考點32異面直線所成的角（解析版）

【2022版】典型高考數(shù)學(xué)試題解讀與變式

考點32異面直線所成的角

【考綱要求】

1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題.

2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.

【命題規(guī)律】

異面直線的知識是高考的熱點問題，選擇、填空、解答題都有可能進(jìn)行考查.預(yù)計2018

年的高考對本知識的考查空間向量的應(yīng)用，仍然是以簡單幾何體為載體解決線線問題.

【典型高考試題變式】

(一)空間直線與直線夾角的問題

例1.12017全國3卷(理)】a,》為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形A3C

的直角邊AC

所在直線與〃都垂直，斜邊A3以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線A6與。成60'角時，AB與方成30。角；

②當(dāng)直線A3與a成6()'角時，與人成60'角；

③直線A3與〃所稱角的最小值為45°；

④直線AB與a所稱角的最小值為60°；

其中正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號)

【答案】②③

【解析】由題意知，a,b,AC:.條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖.

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1,故|AC|=1,=

邊鉆以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點保持不變，3點的運(yùn)動軌跡是以C為圓心，1為半

徑的圓.以C為坐標(biāo)原點，以國為了軸正方向，圍為>軸正方向，

C4為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則。(1,0,0),40,0,1),

直線。的方向單位向量a=9,1,0)，H=l.3點起始坐標(biāo)為(OJO)，

直線6的方向單位向量b=。，0,0)，同=1.設(shè)5點在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)B'(cosasina0),

其中。為8'C與8的夾角，6>e[0,271).

那么A3,在運(yùn)動過程中的向量而：=(-cosa-sinai),|畫=3.

「無］|(-cos^-sin0,l).(O,l,O)|V2..&fn72

設(shè)正與“所成夾角為ae,則cosa=--------印時--------=—|sm0\e^0,—

ITjr

故。€75,所以③正確，④錯誤.

7T

設(shè)福與另所成夾角為￡e[0,/],

_陷」_|(-cosdsin，,I).l,0,0)|

當(dāng)正與。夾角為60。時，即。=方,

卜in，|=V2cosa=顯吟=吟當(dāng)

因為cos?6+sin?。=1,所以kos6|=1^.所以cos/=1^cosq=g.

因為尸e0,TT-.所以尸=三TT，此時市與》夾角為60°.所以②正確，①錯誤.故填②③.

【方法技巧歸納】求空間兩條直線的夾角，可以先考察兩條直線是否異面垂直，若垂直,

則化為線面垂直問題或用平移法轉(zhuǎn)化為共面垂直，結(jié)合勾股定理加以證明.一般情形，可通

過平移后通過解斜三角形求兩條異面宜線所成的角.

【變式11改編例題中條件，求兩直線的夾角】如圖，已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,

CD=1,AD=后,ZADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD',直線AC與BD'所

成角的余弦的最大值是.

【答案】國

6

【解析】試題分析：如圖，連接BD，，設(shè)直線AC與所成的角為6.

。是4c的中點.由已知得AC=#，以05為x軸，為丁軸，過0與平面ABC垂

直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0,手,0）,8（孚,0,0），C（0,-噲,0）.作

OH_LAC于〃，連接DH翻折過程中，Z）H始終與AC垂直，則

CD21aV6lx石疝

Cn=-----==----?貝」OH=--，Un=—7=—=---,囚上匕

CA瓜63V66

>/30>/6，vy/nrm，、

D(----cosa,----,----sma)(設(shè)NDHD=a),

636

則麗=(—畫cosa—叵逅,畫sina)，與名平行的單位向量為〃=(0,1,0),

6236

BD'n顯

所以cos0=|cos<BD',n>|=3所以cosa=-l時，cos。取得

BD'\\n\

j9+5cosa

最大值，為如.

6

【變式二】【改編例題中結(jié)論，求解動態(tài)問題】在四棱柱A8CO-4ACA中，A4,1

平面A/CQI，底面A4GA是邊長為。的正方形，側(cè)棱A4,的長為〃，E為側(cè)棱84上

的動點（包括端點），則（）

A.對任意的a,b,存在點E,使得用O_L￡G

B.當(dāng)且僅當(dāng)時,存在點E,使得用￡>_LEG

C.當(dāng)且僅當(dāng)時,存在點E,使得B|O_LEG

D.當(dāng)且僅當(dāng)匕時，存在點E,使得用。_LEG

【答案】C

【解析】試題分析：以。為坐標(biāo)原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則用(a,a,O),

0(0,0,))，C1(0,a,0),設(shè)￡(a,a,f)(0〈t4匕)，

所以B^D—(—<2,—a,Z?),EC\—(—o,0,—f)?

所以瓦萬?皮=。2一活，令“2—仍=0,r=土，由04幺得。4匕，

bb

所以當(dāng)且僅當(dāng)“W人時，存在點E,使得用OLEG，故選項C正確.

(二)異面直線的夾角

例2.(2021高考全國乙卷文10理5)在正方體ABC。-AgGR中，P為片。的中點,

則直線與AA所成角為()

71717171

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【分析】平移直線AR至BC「將直線依與AR所成的角轉(zhuǎn)化為P3與BQ所成的角，解

三角形即可.

【解析】如圖，連接5儲,PG，P6,'：AD,//BC,,：.ZPBC,或其補(bǔ)角為直線尸B與AD,

所成的角，：B4d.平面A4GA，J.PG，又PC1工BQ1,BB]CBQ1=B],

/.PC]_L平面PBB,,：.PC,1PB,

設(shè)正方體棱長為2,則8&=2血,尸sinNP8G=q$=〈，

23C12

77

AZPBC］故選D.

【方法技巧歸納】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到

（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角.

（2）向量法：利用向量法求異面直線所成角的步驟

建系：選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角1

坐標(biāo)系：

定向量：確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，從而

確定異面直線的方向向量

計算：利用向量的夾角公式求出向量夾角的余

弦值

下星論：兩異面直線所應(yīng)篇的叁弦值,于兩方］

、向___向__量___夾__角__余___弦__值__的___絕__對___值____________________I,

3.注意向量法求異面直線所成角與向量夾角的區(qū)別，尤其是取值范圍.

【變式1】【改編題目條件和結(jié)論，利用向量法求解】已知正四棱錐P-ABC。中，

PA=AB=2,E,P分別是PB,PC的中點，則異面直線AE與8/所成角的余弦值為

【答案】C

【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

可知A(J5,O,O)，4o,與用間0,0,0），+孚0,等

則荏J-五,交，立〕，麗=

【變式2】【改編題目條件和結(jié)論，利用普通方法求解】如圖，在四棱錐P-A3QD中,

PO_L平面ABC。，E為線段AP的中點，底面ABC。為菱形，若3O=2a,PC=4a,

則異面直線。E與PC所成角的正弦值為（）

【答案】B

【解析】如圖，?.?DB，AC,DB_LPO,.,.DB，平面尸AC從而。0，。石，又

EO=LpC=2a,DO=LDB=a所以。石，4/+/=6

22

故選B.

【數(shù)學(xué)思想】

1.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解決（當(dāng)然包

括解題）都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體

現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，以上

三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)

法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段.所以說，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.

2.轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，非等價轉(zhuǎn)化又分為強(qiáng)化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化

等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能保證轉(zhuǎn)化的結(jié)

果仍為原問題所需要的結(jié)果，非等價轉(zhuǎn)化其過程則是充分的或必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能給人帶

來思維的啟迪，找到解決問題的突破口，非等價變形要對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修改.

非等價轉(zhuǎn)化（強(qiáng)化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化）在思維上帶有跳躍性，是難點，在壓軸題的解答中常常

用到，一定要特別重視！

3.轉(zhuǎn)化與化歸的原則

（1）熟悉化原則：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題；

（2）直觀化原則：將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；

（3）簡單化原則：將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的

問題；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便與解決.

（4）正難則反原則：若過正面問題難以解決，可考慮問題的反面，從問題的反面尋求突破

的途徑；

（5）低維度原則：將高維度問題轉(zhuǎn)化成低維度問題.

4.轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型

（1）正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化；

（2）常量與變量的轉(zhuǎn)化；

（3）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；

（4）數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化；

（5）相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化；

（6）實際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.

5.常見的轉(zhuǎn)化方法

（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；

（2）換元法：運(yùn)用“換元”把非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問題;

（3）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；

（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；

（5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途

徑；

（6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；

（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題;

（8）一般化方法：若原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通

過一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

（9）等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的；

（10）補(bǔ)集法：（正難則反）若過正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合A,而把包

含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U,通過解決全集U及補(bǔ)集獲得原問題的解決.

立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸，主要利用直接轉(zhuǎn)化法或坐標(biāo)法，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題、將

幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題加以解決.

【空間角的范圍處理錯誤注意點】

解決此類問題，要注意各種空間角的給定范圍，容易在范圍上出現(xiàn)問題.

【典例試題演練】

一、單選題

1.（2022.廣西南寧.模擬預(yù)測（理））如圖是長方體的展開圖，且ABFE為正方形,

其中P、。分別為AE＞、”/的中點，下列判斷①AM//CG,②AF11DK,③BPUJQ,④

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根據(jù)長方體的展開圖，還原長方體，根據(jù)圖形求解即可.

【解析】

將展開圖還原成長方體，如圖

H(N.E)

由圖可知①AA///CG不正確，②AF//DK正確，③不正確，由">=2A8,ABFE

為正方形知/GQ/=90。，故④正確，

綜上②④正確.故選C.

2.（2022.全國?高三月考）兩條異面直線與同一平面所成的角不可能是（）

A.兩個角均為60°

B.一個角為0。，一個角為90°

C.兩個角均為0。

D.兩個角均為90°

【答案】D

【分析】根據(jù)線面角的概念與線面的位置關(guān)系對每個選項分別進(jìn)行判斷，即可得出答案.

【解析】A：如果兩條直線與同一個平面所成的角為60。，則這兩條直線可能平行，可能相

交，也可能異面，，選項A有可能；

B：如果一條直線與平面平行，另一條直線與平面垂直，且兩條直線不相交，此時兩條直線

與平面所成的角一個角為0°，一個角為90。，...選項B有可能；

C：如果兩條直線都與這個平面平行，且這兩條直線不平行，也不相交，則兩直線異面，此

時兩條直線與平面所成的角均為0°,.?.選項C有可能；

D：若兩直線與同一平面所成角都是90，則兩直線都與該平面垂直，故它們平行，不可能

為異面直線，故選項D不可能.故選Z）.

3.（2022?湖南湘潭?一模）如圖，在直四棱柱ABCQ-4BC2中，下列結(jié)論正確的是（）

A.AC與8A是兩條相交直線

B.44,〃平面SBQ

C.B\C//BD\

D.A,C,Bl,R四點共面

【答案】B

【分析】根據(jù)異面直線的判定定理，直線與平面平行的判定定理，四點共面的判定，結(jié)合四

棱柱的性質(zhì)逐一判定即可.

【解析】BQu面ABA，ACc面ABA=A,AWB。，；.AC與8。是異面直線，A錯；

?/AA,//BBt,A4<Z面B&A，u面BBR,；.明〃面BBQ,B正確；

BD，u面BBR,BCD面BBQ=A，及任BQ,，與8R是異面直線，C錯；

如圖所示，A,C,，三點在面AC。上，8a與面ACR相交，.?.A,C,q，，四點不

共面，D錯.

故選B.

4.（2022?四川?樹德中學(xué)高三月考（理））已知四面體A8C。的所有棱長均為應(yīng)，M,N分

別為棱A。，BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于4,8的動點.有下列結(jié)論：

①線段MN的長度為1；

②若點G為線段MN上的動點，則無論點尸與G如何運(yùn)動，直線FG與直線C。都是異面

直線；

③NMFN的余弦值的取值范圍為［0,中）；

④△尸MN周長的最小值為夜+1.

其中正確結(jié)論的為（）

A.①@B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】將正四面體48。放置于正方體中，由M,N所處位置即可判斷①；取48,MN,

CQ中點F,G,E,探討它們的關(guān)系可判斷②；

計算8SZJWBN可判斷③；把正△ACBH正△4)8展開在同一平面內(nèi)，計算即可判斷④并作

答.

【解析】如圖，在棱長為1的正方體上取頂點A,B,C,D,并順次連接即可得四面體4BCC,

其棱長均為應(yīng)，

因M,N分別為棱A￡>,BC的中點，則M,N恰為正方體相對面的中心，即MN=1,①正確;

取48的中點凡MN的中點G,8的中點E,由正方體的結(jié)構(gòu)特征知'G,E共線，即

直線FG與直線CD交于E,②不正確；

△MBN中,BM=y/BD2-DM2=j(V2)2-(―)2=—，BN^—,MN=\,由余弦定理得:

V222

cosNMBN=BN2上..BM?二MN[=旦>旦，當(dāng)點尸無限接近于點B時，cosNMFN無限接

2BNBM35

近于立，③不正確；

3

把四面體A3CC中的正△4CB與正△相?展開在同一平面內(nèi)，連接MN,必過48的中

點，在A8上任取點廣，連MF；NF',如圖，

此時，MP+NF*MN=應(yīng),當(dāng)且僅當(dāng)點尸與線段中點重合時取“="，則對AB上任意

點、F,MF+NP有最小值0,于是得在四面體A8CO中，AFMV周長用尸+NF+MN有最

小值夜+1，④正確，，①④為正確的結(jié)論.故選D.

5.(2022?浙江?高三專題練習(xí))如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中：

①AFHCN；

②8M與AN是異面直線；

③A尸與所成角為60;

?BN±DE.

以上四個結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是（）

A.②④B.③④C.①②③D.②③④

【答案】B

【分析】

作出圖形，利用圖形可判斷①的正誤；證明出四邊形為平行四邊形，可判斷②的正

誤：利用異面直線的定義可判斷③的正誤；證明出平面A6MN,利用線面垂直的性質(zhì)

可判斷④的正誤.

【解析】

對于①，由圖可知，AF、CN異面，①錯：

對于②，在正方體中，AB//MN5.AB=MN,

四邊形A6AW為平行四邊形，故BMHAN,②錯：

對于③，例〃4V,故異面直線A尸與8M所成角為NEAN或其補(bǔ)角，

易知AN=AF=FN,故AAFN為等邊三角形，則/E4N=60\③對；

對于④，?.,四邊形為正方形，則OEL4V,

AB_L平面DEu平面AEWE,.?.￡>￡：_LAB,「A3nA7V=A,DEJ_平面ABMN,

。;BNu平面ABMN,:.DE上BN,④對.故選B.

6.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙做同一道題：已知a,。是兩個不同的平面，m,

〃，/是三條不同的直線，且滿足機(jī)ua,nu0,a[}/3=l甲說：乙說：

-mln?',丙說：“〃〃/”，如果三人說的均是正確的，以下判斷正確的是（）

A.mH/]B.n±a

C.直線機(jī)，/不一定垂直D.直線m，”為異面直線

【答案】D

【分析】將甲、乙、丙三人的說法作為已知條件推理即可得答案.

【解析】結(jié)合甲、乙、丙三人的說法可知，當(dāng)夕，mln,“〃/正確時，可得到機(jī)，/,

故C選項錯誤；

又?：mua,nu0,a[\P=l,故A選項錯誤；

由于〃〃/,機(jī)ua,=m,n,/是三條不同的直線，.?.〃//2,故B選項錯誤；

當(dāng)。，夕，mln,〃〃/正確時，直線也，〃只能為異面直線，故D選項正確.故選D.

7.（2022?上海?華師大二附中高二期中）幾何體「的表面上有三條線段A3、CD、EF,有

AB.CD、EF所在直線兩兩異面，則在①棱柱：②棱錐；③圓柱：④圓錐；⑤球中，「有

可能是（）

A.夠③B.①②④C.①③④D.③④⑤

【答案】A

【分析】根據(jù)異面直線的定義以及幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可求解.

【解析】由圖可知，「有可能是棱柱，

由圖可知，「有可能是圓柱,

由于圓錐側(cè)面上的直線都相交于一點，

不可能存在三條兩兩異面的直線，故r不可能為圓錐；球的表面不存在直線，故故「不可

能為球.故選A.

二、多選題

8.（2022.福建?福州三中高三月考）如圖，已知圓錐的軸截面以B為等腰直角三角形，底面

圓O的直徑為2.C是圓O上異于A,8的一點，。為弦的中點，E為線段P8上異于P,

8的點，以下正確的結(jié)論有（）

A.直線ACJ.平面PDOB.CE與PD一定為異面直線

C.直線CE可能平行于平面尸￡>。D.若BC=0，則C￡+A￡的最小值為6+1

【答案】ABD

【分析】

利用線面垂直定理可判斷A,由異面直線判定可判斷B,利用反證法可判斷C,利用平面幾

何知識可判斷D.

【解析】

對于A項：在△AOC中，OA^OC,。為4c中點，

AAC1OD,又尸。垂直于圓O所在的平面，

/.PO1AC,：POnO￡>=O,AC,平面P。。，故A正確.

對于B項：由于P,C,E共面，且。在平面PCE外，與異面，故B正確.

對于C項：：）〃。?？傻谬垺ㄆ矫鍼OO,若直線CE//平面P。。，則有平面PBC〃平面

PDO,這與兩平面有公共點P矛盾，故C錯.

對于D項：在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面尸BC繞P8旋轉(zhuǎn)至平面PBC',使之與平面a8共

面，如圖所示，

則當(dāng)A,E,C'共線時，CE+AE取得最小值，

VAB=2,BC'=叵=PB=PC',ZA8C'=105°,

由余弦定理可得AC'=K+1,即CE+AE的最小值為8+1,故D對.

故選ABD.

9.(2022?廣東?深圳市龍崗區(qū)平岡中學(xué)高三月考)已知正方體ABCD-AEGA中，點E為棱

的中點，點尸是線段G。上的動點，AA=2,則下列選項正確的是()

A.直線AP與瓦E是異面直線

B.點尸到平面AEB,的距離是一個常數(shù)

C.過點C作平面AE瓦的垂線，與平面ABC。交于點Q,若印=3印，則?！笆?/p>

D.若面CDRG內(nèi)有一點。，它到C。距離與到C4的距離相等，則。軌跡為一條直線

【答案】ABC

【分析】

利用異面直線的定義判斷選項A；

證明CQ〃平面AEB」即可說明點P到平面AEB,的距離是一個常數(shù)；

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷選項C；

判斷出QG為點。到G片的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，。的軌跡為拋物線的一部分，故

可判斷選項D.

【解析】

對于選項A,如圖，APu平面A&CQ,4Ec平面A8CQ=81,

故直線"與AE不平行，且用

故直線"與BE不相交，.?.直線”與B盧是異面直線，故選項A正確；

對于選項B,在正方體中，GQ//A6，=Aqu平面AEB一6。0平面4后81,

.?.6。〃平面4￡片，又PeCQ,故點尸到平面AE4的距離是一個常數(shù)，故選項B正確；

對于選項C,以點。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),5,(2,2,2),￡(0,0,1),C(0,2,0),

.?.礫=(0,2,2),/=(-2,0,1),

?.,空=3印，則尸(0,言，.?.福=(-2蕓，

設(shè)存在QeAP,設(shè)而“麗=(-22孕孕)，則Q(-22+2,*2),

—?44

^Cg=(-22+2,-2-2,-2),

???C0_L平面A%

44

(-2-2)x2+-2x2=0

①?碼=0333

即《'解得人“

CQAJE=04

(-22+2)x(-2)+-2=0

則Q（31）,滿足條件，故選項C正確；

對于選項D,平面C￡?AG，又QGu平面C￡?AG，

CB、±QG，即QG為點Q到C#的距離,

根據(jù)拋物線的定義可知，Q的軌跡為拋物線的一部分，故選項D錯誤.

10.（2022?江蘇?高三開學(xué)考試）如圖，已知圓錐的軸截面A4B為等腰直角三角形，底面圓。

的直徑為2,C是圓。上異于A,B的一點，。為弦AC的中點，E為線段依上異于P,B

的點，以下正確的結(jié)論有（）

A.直線AC_L平面尸￡）0

B.CE與尸。一定為異面直線

C.直線CE可能平行于平面叨O

D.若BC=0，則CE+OE的最小值為6+瓜

2

【答案】ABD

【分析】

證明AC_LDO,PO_LAC利用線面垂宜的判定定理可判斷A；由異面直線的定義可判斷B；

假設(shè)CE〃平面P。。，可證得平面PDO//平面PBC與已知矛盾可判斷C；在三棱錐P-ABC

中，將側(cè)面3cp繞形旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面，當(dāng)。，E，C'共線時，

CE+OE取得最小值可判斷D,進(jìn)而可得正確選項.

【解析】

對于A：在△AOC中，VOA=OC,。為AC的中點，AAC±DO,

又尸。垂宜于圓0所在的平面，，PO,4C,；OOnPO=O，

AC_L平面PDO>A正確.

對TB：?；CEu面PBC,P。二面PBC,PDc而PBC=P,P史CE,

根據(jù)異面直線判定定理知CE與PD一定為異面直線，；.B正確.

對于C：若直線CE平行于平面PD。，,?CB//OD.CB<z平面POO,0￡>u平面POO,則

⑦〃平面PDO,C￡cCB=C,；.平面P。。〃平面PBC與平面POO和平面PBC相交矛盾,

.'.C不正確.

對于D：在AP08中，PO=OB=l,NPO8=90。，:?PB=R7^=近，

同理PC=0，APB=PC=BC.

在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面8cp繞P8旋轉(zhuǎn)至平面BCP,

使之與平面共面，如圖所示，

當(dāng)。，E,C'共線時，CE+OE取得最小值.

XVOP=OB.C'P=CB,

：.OC垂直平分PB,即E為您的中點，

AKifoOC'=OE+EC'=—+—=二十",

222

亦即CE+OE的最小值為應(yīng)+”,，D正確.

2

故選ABD.

11.（2022.廣東?廣州市培英中學(xué)高二月考）正方體"CD-AAGR的棱長為2.點P在正

方體的體對角線。由上（包含端點），點。在正方體的棱CC,上（包含端點），則（）

A.直線。再與CG的距離為2

B.點P在上運(yùn)動，點。在CG上運(yùn)動時，|PQ|的最小值為應(yīng)

C.當(dāng)點P、。分別為R8、CG的中點時，尸。到面A3CD的距離為1

D.當(dāng)點。為棱CC的中點，點P在。/上運(yùn)動時，存在點尸，使得PQJ?面8。。蜴

【答案】BCD

【分析】

作出直線由VCG的中垂線，進(jìn)而判斷A,B,通過線面垂直的證明可以判斷C和D.

【解析】

如圖：

當(dāng)P,。分別為,CG的中點時，取BD中點M,連接PM，MC,則PM//DQ,PM=g?D,

易知QC"D、D,QC=；D、D,：.PM"QC,PM=QC,則四邊形PMCQ為平行四邊形，，

PQ//MC,PQ=MC.易知MCLBD,而〃。，平面ABCD,MCu平面ABCD，則

DQ1.MC,又D、DcBD=D,MCL平面88aO,則MCJLBR,又PQ/IMC,：.

PQ1BDt.又?.?CGJ_MC,.?.CGJ.PQ.于是P。是8。與CC,的垂線段，且

PQ=MC=42.故A錯誤，?.?連接兩條異面直線上兩點的線段中，垂線段的距離最大，故

B正確；

而此時PQ到面ABCD的距離d=PM=l,故C正確；

由前面的證明可知，此時MCI.平面BBQQ,PQ//MC,PQL平面B8QD,故D正確.故

選BCD.

三、填空題

12.（2022?陜西?西安中學(xué)高三月考（理））已知四面體A8CD的所有梭長均為正,M、N

分別為棱A。、BC的中點，F(xiàn)為棱A8上異于A、B的動點.則下列結(jié)論中正確的結(jié)論的

序號為.

①線段MN的長度為1；

②若點G為線段上的動點，則無論點F與G如何運(yùn)動，直線尸G與直線8都是異面直

線；

③NA//W的余弦值的取值范圍是［o,乎）；

④AFMN周長的最小值為忘+1.

【答案】①④

【分析】將正四面體放在正方體中觀察.

對于①，可根據(jù)“、N分別為正方體前后兩個面的中心可得出結(jié)論；

對于②，尸取為AB的中點，G取為MN的中點，此時FG與CZ）相交；

對于③，計算可得cosNMBN=?>好,由逼近思想可作出判斷：

35

對于④，空間問題平面化的技巧，將三角形ABC與4冷放在同一平面上，可計算出

MF+FN>42.

【解析】在棱長為1的正方體上取如下圖所示的四個頂點依次連接，即可得到棱長為&四

面體ABC。，

顯然，M、N分別為正方體前后兩個面的中心，故線段MN的長度為正方體棱長1,故①

對；

對于②，如圖，尸取為的中點，G取為MN的中點，/取為8的中點，則由正方體的

性質(zhì)易知，F(xiàn)、G、/三點在一條直線上，故此時FG與CD相交于1,故②錯；

131

故cosNMBN=

又有MN=135

2.叵.星一

故尸點無限接近6點時，COS/MRV會無限接近且，故NMFN的余弦值的取值范圍不為

3

對于④，如圖將等邊三角形ABC與曲鋪平，放在同一平面上，

故有N'F+FM'2MM=夜，當(dāng)且僅當(dāng)尸為A8中點時加尸+機(jī)取最小值,

故在正方體中加尸+尸NW0，故AAWN周長的最小值為a+1，故④對.

故答案為：①④.

13.（2019?全國全國?高三專題練習(xí)）已知四棱錐P-AfiCD的底面ABC。是矩形，24_1_底

面A8CO,點E、尸分另IJ是棱PC、PD的中點，則①棱AB與PD所在直線垂直：②平面P8C

與平面ABCD垂直；③APCD的面積大于△P4B的面積；④直線AE與直線BF是異面直

線.以上結(jié)論正確的個數(shù)為個

【答案】2

【分析】由線面垂直可判斷①；由面面垂直的定義可判斷②；由AB=C。，可判斷

③；由EF/MB可判斷④.

【解析】對于①：由PA_L底面A8C。得R4J_A3,由A8CO是矩形得AB_LA。，又

P4cAZ）=A,則AB_L平面PAD,AABJ,PD.故①正確；

對于②：仿①可證得CBJ■平面E4B,則CB_LPB,CB_LAB,，NP8A是平面P5C與平面

ABCO所成二面角的平面角，顯然ZPA"90..平面P5C與平面ABCD不垂直，故②錯

誤；

對于③：APCD的面積E=gxCQxP。，△R4B的面積S2=gxA8xAP,VAB=CD,

PD>AP，：.S\>S”故③正確;

對于④：：點E,尸分別是棱PC,的中點，則歷〃8,>LAB//CD,C.EFHAB,因此

AB,瓦尸四點共面，故④錯誤.故答案為：2.

14.（2022?上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，

①與是異面直線；②CN與BE平行；③CN與8M成60。角：④DW與8N垂直.請

寫出所有正確結(jié)論的序號.

【答案】①②③④

【分析】由已知中的正方體平面展開圖，畫出正方體的直觀圖，結(jié)合正方體的幾何特征，判

斷題目中的命題即可.

【解析】由已知正方體的平面展開圖，得到正方體的直觀圖，如圖所示：

由正方體的幾何特征得：

①與是相對兩個平行平面的兩條異面的對角線，二①正確；

②CN與m是相對兩個平行平面的兩條平行的對角線，，②正確；

③連接AN,〃⑷V,二N4NC為異面直線。V與所成的角，為等邊三角

形，...N/WC=60。，...異面直線CN與8M所成的角為60。，，③正確；

@VDMINC,8cl平面DMu平面DOWN,:.BC工DM,BCANC=C,

BC,NCu平面BCN,；.平面8CN,又8Nu平面BCN,Z.DMVBN,...④正確；

綜上，正確的命題是①②③④；

故答案為：①②③④.

E

AB

15.（2022?上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，質(zhì)點M從正方體ABCC-A￡G。的頂點A出

發(fā)，沿