已知半圓直徑為150AC是角平分線求線段AD長(zhǎng)的兩種方法

已知半圓直徑為150，AC是角平分線求線段AD長(zhǎng)的兩種方法問題由來：已知半圓的直徑為AB，其長(zhǎng)度為150，AC=148，AC是∠DAB的角平分線，求AD的長(zhǎng)。D C148AOB150主要內(nèi)容：本文采用兩種方法，一是利用角平分線、正弦定理與長(zhǎng)度關(guān)系，二是利用角平分線、正弦定理與長(zhǎng)度關(guān)系，介紹已知半圓的直徑為AB，其長(zhǎng)度為150，AC=148，AC是∠DAB的角平分線，求AD的長(zhǎng)?！?角度余弦值關(guān)系計(jì)算求解[主要思路]：利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值關(guān)系來計(jì)算所求線段AD的長(zhǎng)度。DC148aaAOD150如上圖所示，設(shè)圓的半徑為R，即：R=AB/2=75,在△AOD中，AO=OD=R=75, oR=75R=752a AM D由余弦定理有：AD=2AM=2*Rcos2a=2*75cos2a=150cos2a…….(1)在三角形AOC中，由余弦定理有： oR=75R=75a AN C148AC=2*AN=2*Rcosa=150*cosa,即：150cosa=148,所以：cosa=eq\f(74,75).代入方程(1)中，有：AD=150cos2a=150*(2cos2a-1),=150*[2*(eq\f(74,75))2-1],=eq\f(10654,75).※.角平分線、正弦定理與長(zhǎng)度關(guān)系來求解[主要思路]：本步驟利用已知條件角平分線定理、正弦定理，并根據(jù)角a的余弦值，以及長(zhǎng)度關(guān)系，來求解計(jì)算所求線段的長(zhǎng)度。DCxy148PaaAOD150如上圖所示，設(shè)AD=x，OD與AC的交點(diǎn)為P，設(shè)DP=y，則OP=R-y，即OP=75-y，在三角形△AOD中，AP是角平分線，由平分線定理可得：eq\f(OP,PD)=eq\f(AO,AD),則：eq\f(75-y,y)=eq\f(R,x)，化簡(jiǎn)為：x=eq\f(75y,75-y)……(1).進(jìn)一步由正弦定理可得：eq\f(DP,sina)=eq\f(AD,sin∠APD),即：eq\f(y,sina)=eq\f(x,sin3a)，化簡(jiǎn)為：y(3-4sin2a)=x,……(2),在△AOC中，可求出cosa=eq\f(74,75)，則：sin2a=eq\f(149,5625)……(3),將(3)代入(2)可知：y=eq\f(5625,16279)x,再代入(1)可知：x=75*eq\f(eq\f(5625,16279)x,75-eq\f(5625,16279)x)