高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練19 專題五 立體幾何過關(guān)檢測(cè) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題突破練19專題五立體幾何過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1.(2019天津?qū)嵵心M六,理4)若l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.18 B.17 C.163.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l4.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1 B.2 C.4 D.85.(2019山東青島二模,理7)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)棱與底面所成線面角的最小角的正弦值為()A.1 B.22 C.23 D6.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是(A.17π B.18π C.20π D.28π7.(2019山東聊城一模,理7)如圖,圓柱的軸截面為正方形ABCD,E為弧BC的中點(diǎn),則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.33 B.C.306 D.8.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4π B.9π2 C.6π D9.(2019河北衡水同卷聯(lián)考,理10)在邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△A'DE的位置,使得A'B=210,則直線A'B與底面BCDE所成角的正弦值為()A.1010 B.3010 C.701010.(2019河南名校聯(lián)盟壓軸卷四,理10)一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2,圓錐的母線與底面的夾角為π4,圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體,則這個(gè)正方體的體積為(A.2(2-1) B.8(2-2)3C.8(2-1)3 D.8(2+1)311.(2019新疆烏魯木齊二模,理11)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)定點(diǎn),∠ABC=60°,AC=2,P為球O的球面上的動(dòng)點(diǎn),記三棱錐P-ABC的體積為V1,三棱錐O-ABC的體積為V2,若V1V2的最大值為3,則球OA.16π9 B.64π9 C.312.(2019北京師大附中模擬三,理8)已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C與C1D所成角的余弦值為64,B1C與底面ABCD所成角的正弦值為32,則C1D與底面ABCD所成角的余弦值為(A.12 B.22 C.63二、填空題13.α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m?α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號(hào))

14.(2019天津卷,理11)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為5.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.

15.在三棱錐D-ABC中,CD⊥底面ABC,AC⊥BC,AB=BD=5,BC=4,則此三棱錐的外接球的表面積為.

16.(2019北京師大附中模擬三,理13)某工廠現(xiàn)將一棱長(zhǎng)為3的正四面體毛坯件切割成一個(gè)圓柱體零件,則該圓柱體體積的最大值為.

三、解答題17.(2019江蘇卷,16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),AB=BC.求證:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.18.(2019四川成都二模,理19)如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),CD=2AB=2EF=4,M為DF中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形BEFC沿EF折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如圖②所示的多面體.在圖②中,(1)證明:EF⊥MC;(2)求二面角M-AB-D的余弦值.19.(2019山東濟(jì)寧一模,理18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,AB=3,AD=23,AP=3.(1)求證:平面PCA⊥平面PCD;(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點(diǎn),若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角E-AB-D的余弦值.20.(2019北京卷,理16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)F在PC上,且PFPC(1)求證:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上,且PGPB=23,判斷直線AG21.(2019天津卷,理17)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF∥平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值為13,求線段CF的長(zhǎng)22.(2019山東菏澤一模,理18)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,AD⊥DC,AB∥DC,DC=2AB,PD=1,BC=2,BC⊥BD,設(shè)Q為棱PC上一點(diǎn),PQ=λPC.(1)求證:當(dāng)λ=15時(shí),AQ⊥PC(2)試確定λ的值使得二面角Q-BD-P為45°.參考答案專題突破練19專題五立體幾何過關(guān)檢測(cè)1.B解析若l⊥m,因?yàn)閙⊥平面α,所以l∥α或l?α;若l∥α,因?yàn)閙⊥平面α,所以l⊥m,所以“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件.2.D解析由題意知該正方體截去了一個(gè)三棱錐,如圖所示,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則V正方體=a3,V截去部分=16a3,故截去部分體積與剩余部分體積的比值為3.D解析因?yàn)閙⊥α,l⊥m,l?α,所以l∥α.同理可得l∥β.又因?yàn)閙,n為異面直線,所以α與β相交,且l平行于它們的交線.故選D.4.B解析由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2=5πr2+4r2=165.C解析由幾何體的三視圖可得幾何體的直觀圖如圖所示,根據(jù)三視圖中的線段長(zhǎng)度,得AB=22,BE=AE=DE=2,由勾股定理得CE=5,從而得AC=4+(5)2=3,所以側(cè)棱AC6.A解析由三視圖可知該幾何體是球截去18后所得幾何體,則78×4π3×R3=28π3,解得R=2,所以它的表面積為78×4πR2+347.D解析取BC的中點(diǎn)H,連接EH,AH,則∠EHA=90°.設(shè)AB=2,則BH=HE=1,AH=5,所以AE=6.連接ED,則ED=6.因?yàn)锽C∥AD,所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD,在△EAD中cos∠EAD=6+48.B解析由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個(gè)面相切.設(shè)球的半徑為R,易得△ABC的內(nèi)切球的半徑為6+8-102=2,則R≤2.又因?yàn)?R≤3,所以R≤32,所以V9.B解析取DE的中點(diǎn)O,連接OA',OB.在△A'DE中,由A'D=A'E=DE=4,可得OA'=23,在△BOE中,由OE=2,BE=4,∠BEO=120°可得OB=27.由OA'2+OB2=A'B2可得OA'⊥OB.又因?yàn)镺A'⊥DE,OB∩DE=O,所以O(shè)A'⊥底面BCDE,∠A'BO即為直線A'B與底面BCDE所成角.在Rt△A'OB中,sin∠A'BO=OA'10.C解析因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為2,圓錐的母線與底面的夾角為π4,所以圓錐的軸截面為等腰直角三角形,底面半徑和高均為2,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,則2x22=2-x2,解得x=2(2-1).故正方體的體積為[2(2-11.B解析如圖,設(shè)△ABC的外接圓圓心為O',其半徑為r,球O的半徑為R,當(dāng)球心O在三棱錐P-ABC內(nèi)時(shí),由題意可知,V1V2max=R+R2-r2R2-r2=3,可得R=23r.∵2r=ACsin∠ABC=43,∴r=2312.B解析如圖,設(shè)AB=a,BC=b,AA1=c,則AB1=a2+c2,AC=a2+b2,B1C=b2+c2.∵AB1∥C1D,BB1⊥平面ABCD,∴∠AB1C是B1C與C1∵B1C與C1D所成角的余弦值為64,B1C與底面ABCD所成角的正弦值為3∴解得a=c=3b.∵CC1⊥平面ABCD,∴∠C1DC是C1D與底面ABCD所成角.∵DC=CC1,DC⊥CC1,∴∠C1DC=45°.∴C1D與底面ABCD所成角的余弦值為22.13.②③④解析對(duì)于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α,β的位置關(guān)系無(wú)法確定,故錯(cuò)誤;對(duì)于②,因?yàn)閚∥α,所以過直線n作平面γ與平面α相交于直線c,則n∥c.因?yàn)閙⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正確;對(duì)于③,由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確;對(duì)于④,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確命題的編號(hào)有②③④.14.π4解析如圖,由底面邊長(zhǎng)為2,可得OC=設(shè)M為VC的中點(diǎn),則O1M=12OC=12,O1O=12VO,VO=∴O1O=1.∴V圓柱=π·O1M2·O1O=π×122×1=π415.34π解析由題意,在三棱錐D-ABC中,CD⊥底面ABC,AC⊥BC,AB=BD=5,BC=4,可得AC=CD=52-42=3,故三棱錐D-ABC的外接球的半徑R=32+42+16.2π當(dāng)圓柱體體積最大時(shí),圓柱的底面圓心為正四面體的底面中心O',圓柱的上底面與棱錐側(cè)面的交點(diǎn)N在側(cè)面的中線AM上.∵正四面體棱長(zhǎng)為3,∴BM=32,O'M=12,BO'=1,∴設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則0<r<1由三角形相似得,r12=2-h2,即h=2-22r,圓柱的體積V=πr2h=2π∵r2(1-2r)≤r+r+1-2r33=127,當(dāng)且僅當(dāng)r=1-2r,即r=17.證明(1)因?yàn)镈,E分別為BC,AC的中點(diǎn),所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因?yàn)镋D?平面DEC1,A1B1?平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因?yàn)锳B=BC,E為AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC.又因?yàn)锽E?平面ABC,所以C1C⊥BE.因?yàn)镃1C?平面A1ACC1,AC?平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.18.(1)證明由題意知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD.∵E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),∴EF⊥AB,EF⊥CD.∴折疊后,EF⊥DF,EF⊥CF.∵DF∩CF=F,∴EF⊥平面DCF.又MC?平面DCF,∴EF⊥MC.(2)解∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,∴DF⊥平面BEFC,∴DF⊥CF,∴DF,CF,EF兩兩垂直.以F為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以FD,FC,FE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.∵DM=1,∴FM=1,∴M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2),∴MA=(0,0,2),AB=(-1,1,0),DA=(-設(shè)平面MAB的法向量m=(x,y,z),則MA取x=1,得m=(1,1,0).設(shè)平面ABD的法向量n=(x,y,z),則DA取z=1,得n=(2,2,1).∴cos<m,n>=m·∴二面角M-AB-D的余弦值為219.解(1)在平行四邊形ABCD中,∠ADC=60°,CD=3,AD=23,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=12+3-2×23×3×cos60°∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,即CD⊥AC.又PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,∴PA⊥CD.又AC∩CD=C,∴CD⊥平面PCA.又CD?平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD.(2)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),P(0,0,3).設(shè)E(x,y,z),PE=λPC(0≤λ≤1),則(x,y,z-3)=λ(0,3,-∴x=0,y=3λ,z=3-3λ,即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,3λ,3-3λ).∴BE=(-3,3λ,3-3λ)又平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),∴sin45°=|cos<BE,n>|=|3-3∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1,2),∴AE=(0,1,2),AB=(3設(shè)平面EAB的法向量為m=(x,y,z),由m令z=1,得平面EAB的一個(gè)法向量為m=(0,-2,1),∴cos<m,n>=m又二面角E-AB-D的平面角為銳角,故二面角E-AB-D的余弦值為520.(1)證明因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因?yàn)锳D⊥CD,所以CD⊥平面PAD.(2)解過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2).所以PF=13PC=23,23,-23設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則n即y令z=1,則y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=(1,0,0),所以cos<n,p>=n·p由題知,二面角F-AE-P為銳角,所以其余弦值為3(3)解直線AG在平面AEF內(nèi).因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上,且PGPB=23,PB=(2,-1,-2),所以PG=23PB=43,-23,-4由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1).所以AG·n=-43+所以直線AG在平面AEF內(nèi).21.(1)證明依題意,可以建立以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AE的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(h>0),則F依題意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因?yàn)橹本€BF?平面ADE,所以BF∥(2)解依題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則n·BD=0,n·BE因此有cos<CE,n>=CE·n所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為4(3)解設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則m·