中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題23 勾股定理中的樹折和梯子模型（教師版）

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練【模型1】風(fēng)吹樹折模型如圖，已知樹干AB垂直于地面，樹干AC被風(fēng)吹倒后彎折在地，該模型通常轉(zhuǎn)化為直角三角形，應(yīng)用勾股【模型2】梯子模型如圖已知梯子AB向下滑動了x米，如圖A'B'是滑落后的梯子。如果已知梯子的長度和AC,可根據(jù)勾股定理先求出BC的長度，在Rt△A'CB'中，應(yīng)用勾股定理：A'C2+B'C2=AB2→(AC-x)2+(BC+x)2=A'B2可求出滑落的距離x,處還有多高的竹子?(1丈=10尺)答：原處的竹子還有多少尺高.則高為()梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長A.0.5B.0.4∴AE=AC-CE=2-1.5=0.5米.米.【例3】一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高?(2)如果梯子的頂端下滑了4米到A',那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米?(2)梯子的底端在水平方向滑動了8米【分析】(1)AC=25米，BC=7米，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長；(2)由題意得：BA'=20米，根據(jù)勾股定理求得BC',根據(jù)BC'-BC即可求解.答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；(2)由題意得：BA'=20米，答：梯子的底端在水平方向滑動了8米.竹子頂端落在離竹子底端3尺處.折斷處離地面的高度是多少?(其中丈、尺是長度單位，1丈=10尺.)【答案】折斷處離地面的高度是4.55尺.尺，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得答案.【解析】解：設(shè)折斷處離地面x尺，則折斷的度為(10-x)尺，答：折斷處離地面的高度是4.55尺.旗桿折斷部分AB的高度是()則樹高為()A.10mB.12mC.14m由題意得BC⊥AC,BC=6m,AC=8m,∴旗桿折斷之前的高度是16m,4.《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之，在《勾股》章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高BC=3,若設(shè)AC=x,則可列方程為()A.x2+(10-x)2=32B.x2+32=(10+x)2C.(10-x)2+32=x2【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理建立方程即可.設(shè)AC=x,則AB=10-x,那么梯子底部在水平方向上滑動()【分析】依題意畫出圖形，先利用勾股定理求出AC,進(jìn)而得出A'C,再利用勾股定理求出CB'即可解答.如果梯子的底端向外(遠(yuǎn)離墻根方向)移動0.8m至D處，則梯子的頂端將沿墻向下移動的距離AC為()CCA.0.4mB.0.5mC.0.8m【分析】在Rt△ABE中求出AE,在Rt△CDE中求出CE,繼而可得出頂端將沿墻向下移動的距離.7.從前有一天，一個(gè)笨漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫章豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎若比門框高2尺.另一醉漢叫他沿著門的兩個(gè)對角斜著拿竿，這個(gè)笨漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了，你知道竹竿有多長嗎?若設(shè)竹竿的長為x尺，則下列方程，滿足題意的是()A.(x+2)2+(x-4)2=x2B.(x+2)2+(x+4)2=x2C.(x-2)2+(x-4)2=x2D.(x-2)2+(x+4)2=【分析】根據(jù)題意，門框的長，寬，以及竹竿長是直角三角形的三個(gè)邊【解析】解：∵竹竿的長為x尺，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺.故選C.頂端到地面的距離AC為2.4m.如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離A'D為1.5m,則小巷的寬為().A.2.4mB.2.5mC.2.6m【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，BD=√A'B2-A'D2=√2.52-1.52=2m,二、填空題9.如圖，一根旗桿在離地面9m處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前的高為【答案】24米【分析】根據(jù)勾股定理，計(jì)算樹的折斷部分是15米，則折斷前樹的高度是15+9=24米.∴折斷的旗桿與地面形成了一個(gè)直角三角形. 根據(jù)勾股定理，折斷部分的旗桿為：√92+122=15米，∴旗桿折斷之前高度為15+9=24米.10.如圖，山坡上，樹甲從點(diǎn)A處折斷，其樹頂恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB=4m,BC=10m,已知兩棵樹的水平距離為6m,則樹甲原來高【分析】過C作CD⊥AB于D,由題意知BC=10,CD=6,根據(jù)勾股定理可得BD=8,從而得到AD的長，再利用勾股定理可得AC的長，即可得到樹原來的高度.【解析】解：如圖作CD⊥AB交AB延長線于D,由題意知BC=10m,CD=6m, ∴這棵數(shù)原來的高度=(4+6√5)m,11.云南省是我國乃至世界公認(rèn)的竹類種質(zhì)資源大省如圖，有一根由于受端著地，折斷處離地面的高度為3米竹子的頂端落在離竹子根部距離4米處，則這根竹子原來的高度為 【答案】8【分析】由題意，根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度，即故答案為：8.子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離AD為1.5米，則小巷的寬為米.【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長，再在Rt△ABD中利用勾股定理計(jì)算出BD長，然后13.如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米.現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A',使梯子的底端A'到墻根O的距離等于3米，同時(shí)梯子的頂端B下降至B',那么BB'的值1米(填>,<,=)故答案為：<14.如圖，一架梯子AB長10米，底端離墻的距離BC為6米，當(dāng)梯子下滑到DE時(shí)，AD=3米，則BE= 米.【分析】勾股定理先求AC的長，繼而得到CD的長，根據(jù)AB=DE,再次運(yùn)用勾股定理計(jì)算CE的長，根據(jù)BE=CE-CB計(jì)算即可.三、解答題速滾向點(diǎn)O,機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球.如果小球滾動的路程與機(jī)器人行走的路程相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少?【分析】根據(jù)小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，得到BC=AC,設(shè)BC=AC=xm,根據(jù)勾股定理求出x的值即可.:34(8x)2,解得子底端的距離AB是4米.求竹子折斷處與根部的距離CB.【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面的高度是x米，則斜邊為(8-x)米.利用勾股定理解題即可.【解析】解：由題意知BC+AC=8,∠CBA=90°,∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米.17.一個(gè)長13米的梯子斜靠在與地面垂直的墻上，梯子的頂端距離地面12米.(1)如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底端滑動多少米?(結(jié)果保留根號)【分析】(1)利用勾股定理即可求解；(2)設(shè)該距離為x,下滑后，有AB=13,AC=12-x,BC=5+x,利用勾股定理即可求解.【解析】(1)如圖，(2)設(shè)該距離為x米，根據(jù)(1)的結(jié)果，可知下滑前BC=5,根據(jù)題意，下滑后，有AB=13,AC=12-x,BC=5+x,∠C=90°,即：132=(5+x)2+(12-x)2,答：所求的距離為7米.18.一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子底端距墻底6m.(1)若梯子的底端水平向外滑動1m,梯子的頂端下滑多少米?【分析】(1)作出圖形，根據(jù)梯子的底端水平向外滑動1m得出BE的長，根據(jù)勾股定理求出AC和CD的(2)設(shè)AD=BE=x,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.【解析】(1)如圖，△ABC中，AB=10m,BC=6m,∴設(shè)AD=BE=x,則BC2+AC2=CD2+CE2,即62+82=(8-x)2+(6+x)2,解得x=2或x=0(舍去).答：滑動的距離是2米.19.如圖，小磊將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA,測得MA=a,梯子的底端P保持不動，將梯子的頂端靠在對面墻上，此時(shí)∠MPN=90°,梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB,測得NB=b,求A、B之間的距離.∴△AMP≌△BPN(AAS),【答案】(1)2.4米；(2)1.3m【分析】(1)直接利用勾股定理求出AC的長，進(jìn)而得出答案；(2)直接利用勾股定理得出B'C,進(jìn)而得出答案.【解析】解：(1)∵∠C=90°,AB=2.5,BC=0.7,答：此時(shí)梯頂A距地面的高度AC是2.4米；(2)∵梯子的頂端A下滑了0.9米至點(diǎn)A',答：梯子的底端B在水平方向滑動了1.3m.21.如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端為A,梯子的頂端B距地面的垂直距離為BC的長.備用圖(1)若梯子的長度是10m,梯子的頂端B距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端A向外滑動多少米?(2)設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,且a>b,請思考，梯子在滑動的過程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動的距離相等的情況?若存在，請求出這個(gè)距離；若不存在，說明理由.【答案】(1)梯子的底端向外滑動√51-6米；(2)存在，梯子的底端向外滑動的距離是(a-b)米.【分析】(1)已知AB、BC,在直角△ABC(a-x)2+(b+x)2=c2,求解即可.22.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限.其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上且AB=12cm(2)點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是多少cm.【答案】(1)①點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3√3,9);②滑動的距離為6(√3-1)cm;(2)OC最大值12cm.【分析】(1)①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D,根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可；②設(shè)點(diǎn)A向右滑動的距離為x,根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動的距離也為x,根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理解答(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),