數學建模課件

目錄

數學建模第一單元：引言..........................................................1

第二單元初等數據分析方法......................................................9

第三章..................................................................37

應用積分思想建模.......................................................37

第四章初等代數、幾何方法......................................................47

初等幾何方法...........................................................58

數學建模第一單元：引言

報告標題

一何謂數學建模二確定性數學三不確定性數學四數

學與現實五數學建模與各學科六數學建模與各行業(yè)七

數學建模的多效性八變量識別

九數學建模的步驟十論文寫作要求

L何謂數學建模

數學建模應用定量思維的方式探討自然現象工程技術、社會

現象日常生活實際問題的過程建立變量之間定量關系稱為數學

模型。

求解數學模型并解釋、驗證求解結果然后應用于實際.

一方面建立數學模型另一方面建立數學理論體系并逐步遠離

背景問題的研究確定性數學方法不確定性數學方法

2確定性數學方方法

一、初等數學方法最簡定量關系即

函數關系（相關性）建立函數關系的方法：數據散點圖自然

定律觀察并用初等方法建模擬合插值和回歸初等分析方

法函數論理論體系比如：蘋果從樹上自然掉下來影響它

運動的就是重力作用位移與時間關系為s=lgt2

（1）數據擬合

（2）插值方法

（3）應用積分思想

（4）導數思想（變化率）

（5）初等優(yōu)化方法（求極值）

變量之間呈現代數方程線性代數方程（組）（由投入

產出問題到填充問題）空間幾何方法建立起非線性代數

方程

二、離散動力學方法變量間呈現周期

的遞推關系差分方程方法變量間呈現函數方程的形式

三、連續(xù)動力學方法變量間呈現的函

數方程中還含有未知函數導數一微分方程含有偏導數的

方程稱為偏微分方程

四、連續(xù)優(yōu)化方法變量之間具有優(yōu)化效應：變分法與最優(yōu)控

五、離散優(yōu)化方法線性規(guī)劃建模整數規(guī)劃模型非線性規(guī)劃建

模動態(tài)規(guī)劃模型圖論模型

3.不確定性數學方法

一、概率與隨機數學

概率論隨機過程馬氏鏈模型蒙特卡羅模擬排隊論與隨機排

隊論存儲論與隨機存儲論

二、統(tǒng)計方法

統(tǒng)計數據描述和分析參數估計假設檢驗回歸分析：一元線性

回歸多元線性回歸逐步回歸非線性回歸方差分析：單因素方差

分析雙因素方差分析方差分析的模型檢驗聚類分析判別分析主

成分分析因子分析對應分析典型相關分析時間序列分析季節(jié)模

型條件異方差模型

三、界限不分明的模糊性問題

模糊數學方法模糊關系模糊矩陣模糊聚類分析方法模糊模

式識別方法模糊綜合評判方法灰色系統(tǒng)分析方法

微分幾何在廣義相對論中的應用拓撲學在大數據分析中的應

用偏微分方程在瓦斯爆炸的阻隔爆技術航空發(fā)動機推進技術

4.數學與現實數學面對現實的困惑

問題：（1）公司是否上市（2）什么因素障礙相同企業(yè)的發(fā)展（3）

如何確定航空公司在業(yè)內的份額如何確定航線大學數學課表：數

學分析1數學分析2數學分析3高等代數解析幾何實變函數泛

函分析抽象代數微分幾何運籌學概率論數理統(tǒng)計常微分方程偏

微分方程

結論：大學所學數學都是理論部分

數學跟現實世界最初這樣：現實世界的問題大致三類自然現象

社會現象日常生活

數學家通過假設、簡化、分析建立數學模型建立數學理論回

歸現實解釋預測后來數學家專著與理論研究不回歸現實了為什么？

三次數學成為獨立科學形式

主要根源：歷史上三次重大的哲學思潮，三次重大分離：（1）

第一次：畢達哥拉斯的“萬物皆數”形成了古希臘抽象數學體系；（2）

第二次：”文藝復興”時期“科學的本質是數學”的哲學思想所主

宰，創(chuàng)建了微積分理論體系；（3）第三次：1900前后歐洲數學家信

奉自由建立純粹數學結構的思潮，形成現代純粹數學和應用數學體

系。

5數學建模與各學科0701數學0702物理學0703化學0704天文

學多體問題（manybodyproblem）0705地理學0706大氣科學例如：

龍卷風縣風和臺風是如何形成？0707海洋科學例如：海嘯是如

何形成的可以提前預測嗎？0708地球物理學0709地質學例如：

地質災害如何形成的可以預測嗎？0710生物學如何減少實驗次數

0711系統(tǒng)科學早期從數學中分出。0712科學技術史0713生態(tài)學

數學生態(tài)學（mathematicalecology）0714統(tǒng)計學08工學09農學10

醫(yī)學11軍事學12管理學1201管理科學與工程1202工商管理1203

農林經濟管理1204公共管理1205圖書情報與檔案管理13藝術學01

哲學02經濟學03法學0301法學0302政治學0303社會學0304民族

學0305馬克思主義理論0306公安學04教育學0401教育學0402心

理學0403體育學05文學0501中國語言文學0502外國語言文學0503

新聞傳播學06歷史學

6數學建模與各行業(yè)

國家標準（GB/T4754-2002）規(guī)定國民經濟行業(yè)分20個門類（A）

農、林、牧、漁業(yè)；例如：中藥種植業(yè)發(fā)展中的三個關鍵問題：中

藥材資源的可持續(xù)發(fā)展中藥材基地建設中藥材規(guī)范化種植及GAP

認證；例如：造林和更新問題；例如：漁業(yè)養(yǎng)殖與捕撈問題；例如：

農業(yè)生產最佳灌溉系統(tǒng)問題。（B）采礦業(yè)；例如：煙煤和無煙煤開

采洗選合理配置問題；例如：對煤礦瓦斯氣（煤層氣）的開采問題

瓦斯爆炸的運動方程與預防（C）制造業(yè)；例如：加工過程中的最

佳方案問題等（D）電力、燃氣及水的生產和供應業(yè)；例如：節(jié)能

問題污水治理問題；（E）建筑業(yè)；例如：建筑的抗震問題等；例

如：建筑設計中的問題伊拉克裔天才女設計師哈迪德最初選擇學

習數學而不是建筑學（F）批發(fā)和零售業(yè)；例如：煙草制品批發(fā)與

零售的精準投放問題超市進貨問題等；（G）交通運輸、倉儲和郵政

業(yè)；例如：物流公司的最佳運輸路徑問題最佳裝載問題最佳倉儲

問題等（H）住宿和餐飲業(yè)；

例如：酒店的評級問題；（I）信息傳輸計算機服務和軟件業(yè)；例

如：計算機是數學家發(fā)明的高新技術的本質是數學數據處理存儲服

務問題軟件開發(fā)等（則）金融業(yè)；例如：金融保險證券行業(yè)定價

問題銀行系統(tǒng)（理財、財務分析師）保險公司（精算）風險和損

失評估問題匯率問題等例如：金融衍生產品如何定價？如何估計

風險？金融危機與經濟危機如何預測？Black-Scholes公式是一個

偏微分方程！

（K）房地產業(yè)；例如：房地產價格評估問題等；（L）租賃和

商務服務業(yè)；例如：2005年高教社杯全國大學生數學建模競賽題

目B題DVD在線租賃（M）科學研究

技術服務和地質勘查業(yè)；例如：自然災害自然現象的

分析與預測（1）地震波的改變給我們什么信息？（2）臺風、龍

卷風和縣風是怎樣形成的？能夠運用流體運動特征描述并預測它

們嗎？例如：工業(yè)與高新技術領域（1）石油開采模型（2）新材料的

合成（N）水利、環(huán)境和公共設施管理業(yè)；長江水質的評價和預測

（0）居民服務和其他服務業(yè)；例如：菜市場選址問題；例如：大

型超市應如何確定最佳進貨；

（P）教育；例如：教育收費問題（Q）衛(wèi)生、社會保障和社會

福利業(yè)；例如：眼科病床的合理安排例如：借助數學模型揭示

脂肪細胞形成的過程并解開肥胖之謎例如：如何準確預報天氣或

者局部地區(qū)煙霧消散的預報？例如：人口問題例如：交通流問

題：例如：吸煙過程的數學描述：（R）文化、體育和娛樂業(yè)例

如：出版社的資源配置

（S）公共管理和社會組織；例如：統(tǒng)計局、規(guī)劃局城市高溫

屢屢刷新被忽略的城建

生態(tài)功能散熱的數學問題例如：評估部門：評估（風險、教育

評估如高校評估）中心評估（房地產）所上市公司資產評估等大型

活動的評估國家或地區(qū)科技實力評估。例如：機場調度部門（如何

最優(yōu)？）（T）國際組織。例如：政策研究部門美國新英格蘭復雜系

統(tǒng)研究所和布蘭代斯大學的科學家小組發(fā)明了一個數學模型，能

以90%的準確率預測何處可能發(fā)生不同種族或文化間的暴力沖突。

7數學建模的的多效性

人類的活動有兩種思路：（1）學習前人經驗、知識，從而解決問

題，這就是“類比”的方法；（2）從源頭問題出發(fā)，創(chuàng)新思維。大數

據分析與建模因此，完成每一道案例分析

必須通過如下方式：（1）問題分析與識別識別出面前的問題；前

人有考慮過類似的問題嗎？需要查閱資料。（2）前人采用的方法你

熟悉嗎？（3）試給出你的獨特想法這就是創(chuàng)新性思維。8變量識別最

重要的一步：識別變量影響事件發(fā)展的因素，數學上稱為變量有哪

些？（1）所研究的現象或事件中所有變量明確，自變量和因變量都

明確，比如：蘋果從樹上掉下來，受地球引力作用開始自由落體，

掉落地點決定了重力加速度，另外掉落時間、

空氣阻力、掉落立移等變量都明確；（2）因變量明確，但自變量

不明確.比如高校的學風好還是不好，決定學風的是什么自變量呢?

比如：上課遲到、早退、缺席以及上課玩手機的人數多，還有嗎？

似乎我們說不全.（3）自變量明確，但因變量不明確.比如：一個

人每天上網瀏覽他喜歡的內容或者留言，從這些能得出這個人的什

么結論？這類問題特別普遍.（4）因變量和自變量都不明確.比

如：偵察機在高空偵查，看到形形色色的事件，我們只能抽取軍事

或者商業(yè)方面的信息，其他信息不得不過濾.因此，我們的建模問

題就從變量的識別開始.比如：（1）單種群的總量增長.（2）怎樣

設計一個供大班級用的演講廳？（3）《海峽導報2013年6月21日》

上的新聞：這些年，為何總有“怪風”來襲？說的是廈門同安蓮花

后埔村遭受冰雹和與別的地方不太一樣的威力不小的“怪風”襲擊。

媒體希望揭開“怪風”之謎。你認為應該怎樣研究這個問題？能否

迅速把握問題的理想狀態(tài)？

9數學建模的步驟：

第1步問題分析：抓住事件本質想象“理想狀態(tài)”確定主要

變量做出合理假設如何確定主要變量，三點：（1）抓住事件本質揭示

“理想狀態(tài)”確定主要變量。⑵頁著主要因素找出相應的其他因

素把這些因素作為變量列出來完善變量體系。（3）忽略某些自變量:

首先，與其他因素相比，影響要小一點。其次，這個變量以幾乎相

同的方式影響其他各種因素，那么這個因素可以忽略，即使這個

因素對所研究的行為有很重要的影響。考慮將大房間設計成報告廳

的問題。顯然黑板的立置投影儀的立置與清晰度前后排座立的高低

差安全通道顯然是重要因素。照明是關鍵因素，但可能會以幾乎同

樣的方式影響所有可能的形狀。因此可以不在此考慮，而是當報告

廳的形狀確定后，在照明效果一致的情況下，使得成本最低的子模

型。

第2步模型構建根據所作的假設，分析事件的內在規(guī)律

第3步求解或解釋模型理論與Matlab和R軟件的使用

第4步模型檢驗（1）數學關系的正確性；（2）是否會有多解或

無解的情況出現；（3）數學方法的可行性以及算法的復雜性。該模

型在實際意義下有用嗎？我們確實能收集到必要的數據來運作該模

型嗎?再次，該模型有普遍意義嗎？

最后，進行誤差分析和靈敏度分析

第5步模型的改進

第6步論文寫作

第7步應用模型解決實際問題

10論文寫作要求學建模的論文當做科技論文的要求來撰寫,

數學建模的訓練過程就是一次科研訓練的過程1、摘要2、問題的

重述3、問題的分析4、問題的假設與符號5、問題的解答6、結論7、

參考文獻8、附錄程序以及某些圖表可以放在附錄。

第二單元初等數據分析方法

1數學建模方法論：類比、創(chuàng)新

2最簡定量關系：人類建立起來的變量之間最簡單最直觀的定

量關系就是函數關系

⑴函數概念的力學來源.⑵1637年笛卡爾的《幾何學》首次涉

及到變量，也引入了函數思想.⑶1667年英國數學家格雷果里被

認為是函數解析定義的開始⑷公認最早提出函數概念的是17世紀

德國數學家萊布尼茨.（5）為了得到變量之間的函數關系需要采集數

據，于是提出三個問題：（6）如何采集數據？采集什么數據？如何

分析數據

3建立函數關系的方法

由此產生建立變量之間函數關系三種基本方法觀察法：利用數

據的比例性質擬合方法、插值方法統(tǒng)稱初等數據分析方法

數據及其品質⑴有的提供數據：2008年“奧運場館設計〃⑵有

的不給數據：2010年世博會的影響力⑶有的問你需要什么數據：

2008年重金屬污染源頭問題⑷有的需要你自己判明應該采集什么

數據才能說明這件事情：2015年“出租車〃試建立合理的指標并分析

不同時空出租車資源的“供求匹配”程度因此，需要評估數據的精

確性，由于收集數據時精確度不高比如記錄或報告一個數據時的人

為錯誤，或測量精度限制等多種情況。比如在繪制地圖時是按比例

縮小的但測量時總有誤差在分析一個數據集合時，可能遇到的問題

是：（1）根據收集的數據進行建模.要么數據具有明顯特征要么插值⑵

按照選出的一個或多個模型（函數）類型對數據進行擬合.⑶從已經

擬合模型中選取最合適的例：判斷指數與多項式模型哪個擬合更好

4觀察法和初等數學方法

通過大量數據利用變量之間的比例性質得到自然規(guī)律：

⑴Kepler（開普勒）第三定律開普勒曾幫第谷（TychoBrahe）收集了13

年火星的相對運動的觀察資料到1609年開普勒已經形成了頭兩條

定律：a）每個行星都沿一條橢圓軌道運行太陽在該橢圓的一個焦點

處.b）對每個行星來說，在相等的時間里該行星和太陽的聯線掃

過相等的面積.開普勒花了許多年來驗證并形成了第三定律T=

3

CR5其中T是周期（天數）而R是行星到太陽的平均距離他建立了軌

道周期與從太陽到行星平均距離之間的關系.如表2.1中的數據

表2.1

周期（天數）平均

星距離（百

萬英里）

88.036

星

224.767.2

星5

365.393

球

687.0141.

星75

4331.8483.

星80

10760.0887.

任取過原點的這條直線上的兩點，易估計其斜率（比例常

夾八

數:A斜'l率=-9-0-4-6-6.-8-—-8-8?0.441.0c

，220869.1-216

3

估計其模型為T=0.410R2

⑵（波義耳定律（Boyle'slaw）1662年）一定量的理想氣體的壓強P

體積V和絕對溫度T之間具有關系P=與R是普適氣體常量.

⑶(虎克定律(Hooke)1678年)一個線性彈簧的形變(x)與彈力(F)

之間的關系F=-Kx負號表示形變的方向與彈力方向相反.

⑷(牛頓(Newton)萬有引力公式1687年)兩個物體之間相互作用

F=kmm

時的相互吸引「2

來表示吸引力與其他因素之間的規(guī)律.

⑸(歐姆定律(Ohm'slaw)1826年)在同一電路中，通過某一導體

的電流跟這段導體兩端的電壓成正比跟這段導體的電阻成反比

/=與U=IRfR=U

I：(電流)的單位是安培(A)U：(電壓)的單位是伏特(V)

R：(電阻)的單位是歐姆(Q).

觀察法與初等數學知識結合：案例2.L：：半徑為1的輪子置

于平地上輪子邊緣一點4與地面相接觸。求當輪子滾動時，4點

運動的函數表示.

解：建立坐標系Oxy,設輪子滾動時4點的坐標為4(x,y),當

輪子滾動到P點著地時，線段0P的長度等于圓弧AP的長度，也

等于輪子轉過的角度(以弧度為單位).令參數t表示輪子轉過的角度,

得至|J（X=t-sint,y=1-cost.此即為旋輪線的參數表示.

案例2.2：：：一船由甲地逆水勻速行駛到乙地，甲乙兩地相距

s（千米），水速為常數p（千米/時），船在靜水中的最大速度為q（千米/

時一，其中q>p）,已知船每小時的燃料費用（以元為單位）與船在水

中的速度v（千米/小時一）的平方成正比，比例系數為k.

⑴將全程燃料費用V（元）表示為船在靜水中的速度也千米/小時）

的函數，并指出這個函數的定義域；（2）為了使全程燃料費用最少，

船的實際前進速度應為多少？

解：⑴由題意知，船由甲地逆水勻速行駛到乙地，且水速p,

而船在靜水中的速度v.因此，船在實際前進時的速度v-p為變

量，

再由船在靜水中的最大速度q為常量，知v的范圍是p<v<q,

由此，船由甲地均勻行駛到乙地。所用的時間為

由于每小時燃料費用為，=股2（其中k為常數）.因此，所求全程

燃料費用函數為：

y=As?當ve（p,q）

（2）將船的實際前進速度v-p用m表示，則由￡（p,q）可知，

mG（0,q-p）>v=p+m,得到

V=ks,/=ks（m+需+2p）

由題意可知，k,s,m都是正數，由算術平均值不小于幾何平

均值得：y2ks（2p+2P）=4ksp當且僅當71唧m=p時取等號.

①當p（0,q-p],0<pWq-p,0<2pWq,即q22p,

即當m=p時，全程燃料費用y最少.

②當pe/(O,q-p],即q<2p,設"ks?嚼或=，⑺)先

證明當mG(0,q-p]時，全程燃料費用函數y=/(m)是減函數.

設0<g<m2<q-p,有f(mJ-f(m2)

=ks.(m+py

mimi

=+P2m2-TU1期-p2mi)

=^；(m2-mi)(p2-7nlm2)

2

由0<nh<m2<q-p且q-p<p得：m2-mt>0,p-

mig>0

=尚(m-m)(p、m]g)>°所以故y=f

(m)在區(qū)間(0,q-p)上是減函數.當q<2p時有f(m)>/(q-p),當

且僅當m=q-p時取等號，

即當m=q-p時全程燃料費用最少

綜上所述，為使全程燃料費用最少，

當q22p時，船的實際前進速度應為p(千米/小時)；當qv2P

時，

船的實際前進速度應為q-p(千米/小時).

案例2.3：：：

市場均衡問題.商晶的價格是由其供需關系決定的.如果市場

上某種商晶的價格使得該種商晶的總需求等于總供給，則稱這一商

晶市場達到均衡，這時的價格稱為均衡價格，在此價格下，商晶的

供給量也就是需求量稱為均衡數量.首先建立供需與價格關系的數

學模型.市場對該種商晶的需求量總是隨著價格的上揚而有所下降,

即商晶的需求量Qd是價格P的遞減函數，記為Q，P)；但是，生產

廠商的積極性會隨著價格的上揚而上升，即商晶的供應量Qs是價

格P的遞增函數，記為Qs(P).因此，經濟學中需求和供給函數模

型

最簡單的是線性函數分別為Q，P)=~aP+bQs(P)=cP-d其

中a,b,c,d均為非負常數.顯然Q/P)和Qs(P)分別是P的遞減

和遞增函數.注意到當P=0時，Qd=b,

即當該商晶為免費時的需求量為b.因此，b稱為社會極大需求

量.

而當Qs(P)=cP-。=0時-，可解得P=g即當價格為*寸，

該商晶的產量為0

此為生產商能夠承受的最低價格.所謂均衡價格，就是使得

Qd(P)=Q”)的價格P.Q，P)和Qs(P)的表達式，應有PP+b=cP

-d.由此解得均衡價格「=贅和相應的均衡供求量Q=嗡型

這就解決了均衡價格的問題.

還有一些更加復雜的非線性模型.比如需求函數模型有

Qd(P)=~aP2+b

Q女P)=be—"

Qd(尸)=—as/P+b

它們分別稱為二次函數模型指數函數模型根式函數模型以及

Qd（尸）P+C-的分式函數模型.

供給與價格關系的函數模型還有分式函數模型

Qd（尸）=篝*

以上各模型中的a,b,c,d均為非

負常數.

經濟學中運用計量方法建立了許多經濟量之間的關系：等成本

線也叫企業(yè)預算線成本函數與平均函數收益函數和利潤函數（與產

量）

案例2.4：：：將4條腿長相同的方椅子放在不平的地上，怎樣

才能放平？如何才能把它抽象成數學問題？

【問題分析】假定椅子中心不動，每條腿的著地點用A、B、C、

D表示，把AC和BD連線看做坐標系中的x軸和y軸，把轉動椅子

看做坐標的旋轉，如圖

用9表示對角線4c轉動后與初始位置x軸正向的夾角.設虱見

表示4C兩腿旋轉。角度后與地面距離之和.

/（切表示8,。兩腿旋轉9角度后與地面距離之和.當地面

形成的曲面為連續(xù)函數時,

/(刃，虱切皆為連續(xù)函數.因為三條腿總能同時著地，即對任

意。，總有〃切?g⑼=0.

不妨設初始位置9=0時g(0)=0,/(0>0,于是問題轉化為：

是否存在一個名，/(%)=g(a)=0.這樣椅子問題就抽象成如下數學

問題：

已知/(訓，式切連續(xù),g(o)=o,/(0)>o,且對任意的9都有/

倒?g⑻=0.求證：存在仇，

使得，(a)=g(聞=0.數學問題的證明：令/1(見=式中-〃切,

則6(0)=g(0)-/(0)<0將椅子轉動梟即將4c與8D位置互換，

則有。居)>0,/(5)=0,所以

拉倍)=￡/(5)一〉0?而加切是連續(xù)函數，根據連續(xù)函數的

零點定理知

必存在的6(0,倒,使得加名)=0,即g(a)=/(%)；又由條件

對任意。恒有/(刃?g⑻=0,所以式仇))=/(a))=();既存在仇

方向，四條腿能同時著地.所以椅子問題的答案是：如果地面為光

滑曲面，椅子中心不動最多轉動1角度.則四條腿一定可以同時著

地.

5數據擬合方法

一、源頭問題：

實驗測得如下一列數據

-3-2-10123

-8.-3.-0.0.-0.-3.-8.

0942094209429058094209420942

散點圖為

問題1：請找出一個函數經過所有的數據點.問題2：請預測

當x=3.5時，y的值.

作為數據處理的基本方法，擬合和插值都是要求通過已知的觀

測數據去尋求某個近似函數，使得近似函數與已知數據有較高的

擬合精度。

具體來說：⑴擬合：求過已知有限個數據點的近似函數，不

要求過所有的已知數據點，

只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小.主要用來

反應數據的基本趨勢.⑵插值：求過已知有限個數據點的近似函

數，要求所求的近似函數過已知的數據點.

二、數學思想與建模方方法法假設想要對數據點集擬合一條

直線

y=ax+b,應如何選擇a和b,使直線最好地擬合數據？數據

點和直線間總存在一些縱向差異，稱這些縱向差異為絕對偏差.

定義2.1給定m個數據點(X"必)的集合，用直線y=ax+b擬合

該集合，確定參數a和b,使任一數據點(x〃％)和其對應的直線上的

點(X"aXi+b)間的距離之和最小，即：極小化絕對偏差/%-y(x,)/

的和.可以將直線的極小化絕對偏差之和準則推廣到給定曲線情

形：

給定某一函數y=/(x),以及m個數據點d必)的集合，極小化

絕對偏差/%-y(x,)/的和，

也就是確定函數類型y=/(x)的參數，極小化

m

E\yt-

i=l

再看另一種選擇定義2.2給定m個數據點的集合(x>%),i=1,

2,???,m,用直線y=ax+b擬合該集合，確定參數a和b,

使任一數據點例,力)和其對應的直線上的

點dax,+b)間的距離最小，也就是對整個數據點集極小化最

大絕對

偏差/%-y(x,)/.現將直線的極小化最大絕對偏差準則推廣到

給定曲線的情形：給定某種函數y=/(x)和m個數據點心力)的一個集

合，對整個集合極小化最大絕對偏差從-y(x,)/,

即確定函數類型y=f(x)的參數從而極小化數量Max/%-

y(Xi)li=1,2,???，/這一準則稱為Chebyshev近似準則

Chebyshev準則的困難在于求解這個最優(yōu)化問題需要高級的數

學方法.

三、案例分析案例2.5：：：設要度量直線段A8,8C和AC,假

定測量的結果為AB=13,BC=7,AC=19.這時，AB和BC值加起

來是20而不是測出的AC=19.問各自真值？

解：假定對每一次測量有相同的信任度，這樣每一測量值有

相等的權值.

這種情況下，差異應均等地分配到每一線段，令X1代表線段AB

長度的真值，X2代表BC的真值.令小小,3表示真值和測量值

間的差異.即線段AB：q=X1-13線段BC：

r2=X2-7,線段AC：,3=Xi+X2-19數值r1、七、,3稱為殘

差.如果用Chebyshev準則，應指定小小Q的值使三個數值"J、

〃2人/的最大者達到最小.

如果記最大的數為r,那么我們要求最小化r,約束有三個條

件"J或一rWqWr,MlWr或一rWr?Wr,同《

r或-rW「3Wr

問題則敘述為經典的數學問題：最小化r滿足約束條件

r-Xi+130(r-rx20),r+xx-1320(r+q20),

r-Xi+70(r-r220),r+x2-70(r+r220),r-Xi

-x2+190(r-r320)r+x1+x2-1920(r+r320)這

一問題稱為線性規(guī)劃問題.

推廣這一過程，給定某一函數類型y=/(x),其參數侍定，給

定m個數據點(X"力)的一個集合，并確定出殘差為r,=y,-f(x,)o

如果r代表這些殘差的最大絕對值，

那么問題表示成最小化r滿足約束條件r—n20,r+〃2

0,對，=1,2,???,m

最小二乘準則問題：確定函數類型y=/(x)的參數，極小化和

in

_E\yi-f(^)l2

數1=1

案例2.6：：：某蟲子產卵數與溫度有關的實驗觀察值:

散點圖為

看起來兩者呈指數關系，可設產卵數y與溫度x的關系為

y=6eax,任務是確定常數％6.上式兩邊取對數，令2=/“

a=a,b=In6,則原式變成了線性關系z=ax+b而原來的表格

變?yōu)?/p>

2222233

1357925

1.2.3.3.4.4.5.

=lny9459397904451781189765407838

散點圖變?yōu)?/p>

于是，問題化為找一直線y=ax+b,即尋找a,b使得上表中

的數據基本滿足這個函數關系.使得所有觀測值勿與函數值axj+b

之偏差的平方和Q=￡21（"一。①，一'）2最小.確定常數a,

b用的就是二元函數求極值的方法，顯然Q是a,b的函數.令

器=一2七（幼一axi-b）Xi

1=1

nnn

=2Q￡婢-2￡4徹+2b￡g=0

i=li=li=l

黑=一2￡（加一axi-b）

i=l

nn

=2a￡g—2￡m+2nb=0

i=1Z=1

就得到線性方程組

nn

EAExi

i=lz=l

n

Exin

_〃=1_

解這個方程組,

nnn

n￡x^-￡g￡協(xié)

f=l1=11=1

nn

i=li=l

nrinn

￡叫￡yi-￡g￡Xiyi

￡=1i=li=li=l

nn

?￡?i-(Eg)2

i=li=l

由問題知，Q在（a,b）上取最小值。通過計算可得a=0.26921,b

=-3.784948

于是，表的擬合直線方程為y=0.26921X-3.784948,紅鈴蟲的產

卵數與溫度的關系為

z=0.02271e026921x.

總結：數據擬合有三種判別準則：使偏差的絕對值之和最小,

使偏差的最大絕對值最小使偏差的平方和最小(即最小二乘法).

6插值方法

一、源頭問題已知某未知函數y=/(x)的一組觀測或試驗數據

(xi,y,)(/=0,1,2,???,n),

要尋求一個函數W(x),使得w(x,J=y”/=0,1,2,???,n,

則(p(x)Q/(x).即：在不知道函數v=/(x)的具體表達式的情況下,

對于x=x,有實驗測量值v=y#=0,1,2,???,n),尋求另一函

數卬使?jié)M足：＜p(xz)-y,=f(x,)/=0,1,2,???，八，稱此問題為一

維插值問題.此外，還有二維插值問題.并稱函數W(x)為/(x)的插

值函數，Xa,X”???,Xn

稱為插值結點，(p(Xj)=y,(/=0,1,2,???稱為插值條件，

則W(x)=/(x).

幾種基本的、常用的插值方法：拉格朗日插值法牛頓插值法

Hermite插值法分段線性插值法三次樣條插值法

二、數學思想與建模方方法法拉格朗日(((Lagrange)))插值：(1)

插值多項式一般提法為：

已知函數y=/(x),在n+l個相異點XQ,X》???,x〃上

的函數值為

Yo,yvy-b,?,,Vn，要求一個次數不超過n的多項式Pn(x)=

a0+5x++??,+aM使在結點x,上成立pn(Xi)=y,(/=0,1,

2,???,n),稱pjx)為插值多項式。則/(x)的n+1個待定系

數a。，alf???,%滿足

a0+aix()+。2若H------+a”解，=yQ

\a。+即叫+a2xfH------+a?x"=如

a0+aixn+a2x^H--------anx^=yn

1X0…穌

1JE1…17

det(A)=

記此方程組的系數矩陣為4則

是范德蒙(Vandermonde)行列式.當xQ,xlf???,xn互不

相同時，此行列式值不為零.因此，方程組有唯一解.這表明只要

〃+1個插值節(jié)點x。,X1,???，小互異,滿足插值條件的插值

多項式存在唯一.從幾何上看，n次多項式插值就是過n+1個點/

X/)

作一條多項式曲線y=pjx)來近似曲線y=f(x),可以證明n次

插值問題的解是惟一的.

當xe[a,b]且X/=M(/=0,1,???，小時，f(x)pn(x),

稱被插函數f(x)與插值多項式p/x)之間的差Rjx)=/(x)-pn(x)為

插值多項式pjx)的截斷誤差，或插值余項.

即：用多項式函數p/x)作為插值函數時，希望通過解方程組而

得到待定系數見，見,???，明的做法當〃比較大時是不現實

的。因此，我們采用(2)拉格朗日插值多項式首先構造一組基函數:

n

X—Xj

(1)nif_0j

j=U，j#

_(a;_a：o)…(a;_g_i)(a:-勺+i)…(a;_;rn)

一(g-;To)…(g-g_i)(內一把計1)…(g-a?n)

(z=0,1,???,n)

壬

以叼)=(oji

[13=i

n

令En(l)=52?/也(4)

z=0

n

X—Xj

=EyiIIXi-Xj

顯然從M是n次多項式，且滿足:，=0

多項式LJx)顯然滿足插值條件LJx,J=y”=O,L,??,n),

我們稱b為n次拉格朗日插值多項式，同樣由唯一性，n+1個節(jié)點

的n次拉格朗日插值多項式存在且唯一.

當/(x)在[a,切上充分光滑時，利用羅爾(Rolle)定理可推出:對于任

意xe[a,b],插值多項式p?(x)l的余項Rn(x)=f(x)-pjx)

n

了(計1)⑹n(^-

5+1)!g)gG(a,b).

i=0

例題設了,)=形,取結點為x=l、1.728、2.744求/(x)的二次

拉格朗日插值多項式pjx)及其余項的表達式，并計算P2(2)(6=

1.2599210???).

解：取X。=1,Xi=1.728,x2=2.744為插值結點，則函數f(x)

=改為的相應的函數值為/(X0)=1，/(XI)=1.2,/(X2)=1.4.

于是,由拉格朗日插值公式,

f(x)Qp2(x)

_-J(i-L728)(a:-2.744)

=1?(1-1.728)(1-2.744)

?〔c\.[x—1)(1—2.744)

'.(1.728-1)(1.728-2.744)

1d—一1)(1.728)

(2.744-1)(2.744-1.728)

=-0.0447X2+0.3965X+0.6481將x=2代入就得到海的近似

值游qp2(2)=1.2626

它與準確值的差的絕對值(稱為絕對誤差)約為0.0027,而由插值

余項估計公式，

ID⑸||且.(2-1)(2-1.728)(2-2.744)1

其誤差約為14-181/1W0.0125思考

題：回顧帶拉格朗日余項的Taylor公式，其中的Taylor多項式與

n次拉格朗日插值多項式有什么區(qū)別？

并用函數形在x=l處的二次Taylor多項式計算方的近似值,

并將結果與上述例題比較。

牛頓(((Newton)))插值：⑴函數的差商及其性質設有函數，(x),

其中XjX*???,x〃表示一系列互不相同的節(jié)點，可定義以

下差商：

亂十.丁.]―—―)一了(叼)

一階差商：jJ-g—叼

二階差商：JL?，叼，秋」-戒二￡

n階差商：力加，叫，…，廝]=小。皿，…?北匕，叩…?加

注意差商有下列性質：

⑴差商的可力口性：

磔)

f[xo,?i,??,“72」1一_乙Vn1(

k=on由一叼)

(II)差商的對稱性：在f%XL???,Xn]中任意調換與x

期的次序其值不變.即有"Xo,??,,Xi,???,X則,???,

X?]=f[Xa,???,X????,X"???,xn]

(2)牛頓插值公式由各階差商的定義，依次可得如下結果：/(x)

=/(x0)+(X-x0)f[x,x0]

fix,X0]=f[XQ,XI]+(x-X1)/[x,XQ,X1],f[x,XQ,X1]=f[Xo,XvX2]+(X

Mx,X,,,,,x_i]=f[x,Xi,??

-*2)/[x,XQ,XyX2]0n0

xn]+(x-xn)f[x,X0,?,?,Xn]將以上各式分別乘以1,(X-Xo),(X

-XO)(X-Xi),??,,(x-x0)(x-Xi)???(X-Xn-1),然

后等式兩邊相加可得：f(x)=f(Xo)+(x-Xo)f風,xj+???++(x

-Xo)(X-Xi)???(X-Xn_1)f[x0,X"???，Xn]+(X-Xo)(X-X1)???(X

一Xn)f[x,X0,Xi,???,Xn]記Nn(x)=f(xo)+(X-X0)f[x0,

X11+,??++(X-XO)(X-X1)???(X—X*i)f[Xo,Xi,???,Xn]

顯然Nn(x)是至多n次多項式，且滿足插值條件Nn(Xj)=f(Xj)o

稱此插值多項式為牛頓插值多項式。優(yōu)點:每增加一個節(jié)點，插

值多項式只增加一項，即A/?+i(x)=/V?(x)+(x-x0)(x-Xi)???(X-Xn)f

[XQ,XV???,Xn+1]

從而便于進行遞推運算，且計算量小于Lagrange插值.其余

項為：

R(x)=(x-XoHx-Xi)???[XQ,XV???,xwx],

埃爾米特(((Hermite)))插值：如果對插值函數，不僅要求它在節(jié)

點處與函數同值，而且要求它與函數有相同的一階、二階甚至更

高階的導數值，這就是Hermite插值問題.

本節(jié)主要討論在節(jié)點處插值函數與函數的值及一階導數值

均相等的Hermite插值.

其一般提法為：設已知函數v=/(x)在n+1個互異節(jié)點x0

Xv???,x"上的函數值力=/(x,J和導數值/=(，=0,

1,,,?,n)要求一個至多2n+1次多項式H(X),使得：H(x,)=%

II

H(xi)=y(i=0

滿足上述條件的多項式H(x)稱為Hermite插值多項式，其具

體形式如下所示：口...，叨

n

H(1)=E3［(g一Z)(2Q你一y。+yi］

z=0

n

na；=>----------

h.—n(X~XjI2.n-,-xi-x3

—li\-Xj)，J=04尹

其中j=0.j^iXi3

高次插值多項式的龍格(Runge)現象：用拉格朗日插值多項式

Pn(xl作為區(qū)間［a,切上

連續(xù)函數/(X)的近似函數，在大多數情況下，P/X)的次數越高，

逼近f(x)的效果就越好.

但是對于高階多項式插值問題而言，往往會造成P/X)的收斂

性與穩(wěn)定性變差，逼近效果不理想，甚至發(fā)生龍格現象，這是龍格

(Runge)在20世紀初所發(fā)現的：在［-1,1］上用〃+1個等距節(jié)點作

f(X)=]

函數一的插值多項式為(x),則隨著〃的增大，p/x)振

蕩越來越大計算結果與理論證明表明，當〃趨于無窮大時，pjx)

在區(qū)間中部收斂于/(x),但對滿足條件0.726???lx/<1

的x,pn(x)并不收斂于/(x).因此：我們將每兩個相鄰的節(jié)點用直

線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數記作ln(x)

它滿足以刈=%,且/Jx)在每個小區(qū)間[xMj+J上是線性函數.具

體表示如下：

n

/幾(冗)=52

i=0,

其中

2,(")=

5x

xi-^he

<一旌㈤"

o,其他

這樣構造的“X)有良好的收斂性，即對于XW[a,b]有

lim/?(x)=/(x).

n-*0°

我們可以看出用Mx)計算x點的插值時，只用到其左右的兩個節(jié)

點，所以計算量與節(jié)點個數n無關.但是n越大，分段越多，則

插值的誤差越小.分段線性插值函數在節(jié)點處的一階導數一般不存

在，光滑性不高.許多工程技術中提出的計算問題對插值函數的

光滑性有較高要求.機翼外形，內燃機的進、排氣門的凸輪曲線，都

要求曲線具有較高的光滑程度，要有連續(xù)的曲率。繪圖員的做法是

首先將這些數據點描繪在平面圖紙上,再把一根富有彈性的細直