第01講 一元二次方程（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第1講一元二次方程掌握一元二次方程有關(guān)概念；會把一元二次方程化成一般形式并確定各項及各項系數(shù)；會用整體思想求解知識點1一元二次方程的概念等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等號兩邊都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\(zhòng)t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內(nèi)，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)項的最高次數(shù)是2。知識點2：一元二次方程的一般形式一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項，a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項，b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項。注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程（2）在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數(shù)時不要漏掉前面的性質(zhì)符號。知識點3：一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.知識點4：一元二次方程的重要結(jié)論：（1）若a+b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=1;若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=-1;若x=11是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a-b+c=0?！绢}型1一元二次方程的概念】【典例1】（2023春?包河區(qū)校級期中）下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的為（）A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0【答案】C【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合題意；B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合題意；C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合題意；D．當a＝1時，（a﹣1）x2﹣2x＝0化為一元一次方程﹣2x＝0，不符合題意．故選：C．【變式1-1】（2023春?溫州期中）在下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A． B．2（x﹣1）+x＝2 C．x2＝2+3x D．x2﹣xy+4＝0【答案】C【解答】解：A．方程x2+3x＝為分式方程，所以A選項不符合題意；B．方程2（x﹣1）+x＝2為一元一次方程，所以B選項不符合題意；C．方程x2＝2+3x為一元二次方程，所以C選項符合題意；D．方程x2﹣xy+4＝0為二元二次方程，所以D選項不符合題意．故選：C．【變式1-2】（2023春?西湖區(qū)校級期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．﹣3x＝0 B． C．x3+x2＝1 D．x2+2x＝2x2﹣1【答案】D【解答】解：A．方程﹣3x＝0是一元一次方程，選項A不符合題意；B．方程是分式方程，選項B不符合題意；C．方程x3+x2＝1是一元三次方程，選項C不符合題意；D．方程x2+2x＝2x2﹣1是一元二次方程，選項D符合題意．故選：D．【變式1-3】（2023春?渦陽縣期中）下列是一元二次方程的是（）A．2x2﹣3x﹣1 B．x（x﹣3）＝2（3﹣x） C． D．（x+1）（x﹣2）﹣x2＝0【答案】B【解答】解：A．根據(jù)一元二次方程的定義，2x2﹣3x﹣1不是等式，那么2x2﹣3x﹣1不是一元二次方程，故A不符合題意．B．根據(jù)一元二次方程的定義，由x（x﹣3）＝2（3﹣x），得x2﹣x﹣6＝0，那么x（x﹣3）＝2（3﹣x）是一元二次方程，故B符合題意．C．根據(jù)一元二次方程的定義，中等式的左邊不是整式，那么不是一元二次方程，故C不符合題意．D．根據(jù)一元二次方程的定義，由（x+1）（x﹣2）﹣x2＝0，得﹣x﹣2＝0，那么（x+1）（x﹣2）﹣x2＝0不是一元二次方程，故D不符合題意．故選：B．【典例2】（2023春?青田縣月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得m+1＝2，∴m＝1，故選：C．【變式2-1】（2023?河?xùn)|區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≠0【答案】A【解答】解：由題意，得a﹣1≠0，解得a≠1．故選：A．【變式2-2】（2022秋?鄰水縣校級月考）方程（m﹣3）﹣5x﹣12＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上答案都不對【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得m2﹣7＝2，m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故選：B．【變式2-3】（2022春?定遠縣校級期中）若方程（a﹣3）x2+x+＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)≤﹣3 C．a(chǎn)≠3 D．a(chǎn)≥3【答案】C【解答】解：∵（a﹣3）x2+x+＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，∴a≠3，故選：C．【題型2一元二次方程的一般形式】【典例3】（2023?魚峰區(qū)模擬）將方程3x2＝5x﹣1化為一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0【答案】C【解答】解：將方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．故選：C．【變式3-1】（2022秋?天元區(qū)校級期末）將方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正確的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【答案】B【解答】解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即將方程（x﹣1）2＝6化成一般形式為x2﹣2x﹣5＝0，故選：B．【變式3-2】（2022秋?永定區(qū)期末）方程x（2x﹣3）＝2x+10化為一元二次方程的一般形式是（）A．2x2﹣5x＝10 B．2x2﹣5x﹣10＝0 C．2x2﹣x﹣10＝0 D．【答案】B【解答】解：x（2x﹣3）＝2x+10，2x2﹣3x﹣2x﹣10＝0，2x2﹣5x﹣10＝0．故選：B．【變式3-3】（2022秋?新會區(qū)期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝6【答案】D【解答】解：去括號得，x2+x＝3x﹣6，移項得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分別是1，﹣2，6．故選：D．【典例4】（2022秋?江漢區(qū)校級期末）一元二次方程x2＝﹣6x+1的二次項系數(shù)為1，則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．﹣6，1 B．6，﹣1 C．﹣6x，1 D．6x，﹣1【答案】B【解答】解：方程x2＝﹣6x+1化為一般式為：x2+6x﹣1＝0，則一次項系數(shù)為6，常數(shù)項為﹣1，故選：B．【變式4-1】（2022秋?瀘溪縣期末）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的二次項系數(shù)是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣x+1＝0中的二次項為2x2，∴一元二次方程2x2﹣x+1＝0的二次項系數(shù)是2．故選：A．【變式4-2】（2023春?蔡甸區(qū)月考）將一元二次方程2x2+x＝3化成一般形式之后，若二次項的系數(shù)是2，則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．﹣1，3 B．1，1 C．1，﹣3 D．1，3【答案】C【解答】解：∵一元二次方程2x2+x＝3可得2x2+x﹣3＝0，∴一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為1，﹣3；故選：C．【變式4-3】（2022秋?定海區(qū)校級月考）將一元二次方程3x2﹣x＝5x化為一般形式后，其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．3，5，﹣1 B．﹣3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣6，0【答案】D【解答】解：將一元二次方程3x2﹣x＝5x化為一般形式為3x2﹣6x＝0，故二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是3，﹣6，0．故選：D．【題型3一元二次方程的解】【典例5】（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程x2+2x+a＝0有一個根是1，則a等于（）A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1【答案】B【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x+a＝0得1+2+a＝0，解得a＝﹣3．故選：B．【變式5-1】（2022秋?邳州市期末）已知關(guān)于x的方程x2+bx+2＝0的一個根為x＝1，則實數(shù)b的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：由題意得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，解得：a＝﹣3，故選：D．【變式5-2】（2023春?富陽區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個根為0，則m的值為（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個根為0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故選：C．【變式5-3】（2023春?崇左月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣9＝0的一個根是0，則a的值是（）A．4 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3【答案】D【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣2x+a2﹣9＝0得：a2﹣9＝0，∴a＝±3．故選：D．【典例6】（2023?邗江區(qū)校級一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則2023﹣m2+m的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】C【解答】解：由題意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021，故選：C．【變式6-1】（2023?南海區(qū)模擬）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，則代數(shù)式2a2﹣4a﹣2的值為（）A．4044 B．﹣4044 C．2024 D．﹣2024【答案】A【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，∴a2﹣2a﹣2023＝0，即a2﹣2a＝2023，∴2a2﹣4a﹣2＝2（a2﹣2a）﹣2＝2×2023﹣2＝4046﹣2＝4044．故選：A．【變式6-2】（2023?宿遷一模）若m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式2m2﹣2m的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4【答案】D【解答】解：由題意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2m2﹣2m＝4，故選：D．【變式6-3】（2023?襄州區(qū)開學(xué)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一個根是x＝﹣1，則2018﹣a+b的值是（）A．2013 B．2016 C．2023 D．2021【答案】C【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2018﹣a+b＝2018﹣（a﹣b）＝2018﹣（﹣5）＝2023．故選：C．1．（2021?聊城）關(guān)于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一個解是﹣2，則k值為（）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【答案】B【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，整理得k2﹣4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，即k的值為0或4．故選：B．2．（2021?黔東南州）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個根是2，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個根是2，∴22﹣2a+6＝0，解得a＝5．故選：D．3．（2021?黑龍江）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由題意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故選：D．4．（2022?遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【答案】B【解答】解：∵m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故選：B．5．（2021?深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一個根是1，則m的值為2．【答案】2．【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0，解得m＝2．故答案是：2．6．（2022?連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m+n的值是1．【答案】1．【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案為：1．7．（2022?廣東）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝1．【答案】1．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，得1﹣2+a＝0，解得a＝1．故答案為：1．8．（2022?衢州）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：15x（10﹣x）＝360（不必化簡）．【答案】15x（10﹣x）＝360．【解答】解：由題意可得：長方體的高為：15cm，寬為：（20﹣2x）÷2（cm），則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15x（10﹣x）＝360．故答案為：15x（10﹣x）＝360．9．（2022?資陽）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個根，則2a2+4a的值是6．【答案】6．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案為：6．10．（2021?廣東）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個方程為x2﹣2＝0（答案不唯一）．【答案】x2﹣2＝0（答案不唯一）．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴滿足條件的方程可以為：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案為：x2﹣2＝0（答案不唯一）．1．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4 D．x2﹣3x+2＝0【答案】D【解答】解：A．，是分式方程，不符合題意；B．a(chǎn)x2+bx+c＝0，若a＝0，則該方程不是一元二次方程，故不符合題意；C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4，整理可得x+2＝0，為一元一次方程，故不符合題意；D．x2﹣3x+2＝0，是一元二次方程，符合題意．故選：D．2．（2023春?定遠縣校級月考）已知是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上選項都不對【答案】C【解答】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故選：C．3．（2023春?攸縣月考）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，則m應(yīng)滿足的條件是（）A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2【答案】A【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故選：A．4．（2022秋?雙峰縣期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）A．﹣3x2，1，6 B．3x2，1，6 C．3，1，6 D．3，﹣1，﹣6【答案】D【解答】解：方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，為3x2﹣x﹣6＝0，所以二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為3、﹣1、﹣6，故選：D．5．（2022秋?北塔區(qū)期末）將一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化為一般形式后，對應(yīng)的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a(chǎn)＝1，b﹣1，c＝6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝2【答案】B【解答】解：（x+2）2＝5x﹣2，x2+4x+4﹣5x+2＝0，x2﹣x+6＝0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．故選：B．6．（2023春?江岸區(qū)校級月考）方程x2﹣x＝0二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．1，1，0 B．0，1，0 C．0，﹣1，0 D．1，﹣1，0【答案】D【解答】解：方程x2﹣x＝0的二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)為﹣1，常數(shù)項為0．故選：D．7．（2022秋?漳州期末）一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常數(shù)項是（）A．7 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】C【解答】解：一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常數(shù)項是﹣1，故選：C．8.（2022秋?甘井子區(qū)期末）將方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【答案】C【解答】解：4x（x+2）＝25可化為4x2+8x﹣25＝0，∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．故選：C．9．（2023春?龍灣區(qū)期中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一個根，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】A【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一個根，