第05講 正多邊形與圓-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)核心考點+重難點講練與測試（滬教版）（解析版）

第05講正多邊形與圓目錄考點一：正多邊形的中心角考點二：正多邊形和圓考點三：弧長與扇形面積【基礎(chǔ)知識】一、正多邊形的相關(guān)概念1.正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形．有n條邊的正多邊形（n是正整數(shù)，且）就稱作正n邊形2.正n邊形的對稱性正n邊形是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)=n．當(dāng)n為偶數(shù)時，正n邊形是中心對稱圖形，對稱中心是它的兩條對稱軸的交點．3.正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，外接圓和內(nèi)切圓的圓心都是這個正多邊形的對稱軸的交點．正多邊形外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫做正多邊形的中心．正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．正多邊形內(nèi)切圓的半徑長叫做正多邊形的邊心距．正多邊形一邊所對的關(guān)于外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．每一個中心角==它的每一個外角4.正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓要點詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊是圓的外切正多邊形.5.正多邊形的畫法（1）用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.（2）用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。要點詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.二、正多邊形的相關(guān)計算設(shè)正n邊形的半徑長為Rn、中心角為αn、邊長為an、邊心距為rn，則利用等腰三角形OAB，通過解直角三角形OAH，可由其中兩個量求出其余的兩個量.進(jìn)一步還可以求出這個正n邊形的周長及面積.【考點剖析】考點一：正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如果一個正多邊形的中心角等于，那么這個多邊形的內(nèi)角和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等，列式計算可求出這個多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意可得，這個多邊形的邊數(shù)為：360÷72=5，∴這個多邊形的內(nèi)角和為：（5-2）×180°=540°．故選：B．【點睛】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算以及多邊形的內(nèi)角和公式，掌握正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ形髂夏７吨袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）正十邊形的中心角等于______度．【答案】【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可求解．【詳解】正十邊形的中心角等于360°÷10=°故答案為：36．【點睛】此題主要考查中心角，解題的關(guān)鍵是熟知正n邊形的中心角等于．3．（2022秋·上海金山·九年級校考階段練習(xí)）正五邊形的中心角的度數(shù)是_____．【答案】72°．【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正n邊形的圓中心角為，則代入求解即可．【詳解】解：正五邊形的中心角為：．故答案為72°．【點睛】此題考查了正多邊形的中心角的知識．題目比較簡單，注意熟記定義．4．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）一個正n邊形的一個內(nèi)角等于它的中心角的2倍，則n=___．【答案】6【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)中心角的求法求出中心角的度數(shù)列方程求解即可．【詳解】∵正n邊形的一個內(nèi)角和=（n﹣2）?180°，∴正n邊形的一個內(nèi)角=．∵正n邊形的中心角==，解得：n=6．故答案為6．【點睛】本題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形的內(nèi)角和公式及中心角的求法．5．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的中心角為____【答案】30°．【分析】正多邊形的一個外角與正多邊形的中心角的度數(shù)相等，據(jù)此即可求解．【詳解】解：正多邊形的一個外角等于30°，則中心角的度數(shù)是30°．故答案為：30°．6．（2022·上海·九年級專題練習(xí)）如果一個正多邊形的中心角為36°，那么這個多邊形的對角線條數(shù)是_____．【答案】35【分析】一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)一個多邊形有條對角線，即可算出有多少條對角線．【詳解】解：由題意可得：邊數(shù)為360°÷36°＝10，所以這個多邊形的對角線條數(shù)是（條），故答案為：35．【點睛】本題主要考查的是多邊的外角和，多邊形的對角線及正多邊形的概念和性質(zhì)，任意多邊形的外角和都是360°，和邊數(shù)無關(guān)．正多邊形的每個外角都相等．任何多邊形的對角線條數(shù)為條．7．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是_______．【答案】5【詳解】解：中心角的度數(shù)=，，，故答案為：5．考點二：正多邊形和圓一、單選題1．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，正確的是（

）A．正多邊形都是中心對稱圖形 B．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑C．邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長都相等 D．各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、正多邊形的對角線、正多邊形的概念判斷即可．【詳解】解：A、邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形都是中心對稱圖形，邊數(shù)是奇數(shù)的正多邊形不是中心對稱圖形，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑，本選項說法正確，符合題意；C、邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長不都相等，可以以正八邊形為例得出對角線長不都相等，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、各邊相等的圓外切多邊形不一定是正多邊形，例如，圓外切菱形邊數(shù)正多邊形，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．正六邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形B．正六邊形的每一個外角都等于中心角C．正六邊形每條對角線都相等D．正六邊形的邊心距等于邊長的一半【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)判定即可．【詳解】解：A、正六邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，假命題，故此選項不符合題意；B、正六邊形的每一個外角都等于中心角，真命題，故此選項符合題意；C、正六邊形每條對角線都相等，假命題，故此選項不符合題意；D、正六邊形的邊心距等于邊長的一半，假命題，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查判定命題真假，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海黃浦·格致中學(xué)?？级＃┤绻粋€正九邊形的邊長為，那么這個正九邊形的半徑是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C，連接OA，則在直角△OAC中，可求得∠AOC=20°，OC是邊心距，OA即半徑，利用解直角三角即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)O為正九邊形外接圓的圓心，過O作OC⊥AB于C，則OC即為正九邊形的邊心距，連接OA，∵此多邊形是正九邊形，∴，OA=OB，∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，∵AB=a，∴AC=a，∴，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形和圓，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)及直角三角形中三角函數(shù)的定義解答．4．（2022秋·上海普陀·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【詳解】解：連接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，，故選D．考點：1正多邊形和圓；2.弧長的計算．二、填空題5．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┌霃綖?的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為________．【答案】【分析】欲求△ABC的邊長，把△ABC中BC邊當(dāng)弦，作BC的垂線，在Rt△BOD中，求BD的長；根據(jù)垂徑定理知：BC=2BD，從而求正三角形的邊長．【詳解】解：如圖所示．在Rt△BOD中，OB=1，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB=．∵BD=CD，∴BC=2BD=2×=．故它的內(nèi)接正三角形的邊長為．故答案為：．【點睛】本題考查了正三角形和外接圓，要知道圓心既是內(nèi)心也是外心，所以BO平分∠ABC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與圓的性質(zhì)相結(jié)合，得出結(jié)論．6．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.【答案】4【分析】解：如圖，連接CE，由得，由六邊形是正六邊形證明，從而得的面積為的面積的4倍即可求解．【詳解】解：如圖，連接CE，，，六邊形是正六邊形，AB=AF=EF=BC，，，，，，四邊形BCEF是平行四邊形，，的面積為1，，的面積為，故答案為4．【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的判定及性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上海·九年級上海市婁山中學(xué)?？计谥校┮阎呅蔚倪呴L為，那么它的邊心距等于__________．【答案】【分析】已知正六邊形的邊長為6，欲求邊心距，可通過邊心距、邊長的一半和內(nèi)接圓半徑構(gòu)造直角三角形，通過解直角三角形求出邊心距．【詳解】解：如圖，在正六邊形中，邊長AB=6cm，O為正六邊形的中心，過點O作OG⊥AB于點G，連接OA、OB，根據(jù)題意得：∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB為等邊三角形，∴AG=BG=3，OA=OB=AB=6cm，在中，，即它的邊心距等于cm．故答案為：【點睛】此題主要考查正多邊形的計算問題，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形.8．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．【答案】12【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，則∠BOC=30°，然后計算即可得到n的值．【詳解】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AC，AB分別為⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∴n==12，即BC恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．【點睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．9．（2022秋·上海徐匯·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如果一個正六邊形的邊心距的長度為，那么它的半徑的長度為________cm．【答案】【分析】證明為等邊三角形，得到，再利用解直角三角形求解即可．【詳解】解：如圖：由題可知：是正六邊形，，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查圓與多邊形，解題的關(guān)鍵是求出為等邊三角形，進(jìn)一步得到．10．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為，則正多邊形的邊長與半徑的比值為________．【答案】【分析】先根據(jù)題意求出正多邊形的邊數(shù)，然后求出此正多邊形的中心角，然后再Rt△ACO中求出的值，即可求解．【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，∴（n-2）×180°=144°×n，∴n=10，∴正多邊形的中心角為，如圖，過O作OC⊥AB于C，∵OA=OB，∴，AB=2AC，∴，∴，即正多邊形的邊長與半徑的比值為，故答案為．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，中心角的定義，正弦的定義等，求出中心角是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·上海虹口·九年級統(tǒng)考期中）半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為______．【答案】【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后由垂徑定理，可得BD=∠BOC=∠A，再利用三角函數(shù)求得BD的長，繼而求得答案．【詳解】解：如圖：△ABC是等邊三角形，過點O作OD⊥BC于D，連接OB，OC，∴BD=CD=BC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴∠BOD=∠BOC=60°，∵半徑為4，∴OB=4，∴，∴BC=2BD=，即直徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為：．故答案為：．【點睛】此題考查了正多邊形和圓的性質(zhì)、垂徑定理以及三角函數(shù)等知識．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）若正四邊形的半徑是1，則它的邊長是________．【答案】【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及勾股定理計算即可得到答案．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意得：OA＝OB＝1，∵四邊形ABCD是正四邊形，∴∠AOB＝90°，∴AB．即它的邊長是：．故答案為：．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接正方形的邊長與外切正方形的邊長之比是_______________．【答案】1：【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)圓的半徑為R，分別用R表示出圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的邊長，再求出其比值即可．【詳解】解：如圖，∵圓的半徑為R，∴CD＝ODR，∴內(nèi)接正方形的邊長為R，AB＝OB＝R，∴外切正方形的邊長為2R，∴圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的邊長比為：1：，故答案為：1：．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的關(guān)系，掌握正多邊形的性質(zhì)、正多邊形的中心角的計算方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．【答案】．【分析】由六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，可以得到中間正六邊形的邊長為1，做輔助線以后，得到△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)求出邊長，求出面積之和即可．【詳解】解：如圖所示，連接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六邊形ABCDEF中，∵直角三角板的最短邊為1，∴正六邊形ABCDEF為1，∴△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120?，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30?，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案為：．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于知識點：在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的應(yīng)用．15．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，那么正六邊形ABCDEF的面積等于_____．【答案】54．【分析】根據(jù)正多邊形的有關(guān)概念，可得出三角形圓心角的度數(shù)，再求出三角形的面積，由正邊形可平均分成個相同的三角形，將求得的三角形面積乘6即可．【詳解】解：連接OE、OD，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠EOD＝，∵OE＝OD＝6，∴△ODE是等邊三角形，作OH⊥ED于H，則OH＝OE?sin∠OED＝6×＝3，∴S△ODE＝DE?OH＝×6×3＝9，∴S正六邊形ABCDEF＝6S△ODE＝54．故答案為：54．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接正多邊形的計算，熟悉掌握圓內(nèi)接正多邊形的概念是解題的關(guān)鍵．16．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，A，B，C，D為一個正多邊形的相鄰四個頂點，點O為正多邊形的中心，若，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有______條對角線．【答案】7【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，即可得出該圖形是正幾邊形，即可得出從一個頂點出發(fā)對角線的數(shù)量．【詳解】解：連接、，點、、、在以為圓心，為半徑的同一個圓上，根據(jù)圓周角定理，，，即該多邊形為正十邊形，從一個定點出發(fā)，除去自身與相鄰的兩個點，共可作條對角線，故答案為：7．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理；知道正多邊形與圓的位置特點解決本題的關(guān)鍵．17．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，正六邊形的邊長為2，則的周長為__．【答案】【分析】作BG⊥AC，垂足為G．由垂徑定理得出AC＝2AG，在直角三角形ABG中，求出AG的長，即可得出結(jié)果．【詳解】作，垂足為．如圖所示：則，，，六邊形是正六邊形，，，，，，的周長為．故答案為．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，熟悉正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）正六邊形的邊長、半徑、邊心距之比為_________________．【答案】【分析】我們可設(shè)正六邊形的邊長為2，欲求邊長、半徑、邊心距之比，我們畫出圖形，通過構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可得出．【詳解】解：如圖所示，邊長AB=2；又該多邊形為正六邊形，故∠OBA=60°，在Rt△BOG中，BG=1，OG=，所以AB=2，即邊長、半徑、邊心距之比為2：2：．【點睛】此題主要考查正多邊形邊長的計算問題，要求學(xué)生熟練掌握應(yīng)用．19．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．【答案】1【分析】此題應(yīng)根據(jù)題意先找到圓心位置，再根據(jù)圓心位置求出不在圓上的頂點到該圓圓心的距離即可．【詳解】根據(jù)題意作圖可分兩種情況：1如圖：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圓O上，∴BP=（垂徑定理），又，∴OP===；因為ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情況不符合題意，舍去；2，如圖，同理可得OP=，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，綜上所述，這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是1．故答案是：1．【點睛】此題是新型概念的題型，實際是求點到圓心的距離的知識點，難度偏難．20．（2022秋·上海閔行·九年級?？计谥校┪覀円?guī)定：一個正n邊形（n為整數(shù)，n≥4）的最短對角線與最長對角線長度的比值叫做這個正n邊形的“特征值”，記為λn，那么λ6=____．【答案】【詳解】解：如圖，正六邊形ABCDEF中，對角線BE、CF交于點O，連接EC．易知BE是正六邊形最長的對角線，EC的正六邊形的最短的對角線，∵△OBC是等邊三角形∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，∵OE=OC∴∠OEC=∠OCE，∵∠BOC=∠OEC+∠OCE∴∠OEC=∠OCE=30°∴∠BCE=90°，∴△BEC是直角三角形∴=cos30°=，∴λ6=.考點：1.正多邊形與圓；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)考點三：弧長與扇形面積一、單選題1．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點是重心，將繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A落在BC延長線上的處，此時點B落在點，點G落在點.聯(lián)結(jié)CG、、、.在旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法：①；②與相似；③；④點所經(jīng)過的路程長是.其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即判斷①，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，即可判斷②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以判斷③，根據(jù)弧長公式計算即可判斷④．【詳解】解：，，是等腰直角三角形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，故①正確；如圖，連接，，，點是重心，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，與相似；故②正確；，故③正確，④點所經(jīng)過的路程長是，故④錯誤，故選C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022秋·上?！ぞ拍昙夒A段練習(xí)）如圖，扇形的弧與相切于點P，若，，，則圖中陰影面積是______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】連接，作，，首先證明出四邊形和四邊形是矩形，得到，，然后證明出，得到，，然后根據(jù)勾股定理列方程求出，然后利用割補(bǔ)法求解即可．【詳解】連接，作，∵扇形的弧與相切于點P∴∵，，∴四邊形和四邊形是矩形∴，∴設(shè)扇形的半徑為r∴，，∵，∴∵∴∴又∵，∴∴，∴在中，∴∴∴∴當(dāng)時，，不合題意∴∴，∴陰影面積為．故答案為：．【點睛】此題考查了求陰影部分面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．3．（2022·上海松江·校考三模）如圖，在中，，點為的中點，以點為圓心作圓心角為的扇形，點恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】【分析】連接．根據(jù)題意和圖形，可以發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積扇形的面積四邊形的面積．又易證≌，即得出四邊形的面積等于的面積，最后由扇形面積公式和三角形面積公式計算即可．【詳解】解：連接，如圖，，點為的中點，，，，，．又，≌，四邊形的面積等于的面積，．故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，正確連接輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2022春·上海·九年級上外附中?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)方向至的位置，則圖中陰影部分的面積為___________（結(jié)果保留）【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，分別求出扇形的面積、扇形的面積,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得的面積等于的面積，即可求出答案．【詳解】在中，，扇形的面積為：，扇形的面積為：．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得的面積等于的面積，故==．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理、扇形的面積計算等知識點，能分別求出每部分的面積是解此題的關(guān)鍵．5．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）新定義：在中，點D、E分別是邊的中點，如果上的所有點都在的內(nèi)部或邊上，那么稱為的中內(nèi)?。阎谥?，，，點D、E分別是邊的中點，如果是的中內(nèi)弧，那么長度的最大值等于_________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意可知：當(dāng)DE為直徑時，長度取最大值，再根據(jù)圓的周長公式，即可求得【詳解】解：由題知，在△ABC內(nèi)部以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長中內(nèi)弧，∵點D、E分別是邊的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵∠A=90°，，∴，∴長度，故答案為：π．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，弧長的計算，理解題意，得到當(dāng)DE為直徑時，長度取最大值是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點E，則劣弧的長為______．（結(jié)算結(jié)果保留）【答案】【分析】連接OE，求出∠DOE＝40°，得到，根據(jù)弧長公式計算得到答案．【詳解】解：連接OE，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE＝，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴，的長＝，故答案為：．【點睛】本題考查的是弧長計算、平行四邊形的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤羯刃蔚陌霃綖?cm，圓心角為120°，則這個扇形的面積為__________cm2．【答案】．【詳解】試題分析：扇形的面積=cm2．故答案為3π．考點：扇形面積的計算．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2020·上?！ざ＃┤粢粋€正n邊形(n為大于2的整數(shù)）的半徑為r，則這個正n變形的邊心距為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后由三角函數(shù)及正多邊形與圓的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意可得如圖：假設(shè)AB為正n多邊形的一條邊，OC⊥AB，，OA=r，；故選D．【點睛】本題主要考查解直角三角形及正多邊形與圓，熟練掌握三角函數(shù)及正多邊形與圓是解題的關(guān)鍵．2．（2020·上海浦東新·二模）如果一個正多邊形的中心角等于，那么這個多邊形的內(nèi)角和為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等，列式計算可求出這個多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意可得，這個多邊形的邊數(shù)為：360÷72=5，∴這個多邊形的內(nèi)角和為：（5-2）×180°=540°．故選：B．【點睛】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算以及多邊形的內(nèi)角和公式，掌握正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海崇明·一模）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定【答案】B【分析】如圖，畫出簡圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCA=90°，根據(jù)∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多邊形的中心角為90°，即可求出多邊形的邊數(shù)．【詳解】如圖，OA、OC分別為此多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，AB為邊長，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，∴cos∠AOC==，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多邊形的中心角為90°，∴此多邊形的邊數(shù)=360°÷90°=4，故選：B．【點睛】本題考查正多邊形和圓及三角函數(shù)的定義，熟練掌握余弦的定義并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．4．（2019·上海上海·九年級期中）正六邊形的半徑與邊心距之比為（）A．1： B．：1 C．：2 D．2：【答案】D【分析】邊心距：是指正多邊形的每條邊到其外接圓的圓心的距離,正六邊形的邊長就等于其外接圓的半徑.它的邊心距等于邊長的倍..正多邊形的邊心距就是其內(nèi)切圓的半徑.【詳解】∵正六邊形的半徑為R，∴邊心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故選D．【點睛】本題主要考查了正多邊形的半徑與邊心距之比，解決本題的關(guān)鍵是掌握邊心距的求法.5．（2020·上海楊浦·二模）如果正十邊形的邊長為a，那么它的半徑是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，畫出圖形，在直角三角形OAM中，直接利用三角函數(shù)即可得到OA.【詳解】如圖，正十邊形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=a；∴OA==故選C.【點睛】本題考查三角函數(shù)，能夠畫出圖形，找到正確的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.二、填空題6．（2020·上海嘉定·二模）半徑長為2的半圓的弧長為____(計算結(jié)果保留π)．【答案】2π．【分析】根據(jù)弧長的計算公式計算即可．【詳解】由弧長公式得：2π．故答案為：2π．【點睛】本題考查了弧長的計算，熟練掌握弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵．7．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校三模）正五邊形繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)_______度，能與它本身重合．【答案】72【分析】如圖（見解析），先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得，正五邊ABCDE至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為的度數(shù)，再根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】如圖，由題意可知，所求的問題為的度數(shù)由正五邊形的性質(zhì)得：又故答案為：72．【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、正五邊形的性質(zhì)，理解題意，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2021·上海閔行·一模）正六邊形的邊心距與半徑的比值為__________（結(jié)果保留根號）．【答案】【分析】正六邊形的半徑為人r，根據(jù)正六邊形的半徑與外接圓的半徑相等，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解得邊心距，繼而解題．【詳解】如圖，設(shè)正六邊形的半徑OB=r，則外接圓的半徑r，，在中，，內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而邊心距是，則正六邊形的邊心距與半徑比值為：，故答案為：．【點睛】本題考查正多邊形與外接圓，涉及勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．9．（2020·上海奉賢·一模）公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設(shè)正十二邊形的半徑的長為1，如果用它的面積來近似估計的面積，那么的面積約是___．【答案】【分析】設(shè)為正十二邊形的邊，連接，過作于，由正十二邊形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，求出的面積，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)為正十二邊形的邊，連接，過作于，如圖所示：，的面積正十二邊形的面積，的面積正十二邊形的面積，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正十二邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識；熟練掌握正十二邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·上?！ざ＃┤鐖D，⊙O的半徑為6，如果弦AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長為_____．【答案】【分析】連接OA、OB、OC，作OD⊥BC于點D，根據(jù)AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊得到∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，從而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，然后求得BC的長即可．【詳解】解：連接OA、OB、OC，作OD⊥BC于點D，∵AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，∵OC＝OB，∴∠OCD＝∠OBC＝30°，∵OC＝6，∴CD＝＝3，∴BC＝2CD＝6，故答案為：6．【點睛】考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是求得∠BOC的度數(shù)．11．（2018·上海·九年級期末）正八邊形的中心角為______度．【答案】45°【分析】運(yùn)用正n邊形的中心角的計算公式計算即可.【詳解】解：由正n邊形的中心角的計算公式可得其中心角為，故答案為45°.【點睛】本題考查了正n邊形中心角的計算.12．（2018·上海崇明·二模）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上．若AB＝4，則CN＝_____．【答案】【分析】求出正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BM、CM，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF的頂點B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN∵∠ABC+∠CBM=180°∴∠CBM=60°∵AB=4∴BC=4∴CM=BCsin∠CBM=2MB=BCcos∠CBM=2∴AM=AB+MB=6∴MN=AM=6∴CN=MN-CM=6-2故答案為：6-2．【點睛】本題考查的是正多邊形的有關(guān)計算，掌握正多邊形的性質(zhì)、內(nèi)角的計算公式是解答本題的關(guān)鍵．13．（2020·上海長寧·二模）已知正三角形的邊心距為，那么它的邊長為________．【答案】【分析】此題由題意做出圖，做出邊心距根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】由題意作圖，再作OP⊥BC，OP的長即為邊心距，即OP=1，由△ABC是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP平分∠ABC，則∠OBP=30°，∴OB=2OP，由勾股定理知：BP==，∴BC=，即邊長為，故答案為．【點睛】本題考查三角形外接圓與圓心的關(guān)系，中間用勾股定理解題是關(guān)鍵．14．（2021·上海松江·二模）已知正三角形ABC外接圓的半徑為2，那么正三角形ABC的面積為______________．【答案】．【分析】根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形求得三角形的邊長即可求得本題的答案．【詳解】解：如圖所示：連接、、，過作于，正三角形外接圓的半徑為2，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是正三角形的性質(zhì)、邊心距、半徑、面積的計算；熟練掌握正三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．15．（2021·上海金山·二模）已知在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，那么正六邊形ABCDEF的面積等于_____．【答案】54．【分析】根據(jù)正多邊形的有關(guān)概念，可得出三角形圓心角的度數(shù)，再求出三角形的面積，由正邊形可平均分成個相同的三角形，將求得的三角形面積乘6即可．【詳解】解：連接OE、OD，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠EOD＝，∵OE＝OD＝6，∴△ODE是等邊三角形，作OH⊥ED于H，則OH＝OE?sin∠OED＝6×＝3，∴S△ODE＝DE?OH＝×6×3＝9，∴S正六邊形ABCDEF＝6S△ODE＝54．故答案為：54．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接正多邊形的計算，熟悉掌握圓內(nèi)接正多邊形的概念是解題的關(guān)鍵．16．（上海金山·九年級期末）正六邊形的邊長為，面積為，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是____．【答案】.【分析】經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C；連接OA，則在直角△OAC中，∠O=30°，OC是邊心距，OA即半徑．再根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C，連接OA，在直角△OAC中，∠O=30°，OC是邊心距，OA即半徑邊長為a的正六邊形的面積=6×邊長為a的等邊三角形的面積s=6××a×（a×sin60°）=．故答案為：S＝．考點：正多邊形和圓．17．（2019·上?！ぞ拍昙壠谀┤绻粋€正六邊形的半徑為，那么這個正六邊形的周長為______.【答案】12.【分析】根據(jù)正六邊形的半徑等于邊長進(jìn)行解答即可．【詳解】∵l正六邊形的半徑等于邊長，∴正六邊形的邊長a=2，正六邊形的周長=6a=12，故答案為12．【點睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．18．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．【答案】1【分析】此題應(yīng)根據(jù)題意先找到圓心位置，再根據(jù)圓心位置求出不在圓上的頂點到該圓圓心的距離即可．【詳解】根據(jù)題意作圖可分兩種情況：1如圖：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圓O上，∴BP=（垂徑定理），又，∴OP===；因為ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情況不符合題意，舍去；2，如圖，同理可得OP=，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，綜上所述，這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是1．故答案是：1．【點睛】此題是新型概念的題型，實際是求點到圓心的距離的知識點，難度偏難．19．（2020·上海嘉定·二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，如果向量，，那么向量用向量，表示為____．【答案】22．【分析】如圖，連接交于．則