第15講用相似三角形解決問題（2大考點(diǎn)）（原卷版）

第15講用相似三角形解決問題（2大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．相似三角形的應(yīng)用（共12小題）1．（2022?東?？h一模）如圖，小勇在探究課本“綜合與實踐”中的“制作視力表”時，根據(jù)測試距離為5m的標(biāo)準(zhǔn)視力表制作了一個測試距離為3m的視力表如果標(biāo)準(zhǔn)視力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的視力表中相應(yīng)“E”的高b是mm．2．（2021秋?蘇州期末）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實驗，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實像CD．若物體AB的高為6cm，小孔O到物體和實像的水平距離BE，CE分別為8cm，6cm，則實像CD的高度為（）A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm3．（2022秋?靖江市校級月考）《鐵血紅安》在中央一臺熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面1.6米，涼亭頂端離地面2米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度．4．（2022?鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法，步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點(diǎn)的距離約為（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米5．（2022秋?蘇州期中）如圖，燃燒的蠟燭AB經(jīng)小孔O在屏幕上成像A′B′，設(shè)AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距離分別為32cm、20cm，則像A′B′的長是cm．6．（2022秋?吳江區(qū)月考）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為．7．（2022?廣陵區(qū)校級開學(xué)）為了測量校園水平地面上一棵不可攀爬的樹的高度，小文同學(xué)做了如下的探索：根據(jù)物理學(xué)中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在合適的位置，剛好能在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)，此時小文與平面鏡的水平距離為3.0米，樹的底部與平面鏡的水平距離為12.0米，若小文的眼睛與地面的距離為1.7米，則樹的高度約為米（注：反射角等于入射角）8．（2022?姑蘇區(qū)一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準(zhǔn)小尺的兩端E、F，不斷調(diào)整站立的位置，使在點(diǎn)D處時恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A（如圖）．設(shè)小明的手臂長l＝50cm，小尺長a＝20cm，點(diǎn)D到鐵塔底部的距離AD＝20m，則鐵塔的高度為m．9．（2022秋?宜興市月考）有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HE的長為ycm、EF的長為xcm．（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x取多少時，EFGH是正方形．10．（2022?廣陵區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，某測量工作人員頭頂A與標(biāo)桿頂點(diǎn)F、電視塔頂端E在同一直線上，已知此人眼睛距地面AB的長為1.6m，標(biāo)桿FC的長為3.2m，且BC的長為2m，CD的長為5m，求電視塔的高ED．11．（2022?淮安區(qū)模擬）陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底邊離地面的高BC．12．（2022?工業(yè)園區(qū)校級二模）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為（）A．2米 B．3米 C．米 D．米二．相似形綜合題（共10小題）13．（2022秋?天寧區(qū)校級月考）矩形ABCD中AB＝8，BC＝6；將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，使點(diǎn)C'落在AD延長線上（圖1）．（1）若∠ACB＝53°，求∠B'AD的度數(shù)與C'D的長度；（2）如用2將△AB'C'向右平移得△A'B'C'，兩直角邊與矩形相交于點(diǎn)E、F；當(dāng)平移的距離是多少時，能使△B'EF與△A'B'C'相似．（先填空，再完成解答）解：設(shè)平移的距離為x，則B'E＝，B'F＝（用含x的代數(shù)式表示）．14．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動點(diǎn)P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度運(yùn)動，另一動點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度運(yùn)動，P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，其中一個點(diǎn)停止時，另一個點(diǎn)亦停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）．（1）當(dāng)t＝s時，△PCQ∽△ACB；（2）△PCQ的面積能否為△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，說明理由．（3）當(dāng)t為幾秒時，四邊形ABPQ的面積最?。渴嵌嗌?？15．（2022秋?姜堰區(qū)校級月考）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，一個以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．（1）如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF．（2）在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中：①如圖2，求證：CD2＝CE?CF；②若CE＝6，CF＝3，求DN的長．16．（2022秋?清江浦區(qū)月考）【結(jié)論提出】：三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于夾這個角的兩條邊的比．【思路說明】已知：如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．試說明：＝．理由：過點(diǎn)C作CE∥AD，交BA延長線于點(diǎn)E，易得＝，由CE∥AD，AD平分∠BAC可得AE＝，代入上式得＝．【直接應(yīng)用】（1）如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加輔助線的情況下直接寫出AB＝．（2）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，AB＝8，AD＝6，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，延長EF、AF分別交AB，BC于M、H兩點(diǎn)，當(dāng)FH＝BH時，①求BH的長；②直接寫出＝；【拓展延申】（3）如圖4，若四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC＝60°，當(dāng)點(diǎn)E為CD邊的三等分點(diǎn)時，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF與BC所在直線交于點(diǎn)P、與AD所在直線交于點(diǎn)Q，請直接寫出CP的長．17．（2022秋?射陽縣月考）從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中，一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．（1）如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；（3）如圖②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．18．（2022秋?江陰市校級月考）（1）模型建立：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB．（2）類比探究：如圖2，在菱形ABCD中，E、F分別為BC、DC上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，射線AE交DC的延長線于點(diǎn)M，射線AF交BC的延長線于點(diǎn)N，若AF＝4，CF＝2，AM＝10．求：①CM的長；②FN的長．（3）解決問題：如圖3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F，且滿足FE＝1，以AF為一邊作△FAP（頂點(diǎn)F、A、P按逆時針排列），使得AP＝2AF，且∠FAP＝120°，請直接寫出2PD+PC的最小值．19．（2022?吳中區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個結(jié)論：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③當(dāng)∠AEC＝135°時，E為△ADC的內(nèi)心；④若點(diǎn)F在BC上以一定的速度，從B往C運(yùn)動，則點(diǎn)E與點(diǎn)F的運(yùn)動速度相等．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．420．（2022秋?蘇州期中）如圖1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中點(diǎn)，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求證：DE∥AB；（2）如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三點(diǎn)共線，求∠DEB的度數(shù)．21．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，DE∥AC，交BC于點(diǎn)E．①若DE＝2，BD＝3，求BC的長；②試探究﹣是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2個外角，∠BCE＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延長線于點(diǎn)D，DE∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)E．記△ACD的面積為S1，△CDE的面積為S2，△BCD的面積為S1．若S1?（S2﹣S3）＝S22，求cos∠CBD的值．22．（2022秋?錫山區(qū)期中）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個動點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．（1）求證：AE＝2PE；（2）y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)△BEP與△ABC相似時，求△BEP的面積．

鞏固鞏固提升一．填空題（共4小題）1．（2022春?海門市期中）如圖，為了測量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同時量得BC＝0.3m，CE＝2m，則樓高DE為m．2．（2022?淮安區(qū)模擬）如圖，小明在B時測得直立于地面的某樹的影長為12米，A時又測得該樹的影長為3米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為米．3．（2022?如皋市一模）如圖，利用標(biāo)桿DE測量樓高，點(diǎn)A、D、B在同一條直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E、C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，則樓高BC為m．4．（2022?亭湖區(qū)校級開學(xué)）小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米（如圖），然后在A處樹立一根高2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長AC為3米，則樓高為．二．解答題（共10小題）5．（2022春?錫山區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動，速度是2cm/s；點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿BD方向勻速運(yùn)動，速度是1cm/s，MN是過點(diǎn)F的直線，分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，且在運(yùn)動過程中始終保持MN⊥BD．連接EM、EN、EF，兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜3.6），請回答下列問題：（1）求當(dāng)t為何值時，△EFD∽△ABD？（2）求當(dāng)t為何值時，△EFD為等腰三角形；（3）將△EMN沿直線MN進(jìn)行翻折，形成的四邊形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．6．（2022春?宿豫區(qū)期中）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的動點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），以AE為直角邊在直線BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．（1）如圖1，若EF與CD交于點(diǎn)G，連接CF．①求證：△ABE∽△ECG；②求的值；③若正方形ABCD的邊長為1，在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，則以A、D、F為頂點(diǎn)的三角形周長的最小值為；（2）如圖2，若AF與CD交于點(diǎn)P，連接BD分別與AE、AF交于點(diǎn)M、N，連接PM．求證：PM⊥AE．7．（2022?姑蘇區(qū)校級模擬）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊△ABC，將直角三角板的60°角頂點(diǎn)D任意放在BC邊上（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），使兩邊分別交線段AB、AC于點(diǎn)E、F．（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，則CF＝；（2）求證：△EBD∽△DCF．【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)D在BC邊上移動，保持三角板與邊AB、AC的兩個交點(diǎn)E、F都存在，連接EF，如圖②所示，問：點(diǎn)D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【探索】如圖③，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O為BC邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（其中∠MON＝∠B），使兩條邊分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E、F均不與△ABC的頂點(diǎn)重合），連接EF．設(shè)∠BAC＝2α，則△AEF與△ABC的周長之比為（用含α的表達(dá)式表示）．8．（2022?儀征市二模）如圖1，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過點(diǎn)D分別作線段AC，AB的垂線，E垂足為點(diǎn)E、F．如果＝sin∠CAB，那么我們把AD叫做△ABC關(guān)于∠CAB的正DF平分線．（1）如圖2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，試說明AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線；（2）如圖3，若AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線，過點(diǎn)D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．①試說明：四邊形MNFD為正方形；②若AB＝120，邊AB上的高為80，tanB＝，求∠CAB的正平分線AD的長．9．（2022?泰興市一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一點(diǎn)，BE＝5，點(diǎn)D是線段BC上的一個動點(diǎn)，沿AD折疊△ACD，點(diǎn)C與C'重合，連接BC'．（1）求證：△AEC'∽△AC'B；（2）若點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，且BF＝，①若△BC'F與△BC'E的面積比是，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖（2）中作出折疊后的△AC'D（保留作圖痕跡，不寫作法）；②求BC'+FC'的最小值．10．（2022?武進(jìn)區(qū)一模）閱讀理解：我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形，設(shè)這個平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角中較小的一個內(nèi)角為α，我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度．（1）若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內(nèi)角是120°，則這個平行四邊形的變形度是；（2）若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為S2，試猜想S1，S2，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，且AB2＝AE?AD，這個矩形發(fā)生變形后為?A1B1C1D1，E1為E的對應(yīng)點(diǎn)，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為（m＞0），?A1B1C1D1的面積為（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．11．（2022春?崇川區(qū)校級月考）矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，E為射線AD上一點(diǎn)，且AE＝CE，作射線CE交BD所在的直線于F．（1）當(dāng)AD＞AB，①求證：△EAC∽△OBC；②若BD⊥CE，求的值；（2）若，求的值．