第03講 線段的垂直平分線、角平分線性質(zhì)、尺規(guī)作圖（3大考點(diǎn)6種解題方法）（原卷版）

第03講線段的垂直平分線、角平分線性質(zhì)、尺規(guī)作圖（3大考點(diǎn)6種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE二．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．三．作圖—基本作圖基本作圖有：（1）作一條線段等于已知線段．（2）作一個(gè)角等于已知角．（3）作已知線段的垂直平分線．（4）作已知角的角平分線．（5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線．四．作圖—復(fù)雜作圖復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．五．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖主要把簡單作圖放入實(shí)際問題中．首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．六．作圖—代數(shù)計(jì)算作圖代數(shù)計(jì)算作圖是實(shí)際問題中要求所作圖形具備一定的條件，如角的度數(shù)或邊的長度．（1）根據(jù)題意計(jì)算出圖形所具備的條件，邊長，角度等，在網(wǎng)格紙上作圖或利用圓規(guī)和直尺作圖．（2）直接利用尺規(guī)作圖做出符合題意的圖形．如在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點(diǎn)．要熟悉幾何圖形的性質(zhì)和5種基本作圖的步驟，才能靈活運(yùn)用熟練作圖．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．角平分線的性質(zhì)（共5小題）1．（2021秋?溫嶺市期末）如圖，OP平分∠AOB，E為OA上一點(diǎn)，OE＝4，P到OB的距離是2，則△OPE的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．82．（2021秋?北侖區(qū)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021秋?東陽市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO，交BC于點(diǎn)E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長為（）A．8 B．7 C．6 D．54．（2021秋?新昌縣期末）如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，AD過點(diǎn)P且與AB垂直．若AD＝8，BC＝10，則△BCP的面積為（）A．16 B．20 C．40 D．805．（2021秋?諸暨市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是邊BC上一點(diǎn)，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，連接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：（1）線段BC的長；（2）若∠ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)O，且O到AC的距離是acm，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示△ABC的面積．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共8小題）6．（2021秋?海曙區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若∠EAG＝40°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．140° B．130° C．120° D．110°7．（2021秋?溫州期末）如圖，已知線段AB，以點(diǎn)A，B為圓心，5為半徑作弧相交于點(diǎn)C，D．連結(jié)CD，點(diǎn)E在CD上，連結(jié)CA，CB，EA，EB．若△ABC與△ABE的周長之差為4，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，若△BCE的周長為8，BC＝3，求AB的長．9．（2021秋?義烏市期中）如圖，已知△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．（1）求邊BC的長；（2）求出∠BAC的度數(shù)．10．（2021秋?柯橋區(qū)月考）已知：如圖，△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D．（1）若∠C＝35°，求∠DBA的度數(shù)；（2）若△ABD的周長為30，AC＝18，求AB的長．11．（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，與AB，AC分別交于點(diǎn)D，G，則∠EAF的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．70° D．80°12．（2021秋?上城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，AD的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度數(shù)；（2）試判斷∠B與∠AED的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2021秋?西湖區(qū)期末）如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．若∠1＝40°，則∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°三．作圖—基本作圖（共4小題）14．（2021秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．60° D．65°15．（2021秋?諸暨市期末）下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角的平分線，②作一條線段的垂直平分線．其中作法正確的是（）A．① B．② C．①② D．無16．（2021秋?新昌縣期末）如圖，已知△ABC．（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若∠A＝100°，∠C＝28°，求∠BDA的度數(shù)．17．（2021秋?余姚市期末）如圖，在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E．（1）用尺規(guī)作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D．（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）所畫的圖中，若BE＝CD．求證：AB＝AC．四．作圖—復(fù)雜作圖（共5小題）18．（2021秋?臨海市期末）如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊AB上．（1）求作點(diǎn)D，使點(diǎn)D到點(diǎn)B，C的距離相等；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度數(shù)．19．（2021秋?縉云縣期末）（拓展創(chuàng)新）如圖所示，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)以頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形．（1）使三角形的三邊長分別為3，2，；（在圖①中畫一個(gè)即可）（2）使三角形為鈍角三角形且面積為4．（在圖②中畫一個(gè)即可）20．（2021秋?新昌縣期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D；連結(jié)CD．（1）則MN是BC的線．（2）若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周長．21．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：①作出△ABC的角平分線CD；②作出BC的中垂線交AB于點(diǎn)E．（2）連結(jié)CE，若∠ABC＝60°，∠A＝40°，則∠DCE＝．22．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＞AB．（1）作AB邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，作AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)Q，連接AP，AQ．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不需要寫作法）（2）在（1）的條件下，若BC＝14，求△APQ的周長．五．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共6小題）23．（2021秋?臨海市期末）如圖，在5×5的網(wǎng)格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．請(qǐng)僅用直尺，按要求畫圖．（1）在圖1中畫出過點(diǎn)B的直線l，使其平分△ABC的面積；（2）在圖2中畫出線段BD，使其平分∠ABC，且點(diǎn)D在格點(diǎn)上．24．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，兩條公路OA，OB相交于點(diǎn)O，在∠AOB內(nèi)部有兩個(gè)村莊C，D．為方便群眾接種新冠疫苗，該地決定在∠AOB內(nèi)部再啟動(dòng)一個(gè)方艙式接種點(diǎn)P，要求同時(shí)滿足：（1）到兩條公路OA，OB的距離相等．（2）到兩村莊C，D的距離相等．請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)作出接種點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡）．25．（2021秋?寧波期末）定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α和β滿足α+2β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．請(qǐng)把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，使得其中一個(gè)為“類直角三角形”，并求出這個(gè)“類直角三角形”的面積．（備注：要求尺規(guī)作圖）26．（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在7×6的方格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．試按要求畫出線段EF（E，F(xiàn)均為格點(diǎn)），各畫出一條即可．27．（2021春?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是2，線段交點(diǎn)稱做格點(diǎn)．（1）畫出△ABC的高CD；（2）連接格點(diǎn)，用一條線段將圖中△ABC分成面積相等的兩部分；（3）直接寫出△ABC的面積是．28．（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）我們知道，三角形具有性質(zhì)：三條角平分線相交于一點(diǎn)，三條中線相交于一點(diǎn)．事實(shí)上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點(diǎn)．如圖，在由小正方形組成的4×3的網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．請(qǐng)運(yùn)用上述三角形的性質(zhì)，在該網(wǎng)格中，僅用無刻度的直尺，作出AC邊上的高BH，再作出BC邊上的高AK．（不寫作法，保留作圖痕跡）六．作圖—代數(shù)計(jì)算作圖（共1小題）29．（2021秋?諸暨市期中）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格中解答下面問題．（1）圖中線段AB的兩端點(diǎn)都落在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，求出AB的長度；（2）再以AB為一邊畫一個(gè)等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長都是無理數(shù)；（3）請(qǐng)直接寫出符合（2）中條件的等腰三角形ABC的頂點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級(jí)期末）如圖，在上分別截取，使，再分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線就是的角平分線．這是因?yàn)檫B結(jié)，可得到，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得．在這個(gè)過程中，得到的條件是（）A． B． C． D．2．（2021·浙江八年級(jí)期末）如圖是用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖，說明的依據(jù)是（）A． B． C． D．3．（2020·浙江八年級(jí)期末）內(nèi)找一點(diǎn)P，使P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，并且P到C的距離等于A到C的距離．下列尺規(guī)作圖正確的是（）A． B．C． D．4．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點(diǎn)、作、的垂線，交點(diǎn)為，畫射線，則平分的依據(jù)是（）A． B． C． D．5．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖，已知，求作一點(diǎn)P，使P到的兩邊的距離相等，且、下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（）A．P為兩角平分線的交點(diǎn) B．P為兩邊上的高的交點(diǎn)C．P為兩邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．P為的角平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)二、填空題6．（2019·浙江八年級(jí)期末）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α=________°．7．（2019·浙江杭州·八年級(jí)月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，則要說明，需要證明，則兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是________（寫出全等簡寫）．8．（2018·浙江全國·）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是_______．9．（2020·浙江高照實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，則∠ADB＝_____度．10．（2019·浙江杭州市·）尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA，OB于C，D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP.由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是_________．三、解答題11．（2019·浙江八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°．（1）用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數(shù)．12．（2021·浙江八年級(jí)期末）電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的電網(wǎng)必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置，從圖中標(biāo)出．（保留作圖痕跡，說明理由）13．（2020·浙江）已知，用尺規(guī)作圖：（1）作邊上的中線；（2）畫邊上的高．14．（2019·浙江寧波·八年級(jí)期中）某小區(qū)為方便M、N兩幢住宅樓的住戶投放分類后的垃圾，擬在小區(qū)主路的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)置一個(gè)垃圾投放點(diǎn)P，現(xiàn)要求P點(diǎn)到兩條道路的距離相等，且使，請(qǐng)你通過尺規(guī)作圖找出這一P點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）15．（2020·浙江八年級(jí)期末）已知：線段c和求作：，使得（不寫作法，但保留作圖痕跡）16．（2020·浙江）已知線段及銳角，用直尺和圓規(guī)作，使，．17．（2020·浙江）如圖，線段，利用直尺和圓規(guī)按照下列要求作出圖形．（保留作圖痕