第五部分線性代數(shù)

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第五部分線性代數(shù)

-行列式

1行列式

（1）定義

（2）代數(shù)余子式A.=（-l），+；M..

（3）行列式的值D=+ai2Ai2+…+ainAjn或。=aXjAXj+a2jA2j+--+anJAnj

（4）+ai2Aj2H—+ainAjn=0（iHJ）

或%++…+anjAnk=0-j）

2性質(zhì)

（1）行列互換，行列式值不變

（2）某行（列）公因式可提到行列式之外

（3）互換兩行（列）改變符號(hào)

（4）某行（列）乘2倍加到另一行（列）上，行列式值不變

（5）某行（列）所有元素均為兩項(xiàng)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式之和

3計(jì)算

(1)D=即4]+《242+??+%,4或。+"+anj

(2)利用性質(zhì),三角形化

(3)拆項(xiàng)（4）歸納法

Q+xaaaX-x00

aa+xaa—G+4aa+xaa

5.1.1計(jì)算。=

aaa+xaaaa+xa

aaaa+xaaaa+x

X000

2a+xaa

h+12a2a+xaa

=X2a。+九a

a2aa+xCl

2aaa+x

Cl2aa〃+x

X-x0X00

L+/

1+32aa+xa2X2a3a+xa

2aaa+x2a3aa+x

3。+xa

=X2—x4+4〃/

3aQ+x

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a2+xa3+xa4+x

仇+xb+x%+xb+x

5.1.2f(x)24，生也,c”4是常數(shù),則多項(xiàng)式/(X)的

G+冗+xC3+Xc4+x

&+xd2+x13+xdA+x

次數(shù)是[(A)]

(A)0或1次(B)2次(C)3次(D)l至4次均可能

解：把第一行x(-l)分別加至其余各行

at+x%+X%4+x

bi-%b2-a283-。3

/(x)

c\~a\c2-a2Q—C4-a4

4-，d2一a24d4—a4

按第一行展開(kāi)，/(x)至多為x一次式

2-1X2x

11x-1

5.1.3(1)(03)行列式展開(kāi)式中的系數(shù)是［(A)］

0x20

X0-1一X

(A)2(B)-2(C)1(0-1

2-1x2x

x2x

1x-1

解在中按第?列展開(kāi)中含一的項(xiàng)只有一x1x-1

0x20

X20

X0-1-X

-1X2x

x2x

32

在1X-1中按第一列展開(kāi)中含無(wú)3項(xiàng)只有X-2X-x

x-1

X20

(2)(04)

a\\a\2a\3_2。][-2%2-2a

aaa=Mw0,則行列式—2%]-2。

設(shè)2\2223-2a3233=[(A)]

〃

。31。3233一2七］—2出2-2。23

(A)8M(B)2M(C)-2M(￡))一8M

aaaaa

-2%1-2。[2-2%彳\\\2\3w\2。13

=—8aaaaa

解—241_2a32-2。333\3233=82\22。23=8M

—2^22aaa

一2a21—2。232\22。23。3132。33

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abc

(3)(05)設(shè)a,b,c是方程/—2x+4=0的三個(gè)根，則行列式bca的值等于［(B)］

cab

(A)1(B)0(C)-1(￡>)-2

分析：本題是一道綜合題，主要考查行列式的性質(zhì)和二次代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系。

解法1：由，。是方程/-2x+4=0的三個(gè)根，有

x3-2x+4=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(be+ac+ab)x-abc=0

從而a+b+c=0,于是

abcQ+/7+CQ+/?+Ca+h+c111

bca=hca=(a+Z?+c)bca=0

cabcabcab

解法2：方程為x3-2x+4=(尤+2)(/-2x+2)=0,因是方程/一2x+4=0的

三個(gè)根，不妨設(shè)。=-2,則瓦c應(yīng)滿(mǎn)足/一2工+2=0,由二次方程根與方程系數(shù)關(guān)系，

得匕+c=-(-2)=2,因止匕有a+匕+c=0。

abca+b+co+b+ca+Z?+c111

bcabca=(a+/?+c)bca=0

cabcabcab

工101

01X1

(4).(2007)行列式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為［D)J

1X10

101A'

(A)4(B)2(C)1(D)0

分析：本題考查行列式按行按列展開(kāi)的性質(zhì)。

解法1：

X10101

101

01x1[3|+[4]x(-l)01X1按第例展開(kāi)

=1X1

1x100x0-x=

X0-X

101X101x

101101

上式中，X展開(kāi)后每一項(xiàng)均含X,且1X1=x1X1展開(kāi)后每?項(xiàng)也

x0-x10-1

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X101

01x1

含X,因此常數(shù)項(xiàng)是0。

1X10

101x

x101010

01x0101

解法2的常數(shù)項(xiàng)是它在X=O的值，即，此行列式的第一行

1x101010

101x1010

二矩陣

1矩陣

(1)定義

(2)運(yùn)算①加法②數(shù)乘

③矩陣的乘法AmxsB?n=G.X.，其中g(shù)=￡%也

hl

④分塊矩陣的乘法4(%,。2,…。，)=(4%,4。2,…AaJ

2伴隨矩陣：設(shè)A“*“，％的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣

A1〕乙…A,”

4*_A242A"？

A2n4”

3逆矩陣的求法

①用定義AB=BA=E,4一|=5(E是單位陣)

4*

②用伴隨矩陣^T=

彳亍初等變換

③用行初等變換(A|E):(E|A-1)

4逆矩陣的證法

①|(zhì)A|wO②R(A)=n

5特殊矩陣

①單位矩陣E(/)②對(duì)角矩陣

③初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過(guò)?次初等變換得到的矩陣

④對(duì)稱(chēng)矩陣A，=A⑤反對(duì)稱(chēng)矩陣Ar=—A

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6初等變換

7秩

①定義：非0子式的最高階數(shù)

用定義

②求法《

初等變換不改變矩陣的秩

8重要結(jié)論

(1)4,8是〃階方陣,則=

⑵A可逆o|A|wOor(A)="04=4鳥(niǎo)…￡(其中E是初等矩陣)。

(3)r(A)=r,則A有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的行(列)向量，而其它的行(列)向量都可由這r個(gè)

向量線性表出，即r(A)=r=行秩=列秩

9公式

(1)加法、數(shù)乘矩陣、矩陣的乘法

(2)轉(zhuǎn)置

①(4，尸=4②(4+B)，=A7+B，

③(以尸=kAT④(ABy=BTAT

(3)可逆

①(AT=A②(")t=-A-'

k

③(附一1=田弘④(A')T=(AT)7

(4)伴隨矩陣

①A4*==同￡②(fc4)*=D

-1tAT**T

③(4*『=(1)*=n④(H)*=(A*)T

(5)〃階矩陣行列式

①|(zhì)A[=|A[②\kA\^k"\A\③|A5|=|Ap|

④⑤⑷=『

(6)矩陣秩的性質(zhì)

①r(A)=r(AT)②r(A+B)<r(A)+r(B)

(3)r(/lB)<min{r(A),r(B)}

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④P,Q可逆，r(PA)=r(AQ)=r(A)

n,當(dāng)r(A)=n

⑤r(A*)=?l,當(dāng)R(A)=〃-1

0,當(dāng)/?(4)<〃-1

201100

5.2.1已知4030*B0-10,若X滿(mǎn)足

202000

AX+2B^BA+2X，求X、

(A—2E)X=3(A—2E)X=(A-2E)”(4—2E)

001、

A-2E01'0可逆

2

007

(A-2￡|￡)

2000

100

011

(A-2后尸

/J

00100"001、000

2

X0100-1001'00-10

100000,200001

7

000

X4010

001

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100

5.2.2A0-20,A*8A=2BA—8E,求8。

001

解A可逆，2R4—A*氏4=8E23-A*3=8E4T=81

8=8(2七一4*)-|k=8[A(2E—A*)]T=8[2A-AA*「=8[2A-\A\E]-'

]_

4

=8[2A+2E『=80

0

5.2.3

1-1

110

(1)(03)設(shè)A20，B,則必有[(。)]

231

31

(A)AB=BA(B)AB=BTA

(C)忸2-8(D)|陰=0

解A6是3x3矩陣,A4是2x2矩陣，所以不選(4)

-1-2-1X’-1-2-P

AB220220,R(A)=2,所以卜同=0。

561,4

740,

(2)(03)設(shè)A為4階非零方陣,其伴隨矩陣A"的秩r(A*)=0,則秩r(A)=[(A)]

1或2(B)1或3

(C)2或3(D)3或4

第3行第2

列的元素是(8)

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113

⑷5⑻-(C)1⑷I

2

1001

解A、0-0,C-'1

2

0

00-

L3j

C32T=0x0+lx」+3x0」

3222

(4)(05)已知X為〃維單位向量，X，為X的轉(zhuǎn)置，E為,單位矩陣，若G=XX?，則G?

等于[(A)]

(A)G(B)±G(O1(D)E?

分析：本題考查特殊矩陣的乘法運(yùn)算。

解法1：注意到X為〃維單位向量，所以有X「X=1。

因G=XX\所以G?=(XX「)(XXT)=X(XTX)XTXXT=G。

0

解法2：特殊值代入法。令X,則G=XX「=

0

0

所以G2=Go

0

(\0r

(5)(06)設(shè)A=02o.,E為三階單位矩陣，若三階矩陣。滿(mǎn)足關(guān)系

,10b

AQ+E=A2+Q，則。的第一行的行向量是[(C)]

(A)(101)(B)(102)(C)(201)(D)(202)

10r’001、01、

由A=020得A—E=010A+E030,顯然A-E可逆。

0J00,102

由AQ+E=A?+。得AQ-Q=A2—E,即(A-E)Q=(A—E)(A+E)。

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01)

由A—E可逆，得。=4+E=030,因此。的第一行的行向量是(2，°，1)。

02,

10、

(6)(07)4*是4=011的伴隨矩陣，若三階矩陣X滿(mǎn)足A*X=A,則X的第3

J0b

行的行向量是[(C)]

八11、/1,、

(A)(2,1,1)(B)(1,2,1)(C)(D)(2524)

"110、

因4=011,所以|A|=2,從而A可逆。由A*=|AgT=2AT,有

J。1,

AA

(4*尸=備=三。又由題設(shè)A*X=A,得

同2

I10、**

A21oYi

(A*)TA*X=(A*)-A,于是，x=rr=-011011***

H24]_1

,10101

22>

1-1-2

(7)(08)設(shè)/是三維列向量,仍是0的轉(zhuǎn)置，若即丁-112,夕月=[(B)]。

-224

(A)4(B)6

(C)8(D)12

設(shè)￡=b,則，'=(?bc),所以

、

a2abac-1-2、

b2

郎b|(a力,c)=babe?-112

cacbc-「224,

7

Z77>=(a,b,c)|b|

a2+b2+c2=l+l+4=6

三向量、方程組

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1向量

(1)向量的定義

(2)線性表示(線性組合)

對(duì)于向量月必，如果存在一組數(shù)占，&，…J使得夕=匕/+%2a2+…+攵。.，

稱(chēng)萬(wàn)可由名,%，…%線性表出，或月為名,見(jiàn)，…%的線性組合。

(3)向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)

設(shè)有〃維向量組％,。2,…4，如果存在不全為0的數(shù)L,左2,…兒使

k烏+k2a2+…+左。、=0，則稱(chēng)向量組%,。2,…％線性相關(guān)，否則稱(chēng)稱(chēng)向量組

內(nèi),。2,…《線性無(wú)關(guān)。

(4)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組

a

若叫i,a,2，…jr是向量組?????,(r<in)的部分組，滿(mǎn)足a}i,aj2,---ajr線性無(wú)關(guān),

而任意r+1個(gè)向量線性相關(guān)，稱(chēng)叫］,％2,…%r為向量組％，…的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)

組。

(5)向量組的秩

向量組名,…a“的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)，記“a”%,…a“)，設(shè)

A=(?］，?2,?????),則廠(A)=7(%,。2,…%)=A的行秩或列秩。

2線性方程組

a\\a\2*U\n仇

AX=8,(*)非齊次方程

b2

Q21a22,,,?2?x2

A=,X=,B=,AX=0,(*)'齊次方程

A=(AB)增廣矩陣

_a,n\a,"2■"a,nn_A.

(1)解的判斷

①(*)有解Or(A)=r(A)o當(dāng)r(A)=r(A)=〃時(shí)，(*)有唯?■解，當(dāng)r(A)=廠(A)<n

時(shí)，(*)有無(wú)窮多解，?A)N“不)時(shí)，(*)無(wú)解。

②(*)'永遠(yuǎn)有。解。(*)'只有0解=r(A)=〃。r(A)<〃o(*)'有無(wú)窮多解(有非0解)

③當(dāng)A為〃階方陣，AX=0只有0解。國(guó)力0。

(2)解的結(jié)構(gòu)

①基礎(chǔ)解系：齊次方程(*)'有非零解(r(A)=r<〃)，則其解向量必有〃—r個(gè)向量

7，小，-構(gòu)成一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，稱(chēng)其為(*)'的基礎(chǔ)解系。

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②齊次方程（*）'的通解是Y=G7+。2〃2+-?-+c?_rn?_r。

③非齊次方程（*）的解：當(dāng)r（A）=，（?）=「<〃，（*）有無(wú)窮多解

H0+C^+C27]2+---+Cn^n_r,其中%是非齊次方程（*）的一個(gè)特解解,

C]7+。2〃2------G-r〃"-r是齊次方程（*）'的通解。

3向量組線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的判斷

（1）用定義

（2）r（a[,a2,--aj=m（向量組的秩等于向量組的個(gè)數(shù)），則向量組一定線性無(wú)關(guān)，否

則，線性相關(guān)。

（3）向量組的所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，則向量組線性相關(guān)（注意向量組的所含向

量的個(gè)數(shù)小于向量的維數(shù)，則不確定）。

（4）…區(qū)“給出具體數(shù)，求矩陣（%,4，…a,"）的秩廠，當(dāng)r<m,則向量組線性

相關(guān)，否則向量組線性無(wú)關(guān)。

（5）向量組中含有零向量，則向量組線性相關(guān)。

（6）向量組中有一部分向量線性相關(guān)，則全體向量組線性相關(guān)，若全體向量組線性無(wú)關(guān),

則任部分向量組線性無(wú)關(guān)。（注意：全體向量組線性相關(guān)，但部分向量組不一定線性相關(guān);

若向量組中向量?jī)蓛删€性無(wú)關(guān),但整組不一定線性無(wú)關(guān)）。

/、*、/、

an"12',?a\

4m陽(yáng)

?2I〃22?2,?a2la22?,,a2mx2

(7)c線性無(wú)關(guān)=

4=,?2=，…a,”==0

aa)ao?a

\n\)\n2/i2"nn,?I/J

只有零解。即r（A）=/〃。

（8）〃個(gè)〃維向量線性無(wú)關(guān)o?,%，…,%,卜0

〃個(gè)“維向量線性相關(guān)?！?|=。

4線性表示的判斷

⑴〃維向量￡=（4也,…a）"%=（%”。21，…4I）T，…，=（即.，。2小，

向量/可由a”…,a,“線性表示的充要條件是（名,…,a,“）X=夕有解。

即

'allxl+al2x2+---almxin="

\21'22222有解。亦即a,,,0。

*內(nèi)+an2x2+---anmxm=b”

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（2）￡線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，則/可由四，…,a,“線性表出，且表

出唯一。

（3）任一“維向量可由〃維單位向量表出。

（4）向量組｛4,入，…氏｝每一個(gè)向量可由向量組｛%，。2,…%｝線性表出。則

，｛夕］，尸2,…⑷4…%｝。

5向量組的等價(jià)

（1）設(shè)向量組I：｛%,%,…a,｝與向量組^：｛夕］,/?2，…舟｝，如果I中每一個(gè)的向量可

由H線性表出，II中每一個(gè)的向量可由1線性表出，稱(chēng)此兩個(gè)向量組等價(jià)，記1=11。

（2）等價(jià)向量組的秩相等。

5.3.1討論向量組的線性相關(guān)性

/、

%32-1A(\1-4)

213r2x(-l)+r,213

3X3

7x2J2,

\

八X(-2)+r2(\2-412-4、

0-1110-111

(x(-x)+q(03-x2+4x,0035-75

解：即alxi+a2x2+a3x3=笈有解

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133、

—/.0113

\「3-0019-。

、0003-2)3-6),

當(dāng)a=2或、=6時(shí)a}x]+a2x2+a3x3=有解

%3=9-b

當(dāng)a=2時(shí)＜x2=h-6,J3=(2b-18)/+(。_6)a2+(9—b)a3

X]=28-18

當(dāng)b=6時(shí)"a總有$=—6,X2=0,/=3/3-—6%+3%

1

1

T

5.3.3A=1X=(XI，X,XY,b=(-1-1,0,-2),已知AX=b有解,

123

3

^

則行列式的值|A.=[(B)]

(A)-1(B)0(C)1(D)2

AX=b有解=乩4)=廠(啡)r(A)<3<4(46)是四階方陣n廠(啡)<4

n|A4=0

5.3.4

(1).(03)設(shè)A為mx〃的非零矩陣，方程組4X=0只有零解的充分必要條件是[(A)]

(A)A的列向量線性無(wú)關(guān)(8)A的列向量線性相關(guān)

(C)A的行向量線性無(wú)關(guān)(D)A的行向量線性相關(guān)

分析：本題考查齊次方程組AX=0只有零解的充分必要條件和向量組的線性無(wú)關(guān)性與矩陣

秩的關(guān)系。

由AX=0只有零解的充分必要條件是r(A)=n。

當(dāng)機(jī)<〃，若A的行向量線性無(wú)關(guān)，r(A)=m,當(dāng)機(jī)<〃，AX=0一定有非零解，

此時(shí)，A的行向量組線性無(wú)關(guān)不能保證AX=0只有零解。

只有A的列向量組線性無(wú)關(guān)時(shí)，r(4)=〃，這正是AX=0只有零解的充分必要條件。

(2)(04)若a,民/線性無(wú)關(guān)，而向量a+2￡,2月+k7,3y+a線性相關(guān)，則上=[(D)|

(A)3(B)2(C)-2(0-3

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」0P

{a+2/3,2/3+ky,3y+?)=(?,/7,/)220

、°k3,

由題設(shè)，a,夕,/線性無(wú)關(guān)，向量1+2夕,2￡+0,37+。線性相關(guān)，可得矩陣(a,夕，力的

01、

秩等于3,矩陣(。+2尸,2夕+女/,3/+。)的秩小于3,因此矩陣220的秩必小于3

k3,

(否則,矩陣(a+2夕,2/7+什,3y+a)的秩等于3),從而有

101

220=0,解得上=—3。

0k3

解法2：特殊值代入法

把a(bǔ),看作三維單位向量,

2—小.小向量組………線性

120

相關(guān)，所以02k=0,解得左=一3。

103

(3).(06)已知向量組a,夕,7線性無(wú)關(guān),則3*1是向量組a+S/+O，a—y線性無(wú)

關(guān)的[(C)]

(A).充分必要條件(B).充分條件，但非必要條件

(C)必要條件，但非充分條件(D).既非充分條件也非必要條件

'101、

因(a+k/,0,+ky,a-/)=(a,0,y)k10,

、。k-I

‘101、

設(shè)4=k10,則=A2—1,

、°k7

當(dāng)向量組&+3,/7+。以一/線性無(wú)關(guān)時(shí)，閡=左2一1力0,即女=±1。

第：部分線性代數(shù)CreatedbyLiuqinghua第15頁(yè)共23頁(yè)

所以火是向量組a+S，￡+線性無(wú)關(guān)的必要條件。

當(dāng)出力1但火=—1時(shí)⑶=0,向量組a+k￡,￡+/線性相關(guān)，所以

k#懷是向量組a+kp,j3+ky,a-y線性無(wú)關(guān)的充分條件。

(4).(05)

的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是［（。）］

(A)4，%(B)at,a2,a3,a4

(C)at,a3,a4(D)ava2,a4

r0-110、fl-10-1、

2-1-10[4]T1]、J■*-10

1-101

U-10-1J10-11

‘1-10-f‘1-1o-T

[2]+[l]x(-2)01_j2

[4]+[2)01-12

(3]+(i00020002

k0-110；、0002,

ri-10-1、

|4M3]x(-l)、01-12

=B,因8中有三個(gè)非零的行,乂因非零行的第個(gè)不等

0002

000;

于零的數(shù)分別在1,2,4歹U，所以是向量組因，。2，。3，。4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

r

(5)(08)若向量組為=(1,0,1,1)T,a2=(0,-11,21，a3=(0,2-2,-4),

。4=(2,1網(wǎng)一2,0)7的秩為2,貝|*=[。)]?

(A)1(B)0

(C)-1(D)-2

第：部分線性代數(shù)CreatedbyLiuqinghua第16頁(yè)共23頁(yè)

由于向量組%,12，03，。4的秩為2，線性無(wú)關(guān)，所以

%要線性相關(guān)，從而對(duì)應(yīng)分量成比例，所以f=l.

-22

(6)(04)設(shè)矩陣A=-26x,三階矩陣8H0,且滿(mǎn)足48=0,貝加(A)]

30-6

(A)x=—8,3的秩=1(B)x=—8,B的秩=2

(C)x=8,5的秩=1(￡>)x=8,B的秩=2

"0,AX=O有非0解,一定有r(A)<3。

1-221-221-22

A=-26x[2]+5x(2),02x+402x+4

[31+|l]x(-3)

30—606-1201-2

當(dāng)2_x+4

即x=—8,r(A)=2<3?

x=-8時(shí)"A)=2,此時(shí)4X=0的基礎(chǔ)解系中含3-2=1個(gè)解向量,B的列向量都是

AX=O的解，因此8的秩等于1。

(7)(06)三階矩陣A的秩/'(A)=1,7=(—130)7,%=(2-11)7,

%=(506T是方程組AX0的三個(gè)解向量,則常數(shù)k=[(D)]

(A)-2(B)(C)2(D)3

’7、'-130、-130、

%2-11051,因r(A)=l,所以AX=0的基礎(chǔ)解系含有

兒,50015

兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，因而7，〃,,〃3線性相關(guān)，從而有9=■!■,即A=3。

15k

故正確選項(xiàng)為(D)。

也可由7=(—130)7,%=(2-11)T,/=(50A)，線性相關(guān)，從而

第：部分線性代數(shù)CreatedbyLiuqinghua第17頁(yè)共23頁(yè)

-125

3-10=15—5左=0,解得々=3。

01k

11

(8)(08)若線性方程組1-1有無(wú)窮多解，則a=[(C)

-1a

(A)1或4(B)1或-4(D)-1或-4

解法1：方程組有無(wú)窮多解,即

11a

-22-a

-12(a+l)(a-4)=0

11

-1a1

所以a=-1或a=4.

解法2：本題也可以從系數(shù)矩陣的秩考慮，為使方程組有無(wú)窮多解,

11a

須取a，使得系數(shù)矩陣1-12的秩小于未知量的個(gè)數(shù)3。

-1a1

11a1-121-12

1-12WT2])11a[2]+川x(-|))02a-2

[3MU

-1a1-1a10a-13_

1-12

2a-2

要使02a-2的秩小于3,必須——=-----，即(a—4)(。+1)=0,

a-\3

0G-1

所以a=-1或a=4.

故正確選項(xiàng)為(C).

'11a

(9)(07)設(shè)4=01-1,l=,則當(dāng)a=[(D)]時(shí)方程組AX=b無(wú)

Ja'T,

解。

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

第：部分線性代數(shù)CreatedbyLiuqinghua第18頁(yè)共23頁(yè)

’11a-1、’11a-1、

[3]+[l]x(-l)

(坳=01-1-101-1-1

T

Ja?-1a)、0a2-l一1+a,

’11-V11a-1

[3]+[2]x(-3)

當(dāng)a=2時(shí)，得01-101-1-1

T

、033,0006

這時(shí)，R(A)wR(W),方程組AX=b無(wú)解。

四矩陣的特征值與特征向量

1矩陣的特征值與特征向量

（1）定義A是〃階矩陣，/I是常數(shù)，a是非0向量，若Aa=/la,則稱(chēng)/I是A的特征

值，a是A的屬于丸的特征向量。

（2）計(jì)算

①|(zhì)A—/lE|=0n求出4（特征方程的根）。

②把不同的特征值4代入方程（A—/IE）X=0中，求出其非0解，用基礎(chǔ)解系表示，即為

相應(yīng)的特征向量。

2性質(zhì)

（1）A與A7■有相同的特征值。

（2）%,乙，…兒“為A的不同特征值，乂］,*2/一乂,“是乙，/12，一》?1的特征向量，則

X「X2,…X,“線性無(wú)關(guān)。

（3）4是A的特征值，X是A的屬于；I的特征向量，則

①仍是A的屬于4特征向量。

②k/l仍是A的特征值，X是&A的屬于A/1的特征向量。

③X'是4"的特征值，X是A"的屬于r的特征向量。

④若A可逆，則/IwO,且l是的特征值，X是A"的屬于1的特征向量。

2A

⑤若A可逆，?|A|是A*的特征值，X是A*的屬于:同的特征向量。

4/t

（4）若4,%，…，為A的特征值，貝IJ

①'乙=￡。"②自?xún)?4&…鼠=小

I=1i=li=l

2矩陣相似對(duì)角化問(wèn)題

（1）定義設(shè)A,8均為〃階矩陣，若存在”階可逆矩陣P,使=則稱(chēng)A與8

第：部分線性代數(shù)CreatedbyLiuqinghua第19頁(yè)共23頁(yè)

相似，記4~8。

(2)性質(zhì)：設(shè)4~3,貝U

①A與8有相同的特征值，相同的對(duì)角元素之和；②間=固。

3矩陣對(duì)角化條件和方法

4000、

o,-.00

①定義：A與一個(gè)對(duì)角陣A=相似。

001-.0

1000

②A可對(duì)角化=A有”個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

③A可對(duì)角化。A的每一個(gè)特征值的重?cái)?shù)等于這個(gè)特征值對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)

數(shù)。

④方法

(a)求A的特征值乙,乙,…九(不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān))

(b)求兒"2,…九對(duì)應(yīng)的特征向量X「X2,…X“

’4000、

.000

(c)令P=(X-X2,…X“)，則P%P=

000

.0002n>

‘4-22、

5.4.1求A=202求其特征值與特征向量,并將其對(duì)角化。

C1L

4-2-22

解：①|(zhì)A—之目=2-/I2=(/1-2)2(1-2),令|4-/1目==0

-111-2

得4=丸，-2,4=1

'2-2

②當(dāng)4=4=2,對(duì)應(yīng)齊次方程2-2

~11

第一:部分線性代數(shù)CreatedbyLiuqinghua第20頁(yè)共23頁(yè)

'2-22、(\-1r

2-22-000r-1X|—々+/=0