專題13立體幾何初步

專題13立體幾何初步一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)，但不一定相等側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2、特殊的棱柱和棱錐（1）側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．（2）底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱長均相等的正三棱錐叫做正四面體．反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心．【注意】（1）棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱．（2）棱臺(tái)的所有側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺(tái)．（3）注意棱臺(tái)的所有側(cè)棱相交于一點(diǎn)．3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線任一直角邊所在的直線垂直于底邊的腰所在的直線直徑所在的直線母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)4、空間幾何體的直觀圖（1）畫法：常用斜二測畫法．（2）規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?）直觀圖與原圖形面積的關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形；S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．知識(shí)點(diǎn)2空間幾何體的表面積和體積1、空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點(diǎn)=1\*GB3①幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．=2\*GB3②組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．2、柱體、錐體、臺(tái)體側(cè)面積間的關(guān)系（1）當(dāng)正棱臺(tái)的上底面與下底面全等時(shí)，得到正棱柱；當(dāng)正棱臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到正棱錐，則S正棱柱側(cè)＝ch′eq\o(←,\s\up7(c′＝c))S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′eq\o(→,\s\up7(c′＝0))S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′.（2）當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí)，得到圓錐，則S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(←,\s\up7(r′＝r))S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圓錐側(cè)＝πrl.3、柱體、錐體、臺(tái)體體積間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、四個(gè)公理（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．作用：判斷一條直線是否在某個(gè)平面內(nèi)的依據(jù)（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．【拓展】公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．作用：公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．作用：公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2、等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3、直線與直線的位置關(guān)系（1）空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)（2）異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：(0°，90°]．4、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示5、兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上)符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示知識(shí)點(diǎn)4直線、平面平行的判定與性質(zhì)1、直線與平面平行（1）直線與平面平行的定義：直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．（2）判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2、平面與平面平行（1）平面與平面平行的定義：沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面．（2）判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b3、平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面、面面平行時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過于“模式化”．知識(shí)點(diǎn)5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1、直線與平面垂直（1）定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．（2）判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2、直線和平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是eq\a\vs4\al(0).（2）范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、平面與平面垂直（1）二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．（2）平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．（3）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α謹(jǐn)記五個(gè)結(jié)論（1）若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．（2）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．（5）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．4、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件．同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．一、求空間幾何體表面積的常見類型及思路1、求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；2、求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系3、求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積；【注意】在求解組合題的表面積時(shí)，注意幾何體表面的構(gòu)成，尤其是重合部分，面積不要多加或少加【典例1】（2023秋·廣東廣州·高三校考階段練習(xí)）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖l是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中A是圓錐的頂點(diǎn)，B，C分別是圓柱的上?下底面圓的圓心，且，，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是.【答案】【解析】因?yàn)橥勇莸牡酌鎴A的半徑為，由，則，即圓柱的母線長為，所以圓錐的母線長為，則圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的底面積為，所以該陀螺的表面積為.【典例2】（2023春·海南海口·高三統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)圓臺(tái)形的水杯，圓臺(tái)的母線長為12，上?下底面的半徑分別為4和2.為了防燙和防滑，該水杯配有一個(gè)皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計(jì)，則此杯套使用的皮革的面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知杯套部分依然是圓臺(tái)，則此杯套使用的皮革的面積即為對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的側(cè)面積加上較小底面面積；如圖，作出水杯的軸截面，作于G，設(shè)為杯套部分對(duì)應(yīng)的軸截面，AG交EF與H，則，，則由∽可得，故，故此杯套使用的皮革的面積為，故選：C【典例3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長分別為和，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】正六棱柱的六個(gè)側(cè)面面積之和為，正六棱柱的底面面積為，如圖所示，正六棱臺(tái)中，，過點(diǎn)分別作垂直于底面于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，則分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，則為正六棱臺(tái)的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，所以正六棱臺(tái)的斜高為，故正六棱臺(tái)的側(cè)面積為，又正六棱臺(tái)的下底面面積為，所以該花燈的表面積為．故選：A．二、空間幾何體的體積1、處理空間幾何體體積的基本思路（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；（2）拆：將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算；（3）拼：將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原乘一個(gè)四棱柱，還臺(tái)位錐，這些都是拼補(bǔ)的方法。2、求體積的常用方法（1）直接法：對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為3和6，則該圓臺(tái)的體積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為，則其面積為，解得，所以扇環(huán)的兩個(gè)圓弧長分別為和，設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，高為，所以，解得，，解得，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：圖中，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：.故選：A.【典例2】（2023秋·廣東珠?！じ呷？茧A段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，四棱錐的體積為.【答案】【解析】取中點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以四棱錐的高即的邊上的高.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以垂直平分，所?在中，，所以由余弦定理得，所以，，因?yàn)椋栽谥?，由余弦定理?所以，設(shè)中邊上的高為，則，所以所以四棱錐的體積.故答案為：【典例3】（2023秋·浙江金華·高三階段練習(xí)）如圖，已知多面體的底面與頂面平行且均為矩形.若，，則該多面體的體積為（）A．B．37C．D．47【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)在底面的投影分別為，延長分別交底面矩形于兩點(diǎn)，延長交于兩點(diǎn)，由條件易得，所以幾何體的高為，該幾何體的體積可分割為兩個(gè)幾何體的體積加兩個(gè)幾何體的體積再加長方體的體積.易得，同理，，故該幾何體體積為：.故選：C三、共線共點(diǎn)共面證明方法1、證明點(diǎn)或線共面問題的2種方法（1）首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2、證明點(diǎn)共線問題的2種方法（1）先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；（2）直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(如某兩個(gè)平面的交線)上．3、證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．【典例1】（2023秋·山西大同·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）已知正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．三點(diǎn)共線B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面D．四點(diǎn)共面【答案】ABC【解析】連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)是平面和平面的交點(diǎn)，所以，，，三點(diǎn)共線，故A正確；因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以,,,四點(diǎn)共面，,,,四點(diǎn)共面，故BC正確；取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由題意得，，所以，即為的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，，不共線，平面，平面，為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)平面，，，，四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò).故選：ABC.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，分別在上，與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.【答案】證明見解析【解析】平面，平面，同理，平面.是平面與平面的公共點(diǎn).又平面平面，,三點(diǎn)共線.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面，且，設(shè)在梯形中，，且.求證：共點(diǎn)．【答案】證明見解析【解析】如圖，梯形中，因?yàn)?，所以與必交于一點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以共點(diǎn)．四、平移法求異面直線所成角的步驟第一步平移：平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；(3)補(bǔ)形平移第二步證明：證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角第三步尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之第四步取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，圓柱的軸截面為矩形，點(diǎn)M，N分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】連接，設(shè)，則是的中點(diǎn)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角.由于，，所以，由于，而是圓柱底面圓的直徑，則，所以，則，，而，在三角形中，由余弦定理得.故選：D【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如下圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，由題意有，，所以與所成角的大小等于，不妨設(shè)，則，所以，又因?yàn)榍?，所以，；由余弦定理可得，所以與所成角的余弦值為.故選：A.【典例3】（2023秋·云南曲靖·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長均為2，動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，分別為線段中點(diǎn)，且平面，則當(dāng)取最大值時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以為直角三角形，所以?dāng)最短時(shí)，取最大值，可知，即為的中點(diǎn)時(shí)，取最大值，因?yàn)榉謩e固定在線段的中點(diǎn)處，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，則∥，且，且∥，可知異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角）且分別為線段的中點(diǎn)，則∥，且，且∥，且，可得∥，且，可知為平行四邊形，則∥，且，又因?yàn)槠矫?，則平面，由平面，可得，可得，在中，由余弦定理可得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A五、證明直線與平面平行的方法1、線面平行的定義：一條直線與一個(gè)平面無公共點(diǎn)(不相交)．2、線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線．3、面面平行的性質(zhì)：①兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面，即α∥β，a?α?a∥β；②兩個(gè)平面平行，不在兩個(gè)平面內(nèi)的一條直線與其中一個(gè)平面平行，則這條直線與另一平面也平行，即α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β.【典例1】（2022秋·黑龍江雞西·高三?？茧A段練習(xí)）如圖甲，在梯形中，，，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起（如圖乙），求證：（1）//平面；（2）//平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）由于梯形中，折疊后仍有//，又平面，平面，根據(jù)線面平行的判定，//平面；（2）連接交于，連接，依題意得，//，，于是四邊形是平行四邊形，故為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線可得，//，又平面，平面，故//平面.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，為的中點(diǎn).求證：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，、、的中點(diǎn)分別為、、，點(diǎn)在上，．求證：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：設(shè)，因?yàn)?，則，且，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，則，解得，即為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，同理，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?六、證明面面平行的常用方法1、利用面面平行的定義．2、利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．3、利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”．4、利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”．5、利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．【典例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方體中，M，N，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，求證：面面.【答案】證明見解析【解析】如下圖所示：連接，因?yàn)榱骟w是正方體，且M，N，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以且，所以，即四邊形是平行四邊形，因此，又因?yàn)槊?，面，所以面，同理可得面，又因?yàn)槊?，面，且，因此面?【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，為所在平面外一點(diǎn)，、、分別為、、的重心．求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】如圖，記的中點(diǎn)分別為；連接；連接；因?yàn)榉謩e為、的重心，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?同理平面，又，平面，所以平面平面．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在圓柱中，等腰梯形ABCD為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形ABFE是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線．求證：平面平面ADE．【答案】證明見解析【解析】在圓柱中，，平面，平面，故平面；連接，因?yàn)榈妊菪螢榈酌鎴A的內(nèi)接四邊形，，故，則為正三角形，故，則，平面，平面，故平面；又平面，故平面平面．七、證明線面垂直的方法1、線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.2、面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.3、性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，，，，，，.證明：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：，∴為等腰直角三角形，又M為AC的中點(diǎn)，AC＝2，∴，且，又，，綜上有：，又，即，，又，平面，平面.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．【答案】證明見解析【解析】證明：由條件、為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，，由余弦定理得從而在中，，得為直角三角形，且，又面面，面面，且，面，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得面由面,所以因此由，，，平面，所以平面，即面POD.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形中，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).將沿折起到的位置，如圖．證明：平面．【答案】證明見解析【解析】證明：在等腰梯形中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，則.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在等腰梯形中，可得.連接，在中，由余弦定理可得，則，所以，則.因?yàn)?、分別是、中點(diǎn)，所以，所以，從而可得，，因?yàn)椋?、平面，所以平面．八、證明面面垂直的兩種方法法1：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角問題；法2：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直加以解決。【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】由兩兩垂直，即且，面，所以平面，又平面，所以，由，且分別為線段的中點(diǎn)，所以，又，面，所以平面，而平面，所以平面平面.【典例2】（2023·四川成都·校考模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面ABCD為矩形，為邊長為2的正三角形，且平面平面ABCD，E為線段AD的中點(diǎn)，PE與平面ABCD所成角為45°.（1）證明：；（2）求證：平面平面PBC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）取AB中點(diǎn)O，連接PO、OE，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，為邊長為2的正三角形，所以，從而平面ABCD∴為PE與平面ABCD所成角，∴，即∴又∵所以在中，，∴；（2）在中，，取PC的中點(diǎn)F，所以，取PB中點(diǎn)G，連接AG，易得，又所以,且∴平面PBC，又平面PEC，所以平面平面PBC.【典例3】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一個(gè)類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長為2的正方形，.（1）證明：平面平面.（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別取和的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的正方形，，所以.在梯形中，，分別作垂直于，垂足分別為，則，故由勾股定理得，所以，易知，故.又，所以，因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?

（2）連接.因?yàn)?，所以四邊形的面積，所以.因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋矫?，所以平面，?因?yàn)椋?，即四棱錐的體積為.九、外接球和內(nèi)切球的解題思路1、求解幾何體外接球的半徑的思路（1）根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面圓的距離d三者的關(guān)系R2＝r2＋d2求解，其中，確定球心的位置是關(guān)鍵；（2）將幾何體補(bǔ)成長方體，如本例(2)，利用該幾何體與長方體共有外接球的特征，由外接球的直徑等于長方體的體對(duì)角線長求解．2、解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：第一步定球心：如果是內(nèi)切球，則球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，則球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；第二步作截面：選準(zhǔn)最佳角度作截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；第三步求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程，并求解?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，且，，則三棱錐的體積為．【答案】【解析】因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，所以將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長方體，則長方體的體對(duì)角線等于三棱錐外接球的直徑，因?yàn)槿忮F外接球的表面積為，所以，得，所以，，得，所以.【典例2】（2023秋·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的球面上，，則（）A．或B．C．2或4D．4【答案】A【解析】設(shè)正方形的中心為，則底面，球心在上．設(shè)球的半徑為，則，解得．因?yàn)椋?，由勾股定理得，解得?，所以或．故選：A【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐中，與均為邊長為的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，，因?yàn)槠矫嫫矫妫钥傻闷矫?，平面，取的外心，的外心，分別過作平面與平面的垂線交于點(diǎn)，即為球心，連接，易得，，，.故選：B.易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)斜二測法規(guī)則掌握不牢點(diǎn)撥：由斜二測法畫直觀圖步驟如下：①建立坐標(biāo)系；②“位置規(guī)則”——與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；③“長度規(guī)則”——圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半?！镜淅?】（2024·全國·高三專題練習(xí)）水平放置的的直觀圖如圖，其中，，那么原是一個(gè)（）A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形【答案】A【解析】由圖形知，在原中，，如圖，因?yàn)?，所以，，，又?為等邊三角形.故選：A【典例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，作平面直角坐標(biāo)系，使與重合，在軸上，且，在軸上，且，過作，且，連接，則直角梯形為原平面圖形，其面積為．故選：C【典例3】（2023·山東濟(jì)南·一模）已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】正三角形的高為，根據(jù)斜二測畫法的知識(shí)可知，直觀圖的面積為.故選：B易錯(cuò)點(diǎn)2空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清點(diǎn)撥：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對(duì)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷，逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確，考慮問題全面細(xì)致?！镜淅?】（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【解析】對(duì)于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.【典例2】（2023秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）己知是不重合的三條直線，是不重合的三個(gè)平面，則（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，，則【答案】C【解析】對(duì)于A，若，，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則與可能平行或相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，則存在，，使得，，，又，，，又