黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析七數(shù)列的綜合考查

黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析07：數(shù)列的綜合考查

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，

等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函

數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索

性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查

函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。

近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面；（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差

數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、

方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長(zhǎng)率問題為主。試題的難度

有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何

的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。（文科考查以基礎(chǔ)為主，有可能是壓軸題）

一、知識(shí)整合

1.在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差

數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法

解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；

2.在解決綜合題和探索性問題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通

各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力.

3.培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、

方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法.

二、方法技巧

1.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：

⑴定義法：對(duì)于n22的任意自然數(shù)，驗(yàn)證為同一常數(shù)。

（2）通項(xiàng)公式法：

①若%=%+（n-1）d=6+（n-k）d,則｛《,｝為等差數(shù)列；

②若“口-a兇,則｛%｝為等比數(shù)列。

(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立.

2.在等差數(shù)列｛4｝中，有關(guān)5?的最值問題——常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：

a>0

(1)當(dāng)q>O,d〈O時(shí)，滿足4m八的項(xiàng)數(shù)m使得S,〃取最大值.

a<0s

(2)當(dāng)4<0*>0時(shí)-，滿足《m的項(xiàng)數(shù)m使得％取最小值。

1—0

在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用o

3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

三、注意事項(xiàng)

1.證明數(shù)列｛%｝是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明*M—%?或巴里>=巴」而得。

an

2.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使

運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。

、S］?0n=I

3.注息S〃與明之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=C八，an=a\+/(ak~akI)?

巴-，。。n>2e

4.數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，

離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路.

5.解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的

內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略.

四.典型考例

【問題1】等差、等比數(shù)列的項(xiàng)與和特征問題P49例13。Ps。例2P56例1P59T6.

［注1］文中所列例題如末給題目原文均為廣州市二輪復(fù)習(xí)資料上例題

例(四川卷)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和記為S.,q=1,4向=2S“+1(〃21)(I)求｛叫的通項(xiàng)公式；(II)

等差數(shù)列｛2｝的各項(xiàng)為正，其前〃項(xiàng)和為7；，且(=15,又％+配在+4嗎+打成等比數(shù)列，求北

本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。

解(I)由。,用=2S“+1可得a“=2S,i+l(〃22),兩式相減得=2。",川=3%(〃22)

又4=2S1+1=3/.a2=3a,故｛a,,｝是首項(xiàng)為1,公比為3得等比數(shù)列A=3"-1

（】1）設(shè)｛2｝的公比為d由1=15得，可得仿+3+&=15,可得仇=5

故可設(shè)仇=5—d,4=5+d又q=1,%=3,4=9

由題意可得(5-d+l)(5+d+9)=(5+3)2解得&=2,4=1。

〃v（〃一17I2

?.?等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)為正，.">（）；.d=2AT；,=3n+2x2=n+2n

1.設(shè)等差數(shù)列｛。”｝的首項(xiàng)s及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn.

（I）若。ii=O,5片98,求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

（11）若的》6,an>0,S“W77,求所有可能的數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

2.（上海卷）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意正整數(shù)n,an+Sn=4096。⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)

公式？⑵設(shè)數(shù)列（log?%｝的前n項(xiàng)和為卻對(duì)數(shù)列｛「｝，從第幾項(xiàng)起7；<-509?

.解(1)：an+Sn=4096,，ai+Si=4096,ai=2048.

-^-=1a=2048(

——-n

當(dāng)n，2時(shí),an=SnSn-i=(4096—an)(4096—atl-i)=a,,-!an

a

n-\22

J

(2)Vlog2an=log2[2048(—)'']=12—n,/.Tn=—(~n+23n).

22

由Tn<-509,解得n>"上巫?,而n是正整數(shù),于是,n246.

二從第46項(xiàng)起人〈一509.

2

3.（全國(guó)卷1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=3，前門項(xiàng)和為5“，且21°530—（21°+1電0+510=01（）

求｛an｝的通項(xiàng)；（H）求｛〃S“｝的前n項(xiàng)和T“。

解：(I)由21°530—(21°+1)520+5]。=0得ZRS?。一S?。)=S?。一S^),

10

即2(。21+。22+?,?+〃30)=Q|1+〃12+,?,+〃20，

10

可得2,qlQ(6tjj+a%+,,?+。20)=1+。12+???+。20，

因?yàn)橹?,所以2i°/°=l,解得4=g,因而=1,2,….

(II)因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)q=g、公比4=g的等比數(shù)列，故

2

12n

則數(shù)列｛幾5“｝的前n項(xiàng)和TH=(1+2H------1-H)—(―+-―^H------F亍7)，

T1、/12n-\n.

—=-(Zl1+2o+---+n)-(―+—+???+-------+——

2222232〃2,,+,

TIIII

前兩式相減，得—=—(1+2-1-----F〃)—(—I——d------1-------)H------

222222"2,,+,

l(i--L)

_〃(〃+1)22"上〃an_n(n+V)1n

=-------------------------\------1------r即T/〃=--------1--------!---------2.

4?12,,+|22"T2”

2

【問題2】等差、等比數(shù)列的判定問題.P53T7例P54T9

［例］P5419(上海卷)已知有窮數(shù)列｛%｝共有24項(xiàng)(整數(shù)攵22),顫力=；.設(shè)該數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”，

且?！?1=(。-1)S“+2(n=1,2,—,2k—1),其中常數(shù)a>l.

2

(1)求證：數(shù)列｛a“｝是等比數(shù)列；(2)若a=2由，數(shù)列｛2｝滿足勿=-logXQ［的???%)(〃=1，

n~~

2,—,2k),求數(shù)列｛勿｝的通項(xiàng)公式；

3333

+-求女的

(3)若(2)中的數(shù)列｛b?｝滿足不等式|伍一5I+也一5I+--+Ib2k_,

值.

⑴［證明］當(dāng)n=l時(shí),az=2a,則”=a；

%

2<n<2k—1時(shí),an+i=(a—1)Sn+2,an=(a—1)Sni+2,

an+1-an=(a-l)an,A-=a,.?.數(shù)列d｝是等比數(shù)列.

a?

n(n-l)/:(/:-1)

(2)解：由⑴得an=2a'i,???aia2...an=2〃a"2i+(x)=2〃a二=2「R,

1rn(n-l)^n-1.

bn=—［〃+———］=——-+l(n=l,2,-.,2k).

n2K-12K-1

313

(3)設(shè)bd—，解得M+一,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n<k時(shí),bn<-；

222

當(dāng)nzk+l時(shí)，bn>—.

2

33333

—

原式二(——4)+(——b2)+...+(——bk)+(bk+1—)+...+(b2k——)

22222

二(bk+i+…+bzk)—(bi+...+bk)

,（女+2%—1火工（0+女—1）女,2

z----------------+&]-[---------------+k]=——

2k—12k-l2k-1

氏2LL

當(dāng)------44,得k2-8k+4<o,4-2J3<k<4+2J3，又k>2,

2k

...當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí)，原不等式成立.

4.［例］,己知數(shù)列｛%｝中，S“是其前〃項(xiàng)和，并且5向=44+2(〃=1,2產(chǎn)-),q=1,(1)設(shè)數(shù)列

勿=j一2%(〃=1,2,……)，求證：數(shù)列物,｝是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列c?=箓,(〃=1,2,……),求證:

數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列｛樂｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和。

分析：由于｛"｝和｛c“｝中的項(xiàng)都和｛a“｝中的項(xiàng)有關(guān)，白“｝中又有5“+1=42“+2,可由S.+2-S,用作切入點(diǎn)探

索解題的途徑.

［注2］本題立意與2007年高考題文科20題結(jié)構(gòu)相似.

解：⑴由S.+i=4a“+2,Sn+2=4an+1+2,兩式相減,得Sn+2-Sn+1=4(an+1-a?),即a2=4a向-4a“.(根據(jù)

b”的構(gòu)造，如何把該式表示成與b”的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)

a”+2-2a“+|=2(a,+「2a“)，又b“=a,"2a“，所以b#2"①

已知52=43］+2,aj=1,aj+a9=4ax+2,解得a-=5,bj=a2-2aj=3②

由①和②得，數(shù)列｛b〃｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，故b〃二3?21.

⑵因?yàn)镹).所以Xi-cn=舞喙=至、法=占

乙乙乙乙乙

又C］=?=；,故數(shù)列｛cj是首項(xiàng)為T，公差是7的等差數(shù)列，

31

Cn=4n'4'

(3)因?yàn)椋?￡,又％所以￡=與-(，an=(3n-l)

當(dāng)n》2時(shí)，S“=4a._]+2=2"T(3n-4)+2；當(dāng)n=l時(shí)，S?=a產(chǎn)!.也適合上式.

綜上可知，所求的求和公式為S“=2"T(3n-4)+2.

說明：1.本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前〃項(xiàng)

和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件S“+1=4%+2得出遞推公式。

2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程

中適時(shí)應(yīng)用.

[問題3]函數(shù)與數(shù)列的綜合題P51例3

數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集，且是自變量從小到大變化時(shí)函數(shù)值的序列。注意深刻理

解函數(shù)性質(zhì)對(duì)數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點(diǎn).

P51例3(2006湖北卷)已知二次函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(x)=6%-2,數(shù)

歹的前n項(xiàng)和為S“，點(diǎn)(〃,S“)(〃1N*)均在函數(shù))，=/(x)的圖像上。(I)、求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

式；(II)、設(shè)b“=」一，Tn是數(shù)列也」的前n項(xiàng)和，求使得Tn<二對(duì)所有nIN都成立的最小正整

4%20

數(shù)m；

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問

題的能力和推理能力。

解：(I)設(shè)這二次函數(shù)/仞=以2+隊(duì)。力0%則f'(x)=2ax+b,由于f'(x)=6x—2,得

a=3,b=~2,所以f(x)=3x2~2x.

又因?yàn)辄c(diǎn)(〃,S〃)5eN*)均在函數(shù)y=/(x)的圖像上，所以=3n2-2n.

==2

當(dāng)n22時(shí)\8nSn—Sn-i(3n—2n)—^3(n—1)~—2(〃-1)]=6n—5.

2

當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=3xl—2=6x1—5,所以，an=6n—5(〃wN*)

33111

(H)由(I)得知a=-----------(：----------.=.......―),

(6〃—5)[6(〃-1)一5126〃-56n+1

故Tn=^2〃=—(1-----)+(---------)+???+(---------------------)=一(1----------).

￡'277136〃-56〃+1」26/?+1

I|7771777

因此，要使一（1------9<—1〃eN*）成立的m,必須且僅須滿足上即m》10,所以

26〃+120220

滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

5.設(shè)力定義篇（X）=力""（x）］,a.=|，其中nGN*.

1+xfn（0）+2

（1）求數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式；⑵若乙〃=%+2g+3%+…+2〃的〃，，

2-112

解(1)/,(0)=2,/的(0)=力""(0)]=7T7^，

Z+，41+J〃(⑺

---------1

/?+1(0)-11+/?(0)1-/?(0)1/?(0)-11

..Q]=------------------=------------=----------=—--------=—a

A+1(0)+224+2/?(0)2/“(0)+22"

i+/,.(o)

.?.%±L=—J_,.?.數(shù)列｛%｝上首項(xiàng)為工，公比為―工的等比數(shù)列，an=-(--)

a?24242

H

(2)72〃=%+20+3〃3---b2/?d!2n,

一勺2"=(-g)Q|+(-；)2a2+(-g)3a3+???+(-^)2na2n,

兩式相減得：-TII=4——?—L

2214+nx42'口加一啖）

2

6.（湖北卷）設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，點(diǎn)（〃,S“）5eN*）均在函數(shù)y=3x—2的圖像匕

3/n

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（H）設(shè)￡=^—,7；是數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和，求使得7；<△對(duì)所

%—2°

有“eN*都成立的最小正整數(shù)m。

本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和

推理能力。

解(I)依題意得，顯=3〃一2,即S“=3〃2-2〃。

=

當(dāng)n22時(shí)、a以“=S,^Sn-IC-2n)-|^3(n-l)^-2(n-l)=6n-5;

2

當(dāng)n=l時(shí)，=Si-3Xl-2Xl-l-6Xl-5

所以““=6“—5(〃eN)。

3一11______Q

(II)由(I)得“

anaH+](6〃-5H62(6〃-56/1+1J

故二g(1-]

6M+1

因此，使得‘卜-一二］＜二（〃eN）成立的m必須滿足即m210,故滿足要求的最小整數(shù)m

2（6n+lJ20v）220

為10?

（問題4］數(shù)列與解析幾何

數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，求解時(shí)要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、

性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解.

例3.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列6（再,％）,鳥（尤2，％）…，巴（居,％）…，對(duì)一切正整數(shù)”,點(diǎn)3位于函

1Q5

數(shù)y=3x+?的圖象上，且鳥的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-2為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列｛x,J.

⑴求點(diǎn)心的坐標(biāo);子⑵設(shè)拋物線列C”C2，C3,…,c“，…中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于x軸第〃條拋物線%

的頂點(diǎn)為月，且過點(diǎn)。,（0,〃2+1）,記與拋物線％相切于的直線的斜率為匕，，求：

53

解：(1)xn=-—+(n-1)x(-1)=-/：-—

o1325D/3公5、

%=3.+丁=-3n巴(f--,-3n--)

(2)「c”的對(duì)稱軸垂直于X軸，且頂點(diǎn)為P...?.設(shè)c“的方程為：y=a(x+2空)2-2詈,

把。,,(0,〃2+1)代入上式，得”=1,的方程為：y=》2+(2〃+3)x+〃2+1。

,.1_1JI1、

kH_}kn(2n+1)(2〃+3)22n+12〃+3

11rzl1、/1、-1、]

kxk2k2k3攵化In257792〃+12〃+3

111_JI

25_2n+3-10-4n+6

點(diǎn)評(píng)：本例為數(shù)列V解析幾何的綜合題，難度較大。（1）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識(shí)算出幻

7.已知拋物線/=4y,過原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)又過點(diǎn)6作斜率為;的

直線交拋物線于點(diǎn)鳥，再過鳥作斜率為;的直線交拋物線于點(diǎn)A，…，如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn)月，作

斜率為X的直線交拋物線于點(diǎn)Pn+],設(shè)點(diǎn)Pn（X?,yn）.

（I）令勿=x2?+1-x2n_,,求證：數(shù)列｛包｝是等比數(shù)列.并求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S?

解：⑴瞅《區(qū)，先）、向）在拋物線上，故X,：=4%，①％2=4加②，又因?yàn)橹本€PnPn+l

的斜率為-L,即）'向一）'"=，,①②代入可得

2Xn+\~Xn2

1X?+1—Xn11.

IX-----=/=茗用+Z=/.二品=—九2i

4%+1一七22

=」T-」T=-工，故%=,n｛"｝是以！

22,1-22加一③22n~2b44

4131

為公比的等比數(shù)列；S,,=--（1-—）^-S?+l=—,

【問題5】數(shù)列與算法

8.數(shù)列｛q,｝的前n項(xiàng)和為S?=n2+2n-l,試用程序框圖

表示數(shù)列通項(xiàng)an的過程,并寫出數(shù)列的前5項(xiàng)和通項(xiàng)公式％.

9.根據(jù)流程圖，⑴求生；（2）若=而；$‘求n,

【問題6】數(shù)列創(chuàng)新題

10.（安徽卷）數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知q=g,S“="24-〃（〃-1）,〃=1,2,鬃

（I）寫出S“與S,一的遞推關(guān)系式（〃32）,并求S“關(guān)于”的表達(dá)式;

q

l

(H)設(shè)力(x)=x"+,bH=(p)(pR),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；0

n

2

解：由S“=〃2/_〃(〃-1)。32)得：sn=n(Sn-S,,.,)-n(n-1),即

M1W

22

(n-1)5?-M5?.1=?(?-0'所以——S“------Sn.,=1,對(duì)〃32成立。

nn-1

由巴七廠一^“—=1,號(hào)ys_=i,…，|s2-[=1相加得:

nn-1n-1n-221

n+I1n~

——SII-25.1=n-1J,又15c=%=—,ri所以S“-?=——，當(dāng)〃=1時(shí)，也成立。

n2n+1

q,7

(II)由力(x)=Zx"+i=-J-Z+l,得b.=f：(p)=np"。

nn+1

而雹=p+2p2+3p3+---+(n-

34+

pTn=p'+2/?+3p+???+(/J-l)p"+np"',

2｝1+n+｛

(1-P)Tn=p+p+p+---+p-'+p"-np"'=〃(>')-np

1-P

11.(福建卷)已知數(shù)列｛為｝滿足田=a,。田=1+］我們知道當(dāng)。取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)。=1

時(shí)，得到無窮數(shù)列：1,2,3』”..;當(dāng)〃=-1吐得到有窮數(shù)列：-1,-1,0.

2322

(I)求當(dāng)a為何值時(shí)。4=0；(II)設(shè)數(shù)列｛bj滿足也=-1,3+產(chǎn)」_(〃eN)，求證a取數(shù)列｛bj中

\-1+

的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列｛〃｝；

(I)解法—1：=。］=a,a〃+］=1H---,

an

,1111。+1112a+1113a+2,,,2_

\。,=1+—=14=----0=1+=------%=1+—=-----.故當(dāng)時(shí)n="-=0.

%aaa2a+I%2〃+13

故a取數(shù)列｛6｝中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列｛冊(cè)｝

12.（全國(guó)卷刖）在等差數(shù)列｛%｝中,公差d工0,。2是4與〃4的等比中項(xiàng).

已知數(shù)列。I,%,氣，氣，…,如“，…成等比數(shù)列，求數(shù)列化J的通項(xiàng)kn.

解：由題意得：..........1分

即（4+d）2=%（為+3d）........3分

又dW0,.二a1=d4分

又%,%，。八，???，如“，…成等比數(shù)列，

.?.該數(shù)列的公比為4=幺=%=3,.....6分

axd

所以《=4/3的.....8分

又做，=.|+（k"-\）d=knax.............................10分

n+,n+,

kn=3所以數(shù)列伏，,｝的通項(xiàng)為kn=3......................12分

課后訓(xùn)練：

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如果T,a,6,c,-9成等比數(shù)列，那么

A.爐3,0<?=9B.ZF-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=~3,ac=-9

2.在等差數(shù)列｛a?｝中，已知。|=2,。2+。3=13,則。4+。5+。6等于

A.40B.42C.43D.45

3.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為

A.5B.4C.3D.2

4.若互不相等的實(shí)數(shù)a,。,c成等差數(shù)列，c,a/成等比數(shù)列，且a+3〃+c=10,則。=

A.4B.2C.-2D.-4

5.已知等差數(shù)列｛6,｝的前n項(xiàng)和為S"，若麗=a】OA+azoo反，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原

點(diǎn)0）,貝|JS200=（）

A.100B.101C.200D.201

6.（文科做）在等比數(shù)列｛a“｝中=2,前〃項(xiàng)和為S“,若數(shù)列包+1｝也是等比數(shù)列，則5“等于

A.2,,+I-2B.3〃C.2nD.3n-1

7.已知數(shù)列｛%｝滿足q=0,%討=隼二^（〃EN*）,則。2007=（）

J3%4-1

A.0B.一^3C.y/3D.---

2

8.設(shè)S”是等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前"項(xiàng)和，若會(huì)三，則差=

>6O>1,2

9.已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝中,時(shí)。8=8,則該數(shù)列前9項(xiàng)和S9等于（）

A.18B.27C.36D.45

10.已知數(shù)列｛%｝、也,｝都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為4、”,且q+仇=5,卬也eN*.設(shè)

g=%（〃eN*）,則數(shù)列｛c“｝的前10項(xiàng)和等于（）

A.55B.70C.85D.100

二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）

11.設(shè)S,為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，54=14,S10-57=30,則S9=.

12.在數(shù)列｛d｝中，若。1=1,?！?1=2冊(cè)+3m21）,則該數(shù)列的通項(xiàng)為=.

13.已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0<10gm（必）<1,則m的取值范圍是

14.等差數(shù)列｛斯｝共有2〃+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319,偶數(shù)項(xiàng)之和為290,則其中間項(xiàng)為

15.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn，若Sm,Sn，S“2成等差數(shù)列，則q的值為.

三、解答題（共4小題，每小題4分，共24分）

16已知正項(xiàng)數(shù)列｛為｝,其前〃項(xiàng)和S“滿足10S“=。“2+5⑸+6,且%,出,為5成等比數(shù)列，求數(shù)列｛6｝的

通項(xiàng)％.

17.（文科做）（06福建）已知數(shù)列｛4｝滿足q=l,a2=3,a“+2=3a“M—2a“（〃eN*）.

（I）證明：數(shù)列｛氏+1-?！埃堑缺葦?shù)列；（II）求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

626

（II）若數(shù)列｛￡｝滿足4T...4'=（??+1）"（neN*）,證明｛hn｝是等差數(shù)

18.已知數(shù)列｛｝中，q=L、點(diǎn)（R2b一在直線y=x上，其中n=l,2,3….

2

（I）令b?=a,--%-3,求證數(shù)列也,｝是等比數(shù)列；（H）求數(shù)列｛an的通項(xiàng)；

（ni）設(shè)S”、分別為數(shù)列｛%｝、物,｝的前“項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)；I,使得數(shù)列［2上包L］為等差數(shù)列？若

n

存在，試求出X.若不存在,則說明理由。

答案與點(diǎn)撥:

1B解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac=(—1)X(—9)=9,bXb=9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，故b=一

3,選B

2B解：在等差數(shù)列｛〃“｝中，已知q=2,%，d=3,a5=14,a4+a5+a6=3a5=42,選B.

5a｝+20d=15

3D解:1nd=3故選c.

5〃1+25d=30

4D解：由互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)@=1)-d,c=b+d,由。+3b+c=10可得b=2,所以

a=2—d,c=2+d,又成等比數(shù)列可得d=6,所以a=-4,選D

=

5A解：依題意，ai+a2ool?故選A

6(文)C解：因數(shù)列｛?！埃秊榈缺龋瑒t氏=2q"T,因數(shù)列｛%+1卜也是等比數(shù)列，

則(%+1+1)2=+1)&+2+1)n怎/+2an+l=anan+2+an+an+2=>an+an+2=2an+i

2

=>an(\+q-2q)=0=i>q=\

即=2,所以S“=2〃，故選擇答案C。

7.A提示：由21=0,。0+|=學(xué)~eN').得a2=-6,%=6,%=°，..

J34+1

由此可知：數(shù)列｛a。｝是周期變化的，且三個(gè)一循環(huán)，所以可得:a2°=a2=-Ji故選A

8A解油等差數(shù)列的求和公式可得區(qū)=%±%=L可得q=2d且d*0

1

S66q+l5d3

所以M器緇嘲卡故選人

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等比數(shù)列的求和公式，難度?般

9c解：在等差數(shù)列｛4｝中，吁。8=8,...4+旬=8,則該數(shù)列前9項(xiàng)和59=%詈=36,選C

10C解：數(shù)列｛%｝、｛〃,｝都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為《、仇，且%+仇=5,%,awN*.設(shè)

c-a則數(shù)列｛c.｝的前10項(xiàng)和等于即+即+…+即=a.+a.+---+a,

nfihiH*f72P|（）t/|0K十Itzb|-+T97

4,=4+（4—1）=4，4+%+i+…+稀9

=4+5+6H------1-13=85,選C.

r、4(4-1)

11.(文)解：設(shè)等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為a1，公差為d,由題意得4%=

10(11)

[10?,+°-J]-[7al+^—^J]=30,聯(lián)立解得ai=2,d=l,所以Sg=9x2+%二"1=54

222

12.2,,+|-3解：在數(shù)列｛%｝由若q=1，4用=2?！?3(〃21),...“用+3=2(4+3)(”21),即｛4+3｝

是以%+3=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，a,+3=4-2"T=2向，所以該數(shù)列的通項(xiàng)%=2日一3.

13(—8,8)提示：解出。、"解對(duì)數(shù)不等式即可

答案(一8》)

14all=29提示利用S翁/S他=巴取■得解答案第11項(xiàng)“11=29

n

15.-2提示：由題意可知qWl,???可得2(1-qn)=(l?qm)+(l?qn+2),即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合題意，

舍去),.'.q=—2.

2

16解:13IWV10Sn=an+5an+6,①?,-10ai=aJ+5ai+6,解之得a1=2或a1=3.

2

又10Sni=an-i+5ani+6(n^2),(2)

由①一②得10an=(a，-/)+6(an—a『i),即(an+an-i)(an—a—1—5)=0

,an+an-i＞。/??3n-an-i=5(n^2).

當(dāng)ai=3^33=13,315=73.ana3,a15不成等比數(shù)列，aiW3;

2

ai=233=12,315=72,有a3=aiai5,.*.ai=2,/.an=5n—3.

Z7—Z7

17.(I)證明：va?+2=3?,t+1-2an,：.an+2-an+l=2(a,t+l-a?),v=l,a,=3,；.^^^=2(〃eN')

%一%

+「端是以%—G=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

(II)解：由⑴得凡+1-?！?2'(〃eN*),，=(a,-4“_])+(%-4_2)+…+(。2一”1)+6

=2"-'+2"-2+...+2+1=2"-1(〃eN*).

nb

(Ill)證明：4、T4HLi=(牝+1盧，...4-?+&”)=2",

2[(4+4+...+2)-〃]=*,①

2[d+b2+...+bn+b?+1)-(n+1)]=(?+1)%.②

②一①，得2(&?+1-1)=(?+1加式一也,即(I)%—叫+2=0.③

"a+2_（〃+1）白川+2=0?④

④一③，得血+2-2,也+盧叫=0,即*2—2。向+2=0,

??也+2—