）球.

24T、熙：中教是：三~1

25-1