第一次月考難點特訓(xùn)（三）和小立方體個數(shù)有關(guān)的壓軸題（解析版）

第一次月考難點特訓(xùn)（三）和小立方體個數(shù)有關(guān)的壓軸題1．如圖，某幾何體的主視圖和它的左視圖，則搭建這樣的幾何體最少需要的小正方體為（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)主視圖和左視圖分析即可．【詳解】解：∵主視圖有4個小正方體組成，左視圖有3個小正方體組成，∴幾何體的底層最少3個小正方體，第二層最少有1個小正方體，因此組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為個，故選：．【點睛】本題考查由幾何體判斷三視圖，考查了對三視圖的熟練掌握程度，也體現(xiàn)了對空間想象能力的考查，解題的關(guān)鍵是掌握“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案．2．由個相同的小正方體搭成的幾何體，其主視圖和俯視圖如圖所示，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】【分析】根據(jù)主視圖、俯視圖是分別從物體正面和上面看，所得到的圖形即可求出答案．【詳解】由俯視圖知，最少有7個立方塊，∵由正視圖知在最左邊前后兩層每層3個立方體，中間3個每層2個立方體和最右邊前兩排每層3個立方體，∴n的最小值是：7+5＝12，故選C.【點睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．3．由個相同的正方體組成一個立體圖形，下面的圖形分別是從正面和上面看它得到的平面圖形，則的最小值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖可先確定該幾何體右側(cè)只有一個正方體，再判斷左側(cè)可能的結(jié)果數(shù)即得答案．【詳解】解：由主視圖可知該幾何體共兩列，且左側(cè)一列高兩層，右側(cè)一列高一層；由俯視圖可知該幾何體左側(cè)兩行，右側(cè)一行，于是，可確定右側(cè)只有一個小正方體，而左側(cè)可能是一行單層一行兩層，也可能兩行都是兩層．所以圖中的小正方體最少4塊，最多5塊．故選：C．【點睛】本題主要考查了幾何體的三視圖和空間觀念，熟練掌握幾何體的三視圖、把平面圖形和立體圖形有機(jī)結(jié)合是解答的關(guān)鍵.4．由n個大小相同的小正方形搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則n的最大值為（）?A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】【詳解】分析：根據(jù)所給出的圖形可知這個幾何體共有2層，3列，先看第一層正方體可能的最多個數(shù)，再看第二層正方體的可能的最多個數(shù)，相加即可．詳解：根據(jù)主視圖和左視圖可得：

這個幾何體有2層，3列，最底層最多有3×3=9個正方體，第二層有4個正方體，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多是9+4=13個．

故選C．點睛：本題考查了由三視圖判斷幾何體，關(guān)鍵是根據(jù)主視圖和左視圖確定組合幾何體的層數(shù)及列數(shù)．5．如圖，是由27個相同的小立方塊搭成的幾何體，它的三個視圖是的正方形，若拿掉若干個小立方塊（幾何體不倒掉），其三個視圖仍都為的正方形，則最多能拿掉小立方塊的個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【解析】【分析】拿掉若干個小立方塊后保證幾何體不倒掉，且三個視圖仍都為33的正方形，所以最底下一層必須有9個小立方塊，這樣能保證俯視圖仍為33的正方形，為保證主視圖與左視圖也為33的正方形，所以上面兩層必須保留底面上一條對角線方向的三個立方塊，即可得到最多能拿掉小立方塊的個數(shù).【詳解】根據(jù)題意，拿掉若干個小立方塊后，三個視圖仍都為33的正方形，則最多能拿掉小立方塊的個數(shù)為6

+6

=

12個，故選：C.【點睛】此題考查簡單組合體的三視圖，空間想象能力，能依據(jù)立體圖形想象出拿掉小立方塊后的三視圖是解題的關(guān)鍵.6．由n個相同的小正方體堆成的幾何體，其從正面和上面看到的形狀如圖所示，則n的最大值是（）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】A【解析】【分析】根據(jù)主視圖、俯視圖是分別從物體的正面和上面看所得到的圖形，即可求得答案．【詳解】由俯視圖知，最少有7個立方塊，∵由正視圖知在最左邊前后兩層每層3個立方體，中間3個每層2個立方體和最右邊前兩排每層3個立方體，∴n的最大值是：3×2+3×2+3×2＝18，故選：A．【點睛】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查，如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．7．已知一個物體由x個相同的正方體堆成，從它的正面看到的形狀圖和從左面看到的形狀圖如圖，那么x的最小值、最大值是（

）A．5，12 B．6，11 C．7，10 D．8，12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)主視圖可知正方體堆成有2層，3列，上層有2個正方體，根據(jù)左視圖可知正方體堆成有3排，2層，上層有1個正方體，可知上層只有2個正方體，且2個正方體在第三排上，下層最多有9個正方體，最少有4個正方體，即可得答案．【詳解】由左視圖可知正方體堆成有3列，2層，上層有2個正方體，左視圖可知正方體堆成有3排，2層，上層有1個正方體，∴上層只有2個正方體，且2個正方體在第三排上，∴當(dāng)?shù)谝慌?、第二排的正方體錯位擺放時，下層正方體數(shù)量最少為2+2=4個，當(dāng)下層全擺放時，正方體數(shù)量最多為3×3=9個，∴x的最小值是4+2=6個、最大值是9+2=11個，故選：B．【點睛】本題考查三視圖，正確判斷下層正方體的個數(shù)的最大值和最小值是解題關(guān)鍵．8．如圖為一個用正方體積木搭成的幾何體的三視圖，俯視圖中方格上的數(shù)字表示該位置上積木累積的個數(shù)．若保證正視圖和左視圖成立，則a＋b＋c＋d的最大值為（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】【分析】由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀，依此即可求解．【詳解】解：由正視圖第1列和左視圖第1列可知a最大為3，由正視圖第2列和左視圖第2列可知b最大為3，由正視圖第3列和左視圖第1列和第2列可知c最大為4，d最大為3，則a＋b＋c＋d的最大值為3＋3＋4＋3＝13.故選：B．【點睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體，關(guān)鍵看學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查，用到的知識點是三視圖．9．由n個相同的小正方體堆成的幾何體，其主視圖、俯視圖如圖所示，則n的最大值是________．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖得出幾何體的可能堆放，從而即可得出答案．【詳解】綜合主視圖和俯視圖，從上往下數(shù)，底面最多有2+2+3=7個，第二層最多有1+1+2=4個，第三層最多有1+0+1=2個，則n的最大值是7+4+2=13故答案為：13．【點睛】本題考查了三視圖中的主視圖和俯視圖，掌握三視圖的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．10．n個單位小立方體疊放在桌面上，所得幾何體的主視圖和俯視圖均如圖所示．那么n的最大值與最小值的和是_____．【答案】23【解析】【分析】由主視圖和左視圖可得：這個幾何體有3層，3列，3行，最底層有1+2+3＝6個正方體，第二層最多有5個，最少有2個，第三層最多有3個，最少有1個，求出最大值與最小值，再求和即可．【詳解】解：綜合主視圖和俯視圖，底面有3＋2＋1＝6個，第二層最多有5個，最少有2個，第三層最多有3個，最少有1個，最多有：6+5+3=14，最小有：6+2+1=9，那么n的最大和最小值的和是14＋9＝23．故答案為：23．【點睛】本題考查由幾個相同的小正方形搭成的幾何體個數(shù)問題，視圖的形狀決定幾何體行與列和層，正視圖決定層數(shù)與列數(shù)，左視圖決定行數(shù)與層數(shù)，而俯視圖決定行數(shù)與列數(shù)，圖形的形狀除了決定行、列、層外，還有位置．11．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則n的最小值與最大值的和為______．【答案】26【解析】【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，由主視圖可以看出每一列的最大層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù)【詳解】解：根據(jù)主視圖和俯視圖可知，該幾何體中小正方體最少分別情況如下：故n的最小值為1+1+1+1+3+2+1=10，該幾何體中小正方體最多分別情況如下：該幾何體中小正方體最大值為3+3+3+2+2+2+1=16，故最大值與最小值得和為10+16=26故答案為：26【點睛】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體中小正方體的個數(shù)問題，可從主視圖上分清物體的上下和左右的層數(shù)，從俯視圖上分清物體的左右和前后位置，綜合上述分析數(shù)出小立方塊的可能個數(shù)．12．由n個相同的小正方體堆成的幾何體，其視圖如下所示，則n的最大值是_____．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖得出幾何體的可能堆放，從而即可得出答案．【詳解】綜合主視圖和俯視圖，底面最多有個，第二層最多有個，第三層最多有個則n的最大值是故答案為：18．【點睛】本題考查了三視圖中的主視圖和俯視圖，掌握三視圖的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．三、解答題(共0分)13．（1）由大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖1，請在圖2的方格中畫出該幾何體的俯視圖和左視圖．（2）用小立方體搭一個幾何體，使得它的俯視圖和左視圖與你在方格中所畫的一致，則這樣的幾何體最少要個小立方塊，最多要個小立方塊．【答案】（1）答案見解析；（2）9，14．【解析】【分析】（1）根據(jù)三視圖的性質(zhì)，作出該幾何體的三視圖即可．（2）通過幾何體的三視圖確定每層可加的小立方體的個數(shù)，即可求解．【詳解】（1）如圖所示：（2）由俯視圖易得最底層有6個小立方塊，第二層最少有2個小立方塊，第三層最少有1個小立方塊，所以最少有6+2+1=9個小立方塊；最底層有6個小立方塊，第二層最多有5個小立方塊，第三層最多有3個小立方塊，所以最多有6+5+3=14個小立方塊．故答案為：9；14．【點睛】本題考查了幾何體三視圖的問題，掌握幾何體三視圖的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．一個幾何體由大小相同的小立方體搭成，從三個方向看到的幾何體的形狀圖如圖所示．（1）求A，B，C，D這4個方格位置上的小立方體的個數(shù)；（2）這個幾何體是由多少塊小立方體組成的？【答案】（1）A小立方體的個數(shù)是2，B小立方體的個數(shù)是1，C小立方體的個數(shù)是3，D小立方體的個數(shù)是2；（2）5【解析】【分析】（1）根據(jù)三視圖解答即可；（2）根據(jù)三視圖得出正方體的個數(shù)即可．【詳解】（1）由三視圖可得：從正面看有3列，每列小正方形數(shù)目分別為1，2，1，從左面看有2列，每列小正方形數(shù)目分別為1，2．從上面看有3列，每列小正方形數(shù)目分別為1，2，2．所以A小立方體的個數(shù)是2，B小立方體的個數(shù)是1，C小立方體的個數(shù)是3，D小立方體的個數(shù)是2，（2）這個幾何體是由1+2+1+1＝5塊小立方體組成的.【點睛】此題考察立體圖形的構(gòu)成，學(xué)生的空間觀念很主要，在此類題型中，可以將從上面看的圖形為主圖形，分別根據(jù)從正面看、從左面看的圖形依次寫成每個小正方形中的幾何體的個數(shù)，從而得到構(gòu)成該立體圖形的總個數(shù).15．如圖，是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體．（1）請畫出這個幾何體的左視圖和俯視圖；（用陰影表示）（2）如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的俯視圖和左視圖不變，那么最多可以再添加幾個小正方體？【答案】（1）見解析（2）4【解析】【分析】（1）由已知條件可知，左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為3，2，1；俯視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，2，1，據(jù)此可畫出圖形．（2）可在最底層第二列第三行加一個，第三列第二行加2個，第三列第三行加1個，共4個．【詳解】（1）畫圖如下：

（2）最多可再添加4個小正方體．在第2層的第2行第2列和第3行第2列各添加1個小立方塊，第3層的第3行第2列和第3行第3列各添加1個小立方塊，這個幾何體的俯視圖和左視圖不變，，故最多可再添加4個小立方塊．【點睛】本題考查三視圖的畫法，以及根據(jù)三視圖求立方體個數(shù)，屬于中等難度題16．用若干大小相同的小立方體塊搭一個幾何體，使得從正面和上面看到這個幾何體的形狀圖如圖所示，其中從上面看到的形狀圖的小正方形中的字母表示該位置小立方體的個數(shù).請解答：

（1）表示幾？的最大值是多少？（2）這個幾何體最少是用多少個小立方體搭成的？最多呢？【答案】（1）表示3，的最大值為2；（2）最少是用11，最多是用16【解析】【分析】（1）根據(jù)從正面、上面看到的幾何體進(jìn)行判斷；（2）第一列小立方體的個數(shù)最多為3+3+3=9，最少為3+1+1=5，那么加上其他兩列小立方體的個數(shù)即可；【詳解】解：（1）由從正面和上面看到的這個幾何體的形狀圖可知，表示3，的最大值為2；（2）這個幾何體最少是用個小立方體搭成的，最多是用個小立方體搭成的．【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，左視圖是從物體的左面看得到的視圖；注意主視圖主要告知組成的幾何體的層數(shù)和列數(shù)．17．一個幾何體是由若干個棱長為3cm的小正方體搭成的，從左面、上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示：（1）該幾何體最少由個小立方體組成，最多由個小立方體組成．（2）將該幾何體的形狀固定好，①求該幾何體體積的最大值；②若要給體積最小時的幾何體表面涂上油漆，求所涂油漆面積的最小值．【答案】（1）9，14；（2）①答案見解析，②答案見解析．【解析】【分析】（1）由俯視圖可得該幾何體的最底層的立方體的個數(shù)；由左視圖第一列至第三列的正方形的個數(shù)可得該幾何體最少和最多的立方體的個數(shù)；（2）①由（1）求最多立方體個數(shù)時該幾何體的最大值；②由(1)求最少立方體個數(shù)時幾何體的表面積．【詳解】解：（1）觀察圖象可知：最少的情形有2+3+1+1+1+1＝9個小正方體，最多的情形有2+2+3+3+3+1＝14個小正方體．故答案為9，14．（2）①該幾何體體積的最大值為33×14＝378cm3．②體積最小時的幾何體表面涂上油漆，共需涂36個面，所涂油漆面積的最小值＝9×36＝324cm2．【點睛】本題考查學(xué)生對三視圖的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．18．（1）一個幾何體由一些大小相同的小正方體搭成，如圖是從上面看這個幾何體的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個數(shù)，請在網(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．（2）用小立方塊搭一幾何體，使它從正面看，從左面看，從上面看得到的圖形如圖所示．請在從上面看到的圖形的小正方形中填人相應(yīng)的數(shù)字，使得小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．其中，圖1填人的數(shù)字表示最多組成該幾何體的小立方塊的個數(shù)，圖2填入的數(shù)字表示最少組成該幾何體的小立方塊的個數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)俯視圖中小正方體的個數(shù)結(jié)合主視圖，主視圖是從前面向后看得到的圖形，從正面看分左中右三列，左邊列有2個正方形，中間列有3個正方形，右邊列有4個正方形畫出圖形，根據(jù)俯視圖中小正方體的個數(shù)結(jié)合左視圖，左視圖是從左邊向右看得到的圖形，從左邊看分左中右三列，左邊列1個正方形，中間列4個正方形，右邊列2個正方形畫出圖形即可；（2）根據(jù)俯視圖的圖形兩行三列，中間列一行，從正面看分左中右三例，左邊列3個正方形，中間列1個正方形，右邊列2個正方形，從左面看，分兩行，前行后行，前行2個正方形，后行3個正方形，左列前行可以是1個正方體或2個正方體，左列后行3個正方體，中間列只有前行1個正方體，右邊列前行2個正方體，右邊列后行可以1個或2個正方體，最多10個正方體如圖1，最少8個正方體如圖2在俯視圖中標(biāo)出個數(shù)即可．【詳解】解：（1）從正面看分左中右三列，左邊列有2個正方形，中間列有3個正方形，右邊列有4個正方形，如圖從左邊看分左中右三列，左邊列1個正方形，中間列4個正方形，右邊列2個正方形，如圖所示：（2）從正面看分左中右三例，左邊列3個正方形，中間列1個正方形，右邊列2個正方形，從左面看，分兩行，前行后行，前行2個正方形，后行3個正方形，左列前行可以是1個正方體或兩個正方體，，左列后行3個正方體，中間列只有前行1個正方體，右邊列前行2個正方體，后列可以1個或2個正方體，最多10個正方體如圖1，最少8個正方體如圖2．根據(jù)題意，填圖如下：【點睛】本題考查根據(jù)俯視圖畫主視圖與左視圖，根據(jù)主視圖與左視圖確定組成圖形的正方體的個數(shù)，從立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化三視圖，由平面圖形三視圖到立體圖形還原幾何體空間想象能力，本題難度較大，培養(yǎng)空間想象力，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．19．用棱長都為5cm的小立方塊搭成幾何體，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．（1）請你分別畫出從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖；（2）若在所搭幾何體的基礎(chǔ)上（不改變原幾何體中小立方塊的位置），繼續(xù)添加大小相同的小立方塊，以搭成一個大正方體，至少還需要_______個小立方塊；（3）①圖中的幾何體的表面積（包括與桌面接觸的部分）為_______；②若新搭一個幾何體，且滿足如下三個條件：圖中從上面看到的幾何體的形狀圖不變，小立方塊的總數(shù)不變，從上面看到的小正方形中的數(shù)字可以改變，則新搭幾何體的表面積（包括與桌面接觸的部分）最小值和最大值分別為_______，_______．【答案】（1）見解析；（2）12；（3）①1400；②1250，1550．【解析】【分析】（1）根據(jù)三視圖可畫出幾何體的形狀圖；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)，每行每列的小正方體都相等，都是3個，這樣正方體的小正方體的個數(shù)應(yīng)該為27個，現(xiàn)在已有15個，這樣再補(bǔ)12個即可；（3）①從上面看到的幾何體的形狀圖不變，小立方塊的總數(shù)不變，表面積最小時，每個位置數(shù)量盡量相等，可見解析中圖，按圖計算即可；②從上面看到的幾何體的形狀圖不變，小立方塊的總數(shù)不變，表面積最大時，每個位置數(shù)量盡量相差最大，可見解析中圖，按圖計算即可．【詳解】解：（1）由已知可得：（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)，每行每列都是3個小正方體，已知有（個）∴（個），故答案為：12；（3）①∵小正方體的棱長為5cm，∴小正方形的面積為，∴幾何體表面積為，故答案為：；②如圖搭建此時表面積為最小，幾何體最小表面積為；如圖搭建此時表面積為最大，幾何體最大表面積為；故答案為：，．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖計數(shù)，計算表面積，根據(jù)小正方體的數(shù)量計算表面積是本題的難點，了解什么情況表面積最小，什么情況表面積最大是解題關(guān)鍵．20．小明是魔方受好者，他擅長玩各種魔方，從二階魔方到九階魔方，他都能成功復(fù)原．有一天，小明突然想到一個問題，在九階魔方中，到底含有多少個長方體呢？為此，我們先來解決這樣一個數(shù)學(xué)問題：如圖，圖1是一個長、寬、高分別為a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整數(shù)）的長方體，被分成了a×b×c個棱長為1的小立方體．這個幾何體中一共包含多少個長方體（包括正方體）？（參考公式：1+2+3…+n）．問題探究：為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論．探究一：如圖2，該幾何體有1個小立方體組成，顯然，該幾何體共有1個長方體．如圖3，該幾何體有2個小立方體組成，那么它一共包含1+2＝3個長方體．如圖4，該幾何體有3個小立方體組成，那么它一共包含個長方體．如圖5，該幾何體﹣共包含210個長方體，那么該幾何體共有個小立方體組成．探究二：如圖6，該幾何體有4個小立方體組成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9個長方體．如圖7，該幾何體有6個小立方體組成，那么它一共包含個長方體．如圖8，該幾何體共有2m個小立方體組成，那么該幾何體一共有個長方體．探究三：如圖1，該幾何體共有個a×b×c小立方體組成，那么該幾何體共有個長方體．探究四：我們現(xiàn)在可以解決小明開始的問題了．在九階魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有個長方體．探究五：聰明的小明在學(xué)習(xí)了三種視圖后，又提出一個新的問題：在圖1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方體后，剩下幾何體的三種枧圖與原圖1的三種視圖完全一樣，那么最多可以拿走個小立方體；此時，剩下的幾何體的表面積是．【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164【解析】【分析】探究一：先輸出圖4的長方體個數(shù)，然后得出規(guī)律有n小正方體組成的幾何體有個長方體，由此求解即可；探究二：由探究一可知圖6中長一共有1+2=3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9個長方體，圖7中長一共有