專題02 圓-垂徑定理（2個考點六大類型）（解析版）-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁專題02圓-垂經(jīng)定理（2個考點五大類型）【題型1運用垂徑定理直接求線段的長度】【題型2垂徑定理在格點中的運用】【題型3垂徑定理與方程的綜合應(yīng)用】【題型4同心圓與垂井定理綜合】【題型5垂徑定理的實際應(yīng)用】【題型1運用垂徑定理直接求線段的長度】1．（2023春?開福區(qū)校級月考）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點C，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故選：C．2．（2023?安徽模擬）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，則OE的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過O點作OH⊥AB于H點，OF⊥CD于F點，連接OB、OC，如圖，則DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝2，在Rt△OBH和Rt△OCF中，，∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），∴OH＝OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF＝90°，∵∠OHE＝∠OFE＝90°，∴四邊形OHEF為正方形，∴OE＝EH＝2．故選：A．3．（2022秋?泉港區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為5，弦心距OC＝3，則弦AB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解答】解：連接OA，∵OC為弦心距，∴OC⊥AB，AB＝2AC，在Rt△ACO中，由勾股定理，得，∴AB＝2AC＝8．故選：D．4．（2021秋?澄城縣期末）如圖，⊙O中，OD⊥弦AB于點C，交⊙O于點D，OB＝13，AB＝24，則OC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故選：B．5．（2021秋?新昌縣校級期中）如圖，⊙O的半徑為4，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由題意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，∴四邊形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，∴BC＝2××4＝4，故選：A．6．（2021秋?嘉興期末）如圖，⊙O的直徑AB＝12，弦CD垂直AB于點P．若BP＝2，則CD的長為（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】C【解答】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，∴OC＝OB＝6，∵PB＝2，∴OP＝4，在Rt△OPC中，CP＝，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴CD＝2PC＝．故選：C．【題型2垂徑定理在格點中的運用】7．（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過M、N，則A點坐標(biāo)為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【答案】D【解答】解：過A作AB⊥NM于B，連接AM，∵AB過A，∴MB＝NB，∵半徑為5的⊙A與y軸相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB＝＝4，∴點A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣6），故選：D．8．（2022秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過A（2，2），B（4，0），O三點，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，根據(jù)網(wǎng)格看作出線段OA，AB的中垂線，兩條中垂線相交于點E，點E即為圓心．故選：B．9．（2022秋?南開區(qū)校級期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一圓弧過正方形網(wǎng)格的格點A，B，C，已知A點的坐標(biāo)為（﹣3，5），B點的坐標(biāo)為（1，5），C點的坐標(biāo)為（4，2），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0）．【答案】（﹣1，0）．【解答】解：根據(jù)不共線三點確定一個圓，如圖，AB，BC的垂直平分線的交點即為所求，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．10．（2022秋?長沙期中）如圖，以點P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點，點P的坐標(biāo)為（4，2），點A的坐標(biāo)為（2，0），則點B的坐標(biāo)為（6，0）．【答案】（6，0）．【解答】解：過點P作PC⊥AB于點C，∵以點P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點，∴AC＝BC，∵點P的坐標(biāo)為（4，2），點A的坐標(biāo)為（2，0），∴點C的坐標(biāo)為（4，0），AC＝2，∴BC＝2，∴OB＝6，∴點B的坐標(biāo)為（6，0）．故答案為：（6，0）．11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點A，B，C．若A點的坐標(biāo)為（0，4），C點的坐標(biāo)為（6，2），則圓心M點的坐標(biāo)為（2，0）．【答案】（2，0）．【解答】解：如圖，作AB和BC的垂直平分線，它們的交點為M點，M點的坐標(biāo)為（2，0）．故答案為：（2，0）．12．（2021秋?東臺市期末）如圖，點E在y軸上，⊙E與x軸交于點A、B，與y軸交于點C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），則線段AB的長度為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解答】解：連接EB，如圖所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4，∵AB⊥CD，∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3，∴AB＝2OB＝6；故選：C．【題型3垂徑定理與方程的綜合應(yīng)用】13．（2022秋?西湖區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB交于點E．若BE＝10，CD＝8，則⊙O的半徑為（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．6【答案】C【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB過圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半徑長是5.8，故選：C．14．（2021秋?瑤海區(qū)期末）如圖，在⊙O中，OE⊥弦AB于點E，EO的延長線交弦AB所對的優(yōu)弧于點F，若AB＝FE＝8，則⊙O的半徑為（）A．5 B．6 C．4 D．2【答案】A【解答】解：連接OA，如圖所示：設(shè)⊙O半徑為r，則由題意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，又∵OE⊥弦AB于點E，∴AE＝＝＝4，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，即，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半徑長為5．故選：A．15．（2022秋?宜春期末）已知：如圖，⊙O的直徑AC與弦BD（不是直徑）交于點E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的長．【答案】AB的長．【解答】解：連接OB，OD，則：，∵DE＝EB＝2，即E為BD中點，∴AC垂直平分BD，又∵EC＝1，∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：，則AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，∴．即：AB的長．16．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是AB的中點，連接OC并延長交劣弧AB于點D，連接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面積．【答案】．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵點C是AB的中點，OC過圓心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面積＝OD?BC＝××2＝．【題型4同心圓與垂徑定理綜合】17.（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【答案】（1）略（2）2﹣2【解答】（1）證明：過O作OH⊥CD于H，如圖1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：過O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：則CH＝DH＝CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH＝＝＝2，∴AH＝＝＝2，∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．18.（2020秋?廣饒縣期中）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點C、D（1）求證：AC＝BD；（2）若大圓的半徑r＝8，小圓的半徑r＝6，且圓心O到直線AB的距離為4，求AC的長．【答案】（1）略（2）AC＝AE﹣CE＝4﹣2【解答】（1）證明：作OE⊥AB，則AE＝BE，CE＝DE，故BE﹣DE＝AE﹣CE；即AC＝BD；（2）解：連接OC，OA，∵OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE＝4，CE＝DE，∴DE＝CE＝＝＝2，AE＝＝＝4，∴AC＝AE﹣CE＝4﹣2．【題型5垂徑定理的實際應(yīng)用】19．（2022秋?信都區(qū)校級期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【答案】D【解答】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點C為的中點，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即點C到弦AB所在直線的距離是米，故選：D．20．（2022秋?龍亭區(qū)校級期末）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5，水面寬AB＝8，則截面圓心O到水面的距離OC是（）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC過圓心O點，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故選：A．21．（2023?武義縣一模）如圖，一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中點，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，設(shè)OC是x米，則OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故選：B．22．（2023?浦東新區(qū)模擬）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖，已知EF＝CD＝8cm，則球的半徑長是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：設(shè)圓心為O，過點O作ON⊥AD于點N，交CB于點M，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，設(shè)OF＝xcm，則OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故選：B．23．（2022秋?南寧期中）如圖是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其為圓弧型，跨度AB（弧所對的弦）的長為3.2米，拱高（弧的中點到弦的距離）為0.8米．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端（點B）0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．【答案】（1）2米；（2）0.4米．【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于點C，延長DC經(jīng)過O點，則BC＝AB＝1.6（米），設(shè)⊙O的半徑為R米，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB2＝OC2+CB2，即R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得：R＝2，即該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）過O作OH⊥FE于點H，則OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撐桿EF的高度為0.4米．24．（2022秋?黃岡期中）如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E，拱橋的水面跨度AB＝80米，橋拱到水面的最大高度DF為20米．求：（1）橋拱的半徑；（2）現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為10米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，設(shè)點E是拱橋所在的圓的圓心，作EF⊥AB于F，延長EF交圓于點D，則由垂徑定理知，點F是AB的中點，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，設(shè)圓的半徑是r，則：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50；即橋拱的半徑為50米；（2）設(shè)水面上漲后水面跨度MN為60米，MN交ED于H，連接EM，如圖2所示則MH＝NH＝MN＝30，∴EH＝＝40（米），∵EF＝50﹣20＝30（米），∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；故答案為：10．25．（2022秋?二七區(qū)校級月考）如圖，隧道的截面由半圓和長方形構(gòu)成，