構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的巧妙應(yīng)用

構(gòu)造函數(shù)法在抽象不等式中的巧妙應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)是解決抽象不等式的根本方法，根據(jù)題設(shè)的條件，并借助初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的根本運(yùn)算法那么，相應(yīng)地構(gòu)造出輔助函數(shù).通過進(jìn)一步研究輔助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，給予巧妙的解答.本文從一到高考試題出發(fā)，追根溯源，研究并揭示高考試題的本質(zhì).1小荷才露尖尖角真題設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，那么使得成立的取值范圍〔〕.A.B.C.D.解析：設(shè)，那么.因?yàn)闀r(shí)，，所以,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，所以為偶函數(shù)，且,那么當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.所以成立的取值范圍，即答案為A..上述題為2015年課標(biāo)全國Ⅱ選擇題第12題，創(chuàng)新有難度，豐富有內(nèi)涵.此其題外表看上，不知道如何入手，解決問題.因?yàn)檫@是一道沒有具體函數(shù)表達(dá)式的不等式試題，且不等式中含有和，更是難上加難.從試題的解析可以看出，巧妙地構(gòu)造出了函數(shù)，通過分析的單調(diào)性和奇偶性，解答問題.解題突破口不易尋找，給人一種“舊時(shí)茅店社林邊,路轉(zhuǎn)溪橋忽見”的感覺.對題的解析過程進(jìn)行回憶，此題是如何構(gòu)造出，從而給出極其巧妙的解答.為了尋求問題的本質(zhì)，這里對以下例題進(jìn)行分析.2千樹萬樹梨花開例1函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)，，，那么的大小關(guān)系〔〕A.B.C.D.解析：設(shè)，那么.因?yàn)闀r(shí)，，所以,那么當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.又因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對稱，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.又因?yàn)椋?，，那么，即答案為A.例2函數(shù)滿足：，那么系列不等式成立的是〔〕A.B.C.D.解析：設(shè)，那么.因?yàn)?，所?那么在定義域上單調(diào)遞增，所以,那么，即答案為A.例3為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對于恒成立且為自然對數(shù)的底，那么〔〕A.B.C.D.解析：設(shè)，那么.由，得，那么,在定義域上單調(diào)遞減，所以,即答案為A.例4定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，那么〔〕A.B.C.D.解析：因?yàn)?，所以?由，得設(shè)，那么，可得,那么在定義域上單調(diào)遞減，所以,那么，即答案為A.評注：愛因斯坦贊嘆：“數(shù)學(xué)美，本質(zhì)上終究是簡單性”.那又如何構(gòu)造出函數(shù)，將問題簡單化，這在數(shù)學(xué)上是一個(gè)值得深究的問題.仔細(xì)的觀察和思考例1和例2的解法，它們有一個(gè)共同點(diǎn)：采用導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算法那么，即.例3和例4的解法，它們也有一個(gè)共同點(diǎn)：采用導(dǎo)數(shù)的商運(yùn)算法那么，即.由此可見，對于含有和的不等式，將不等式的右邊化0，假設(shè)左邊是和相加得形式，其中和常見的變量或常量.此時(shí)用導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算法那么；假設(shè)左邊是和相減得形式，此時(shí)用導(dǎo)數(shù)的商運(yùn)算法那么.當(dāng)然，這只是做題的起初思想，但是要做出試題，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行，而問題的關(guān)鍵在構(gòu)造函數(shù).波利亞：“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察將揭示某種規(guī)那么、模式或定律.”根據(jù)我們所學(xué)習(xí)的知識，通過觀察，認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)，靈活的運(yùn)用所學(xué)知識和技巧進(jìn)行求解，從而將抽象復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為具體簡單的問題，使解法順利的完成。以下給出例1至例4的方法技巧例1中，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算法那么得(箭頭指向方向?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，后面不做說明)+<0可以看出的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為1，從而構(gòu)造出函數(shù).例2中，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算法那么得+<0可以看出的導(dǎo)數(shù)為，2的導(dǎo)數(shù)為1，顯然不成立.那么不等式兩邊定約去了一個(gè)不為0的變量.函數(shù)和本身的導(dǎo)函數(shù)有相同的變量，那么猜測到函數(shù).但這里還要考慮系數(shù)1和2，進(jìn)一步猜測到復(fù)合函數(shù).給上述不等式兩邊同乘以，那么+<0從而構(gòu)造出函數(shù).例3中，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的商運(yùn)算法那么得可以看出的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，且分母為，從而構(gòu)造出函數(shù).例4中，可得且，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的商運(yùn)算法那么得可以看出的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，且分母為，從而構(gòu)造出.對于以上4個(gè)例題的不等式可以總結(jié)為和.這里有所疑問，當(dāng)不等式的右邊不是0時(shí)，那上述的構(gòu)造函數(shù)方法顯然不適用.下面給出一道試題進(jìn)行研究.3青山座座皆巍峨例6是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.假設(shè)，，那么不等式的解集.分析：數(shù)學(xué)變式題的給出，都離開最初的原題.借助例1至例6構(gòu)造函數(shù)的方法，找出函數(shù)與本身導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系.并根據(jù)，從而可以解答試題.因?yàn)?，所?這里把看做一個(gè)整體，再由例4知，設(shè)，那么，得，那么在上為單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以的解?實(shí)踐說明，對于含有和抽象函數(shù)的不等式，問題的本質(zhì)在于巧妙地構(gòu)造出原函數(shù)，這是解決問題的最有力的武器.在