球的切接問(wèn)題-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)攻略含答案

球的切接問(wèn)題--2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)攻略考點(diǎn)一：空間幾何體的外接球(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元2√13,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A.100πB.75πC.80πA點(diǎn)為球心，2為半徑的球面的交線的周長(zhǎng)為()阿頂.如圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類(lèi)似.已知底面ABCD為矩形，AB=4,AD=EF=2,EF/|底面ABCD,且EA=ED=FB=FC=BC,則幾何體ABCDEF外接球的表面積為A.22πB.28πC.32π⊥平面ABC,則SA=考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球?yàn)镺,半徑為ri,圓臺(tái)的上底面圓心為O?,半徑為r?(r?>r?),球的球心為O,半徑為R,記圓臺(tái)的表面積為S?,球的表面積為S?,則的可能的取值為()BA.2+2√6B.2+4√6C..4+2√6D.4+題目4)(2024四川宜賓·二模)所有棱長(zhǎng)均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,則線段MN長(zhǎng)度的最大值為強(qiáng)化訓(xùn)練題目1(2023-浙江紹興·模擬預(yù)測(cè))已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為A.6πB.8πC.16π22AA有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m,則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為()A.πm2B.2πm2C.題目4(2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))將邊長(zhǎng)為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球此立體圖形體積最大時(shí)，其外接球表面積為()B口角形且垂直于底面ABCD,M為四棱錐P-ABCD內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線CD距離的最小值為A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27AB=AC,AB⊥AC,AD⊥BC,若四面體ABCD的體積的最大值為,則球O的表面積為()A.2πB.3π33A.DC?⊥平面BDCB.A?E//平面BDCC.點(diǎn)C到平面BDC?的距離為D.三棱錐C?-BDC外接球的半徑為A.異面直線AE與BF所成的角為60°C.此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為D.直線AE與平面BDE所成的角為60°下面結(jié)論正確的是() ;三棱錐P-ABC動(dòng)點(diǎn)P在△ACD?內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線BP與平面ACD?所成角的正弦值的最大值為題目14)(23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí))如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為√3,則該三棱錐外接球表面積的最小值為正視圖俯視圖側(cè)視圖題目15」(2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))將3個(gè)半徑為1的球和1個(gè)半徑為√2-1的球疊為兩層放在桌面上，上層只放1個(gè)較小的球，4個(gè)球兩兩相切，求上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離.題目16」(2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))如圖：長(zhǎng)為3的線段PQ與邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD垂直相交于其中心(1)若二面角P-AB-Q的正切值為-3,試確定O在線段PQ的位置；(2)在(1)的前提下，以P,A,B,C,D,Q為頂點(diǎn)的幾何體PABCDQ是否存在內(nèi)切球?若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)求異面直線AD與BC所成角的余弦值；(2)求能放置在該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積.(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系),達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的.題目1(2024-遼寧撫順·一模)在三棱錐P-ABC中，A2√13,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A.100πB.75πC.80π即BC=4√3,又PB=PC=2√13,因?yàn)镻A2+AC2=PC2,所以PA⊥AC,同理PA⊥AB,又由AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,PA⊥平面ABC.,,11A點(diǎn)為球心，2為半徑的球面的交線的周長(zhǎng)為()再再利用三角函數(shù)定義和圓周長(zhǎng)公式即可得到答案.阿頂.如圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形狀與AD=EF=2,EF/|底面ABCD,且EA=ED=FB=FC=BC,則幾何體ABCDEF外接球的表面積為A.22πB.28π【解析】連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=M,取EF的中點(diǎn)N,連接MN,連接MG,過(guò)點(diǎn)F作FP⊥MG于點(diǎn)P,則四邊形MPFN是矩形，MN=FP,22,,因?yàn)椤鰽MO和△ONE均為直角三角形，設(shè)外接球半徑為R,OM=x,當(dāng)球心O在線段MN上時(shí)，則R2=x2+(√5)2,R2=(√2-當(dāng)球心O在線段MN外時(shí)，,所以外接球的表面積S=4πR2=22π.題目4(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC,則SA=【解析】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)設(shè)△ABC的外接圓圓心為O,半徑為r,考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.O為內(nèi)切球的球心，PH是棱錐的高，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，連接PF,G是球與側(cè)面PCD的切點(diǎn)，可知G在PF上，OG⊥PF,設(shè)內(nèi)切球半徑為r,AA則OH=OG=r,HF=1,PH=√3,PF=2, 題目2](2023-沈陽(yáng)模擬)如圖，圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓臺(tái)的側(cè)面和底面均相切.已知圓臺(tái)的下底面圓心為O,半徑為r,圓臺(tái)的上底面圓心為O?,半徑為r?(r?>r?),球的球心為O,半徑為R,記圓臺(tái)的表面積為S?,球的表面積為S?,則的可能的取值為()B垂足為F,垂足為F,由題意知圓O與梯形ABCD相切，則DC=DE+CE=O?D+O?C=r?又DC=√DF2+FC2=√4R2+(r-r?)2,化簡(jiǎn)可得R2=rjr?;題目3))(2024-河北滄州·模擬預(yù)測(cè))某包裝設(shè)計(jì)部門(mén)為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包裝盒(盒子厚度忽略不計(jì)),已知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱長(zhǎng)的最小值A(chǔ).2+2√6B.2+4V?C..4+2√GD.4+【分析】先確定正四面體的棱長(zhǎng)與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)a取得最小值時(shí)，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的面都相切，從而計(jì)算出棱長(zhǎng)的最小值.,的小球個(gè)數(shù)依次為1,3,6.體EFGH,底面BCD的中心為O,AO與面FGH的交點(diǎn)為P,則該正四面體EFGH的棱長(zhǎng)為1+2+1=4,進(jìn)而可求得其棱長(zhǎng)a的最小值為即正四面體的高等于其棱長(zhǎng)的正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長(zhǎng)的這樣解題的時(shí)候我們可以利用這個(gè)關(guān)系快速得到我們要的量.線段MN長(zhǎng)度的最大值為55半徑r,線段MN長(zhǎng)度的最大值為R+r得解.設(shè)外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r,則R2=BH2+OH2=12+(2v6-R),強(qiáng)化訓(xùn)練A.6πB.8π所以AO=√AO2+OO2=√22+12=√5,題目2(2024·廣東梅州·一模)某圓錐的底面直徑和高均是2,則其內(nèi)切球(與圓錐的底面和側(cè)面均相切)的半徑為()66即內(nèi)切球的半徑為體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為()A.πm2B.2πm2C.取BC的中點(diǎn)E,連接OE,PE,由BE=CE,可得BC⊥OE,BC⊥PE,OE,PEC且OE∩PE=E,所以BC⊥平面POE,因?yàn)锽C⊥平面POE,OHC平面POE,所以BC⊥OH,且BC∩PE=E,BC,PEC平面PBC,所以O(shè)H⊥平面PBC,77的距離h?,結(jié)合OA=OB=R可得R2=r2+h{=(d?-h?)2+dj,由此可得外接球半徑R,進(jìn)而即可求解.由題意A(-1,0),B(1,0),C(0,√③),,此時(shí)上述情況中的點(diǎn)D于原點(diǎn)O重合，此時(shí)三棱錐A-BCD體積的最大值為88(此時(shí)面ACO⊥面BCO),,與三角形BEF垂直),與三角形BEF垂直),,此時(shí)我們首先來(lái)求四邊形AEFC外接圓圓心O,所以AB的垂直平分線方程99而AE中垂直線方程從而解得O所以四邊形AEFC外接圓半徑的距離為又滿足題意的四棱錐B-AEFC設(shè)滿足題意的四棱錐B-AEFC的外接球球心為O,設(shè)球心到平面AEFC的距離為h?,,且此時(shí)d?=|,且此時(shí)d?=|BG|=由此即可順利得解.B口【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在△ACN所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)O,M的位置和坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意知△ABD與△BCD均為等邊三角形，連接AN,CN,則AN⊥BD,CN⊥BD,∠ANC又易知AN=CN,所以△ACN是等邊三角形.坐標(biāo)系如圖.則,,設(shè)則,,,,,,題目6(2024-湖北·模擬預(yù)測(cè))已知四棱錐P-ABCD角形且垂直于底面ABCD,M為四棱錐P-ABCD則平面PHN截四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，平面PAB⊥平面ABCD,交線為AB,PHC平面PAB,HNC平面ABCD,∴PH⊥HN,AB=2√3,BC=4,則有PH=3,HN=4,PN=5,∵PH⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,∴CD⊥PH,的中點(diǎn)為N,連接PH,PN,HN,∴CD⊥平面PHN,∵ONC平面PHN,A.1:8B.1:9AB=AC,AB⊥AC,AD⊥BC,若四面體ABCD的體積的最大值為,則球O的表A.2π),其中R為球體半徑，結(jié)合均值不等式可),其中R為球體半徑，結(jié)合均值不等式可得R,即可得答案.【詳解】因AB=AC,AB⊥AC,取BC中點(diǎn)為N,則AN⊥BAD=A,則BC⊥平面AND,BCC面ABC,則平面ABC⊥平面AND,要使四面體ABCD的體積最大，則有DN上平面ABC,且球心O在DN上.設(shè)球體半徑為R,則OA=OD=R,則又注意到BC=2AN,AN2=OA2-ON2=R2-ON2,則當(dāng)且僅當(dāng)2R-2ON=R+ON,即R=3ON時(shí)取等號(hào).又四面體ABCD的體積的最大值為,則條件得到等量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.題目9(23-24高三下·重慶.階段練習(xí))如圖，在直三棱柱ABC-A?B?CA.DC?⊥平面BDCB.A?E//平面BDG?C.點(diǎn)C到平面BDC?的距離為D.三棱錐C?-BDC外接球的半徑為則DC?⊥DC.又BCC平面BDC,DCC平面BDC,BC∩DC=C,所以DC?⊥平面BDC,故A正確.對(duì)B,取O為BC的中點(diǎn)，連接OE,OD.易知OE//A?D,OE=A?D則A?E//DO.又A?E4平面BDC,DOC平面BDC?,所以A?E//平面BDC,故B正確.對(duì)C,設(shè)點(diǎn)C到平面BDC?的距離為x,則x是以C為頂點(diǎn)，△BDC?為底面的三棱錐的高.因?yàn)锽C⊥平面AA?C?C,所以BC是三棱錐B-CDC?所以,所以,即點(diǎn)C到平面BDC?的距離為故C錯(cuò)誤.,D正確.A.異面直線AE與BF所成的角為60°C.此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為D.直線AE與平面BDE所成的角為60°【分析】根據(jù)異面直線的夾角、線面垂直的判定、外接和內(nèi)切球，線面角等知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】將正八面體E-ABCD-F置于一個(gè)正方體中，該正八面體的頂點(diǎn)為正方體六個(gè)面的中心，如圖所設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,易知O為正方體的中心，同理PQ//CF,又PQ//MN,則AE//CF,則直線AE與BF所成角即CF與BF所成角，因?yàn)椤鰾CF為正三角形，所以∠CFB=60°由正方體性質(zhì)易知BD⊥平面AFCE,CEC平面AFCE,故BD⊥CE,B正確；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,所以O(shè)為此八面體外接球的球心，即此八面體一定存在外接球，且外接球半徑為R=1,設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,又八面體的表面積為所以所以,此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為故C項(xiàng)正確.由正方體性質(zhì)易知AC⊥平面BDE,故∠AEO為直線AE與平面BDE所成的角，題目11(2024·江西上恍·一模)空間中存在四個(gè)球，它們半徑分別是2,2,4,4,每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切，下面結(jié)論正確的是()A.以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為B.以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為C.若另一小球與這四個(gè)球都外切，則該小球半徑D.若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，則該小球半徑【分析】設(shè)半徑為2的兩球球心為A,B;半徑為4的兩球球心為C,D,根據(jù)內(nèi)切關(guān)系可得三棱錐C-ABD的各棱長(zhǎng)，根據(jù)線線關(guān)系確定線面關(guān)系從而可求以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積及與這四個(gè)球都外切或內(nèi)切的球的半徑，逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)半徑為2的兩球球心為A,B;半徑為4的兩球球心為C,D,易知AB=4,CD=8,AC=AD=BC取AB中點(diǎn)E,連接CE,DE,因?yàn)锳C=BC=6,AD=BD=6,點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，故CE2+DE2=CD2,則CE⊥DE,因?yàn)锳B∩DE=E,AB,DEC平面ABD,所以CE⊥平面ABD,若另一小球與這四個(gè)球都外切，設(shè)小球中心為O,半徑為r,則點(diǎn)O在四面體ABCD內(nèi)，取AB中點(diǎn)E,CD中點(diǎn)F,連接EF,由PA⊥平面PBC,PB,PCC平面PBC,則PA⊥PB,PA⊥PC,【分析]先根據(jù)條件得到,進(jìn)而得到DD?=√2,利用線面垂直的性質(zhì)作出BE⊥面,所以,又OD?=OD=√2,所以因?yàn)镺O?⊥面ABCD,ACC面ABCD,所以O(shè)O?⊥AC,又AC⊥BD,BD∩OO=O,BD,OO?C面BDD?B,所以AC⊥面BDD?B,又BEC面BDD?B,所以BE⊥AC,又AC∩D?O=O,AC,D?OC面AC外接球表面積的最小值為正視圖俯視圖側(cè)視圖本不等式可求得Rin,代入球的表面積公式即可.設(shè)AC=a,SC