第07講 比例線段（4大考點(diǎn)）（解析版）

第07講比例線段（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、成比例線段的概念1．比例的項(xiàng)：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項(xiàng)，b，c稱為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項(xiàng)，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．二、比例的性質(zhì)比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當(dāng)時(shí)，.三、黃金分割如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對(duì)于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）四、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，簡(jiǎn)稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．五、平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．六、平行線分線段成比例定理的推論的逆定理若或或，則有EF//BC．【注意】對(duì)于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對(duì)對(duì)邊的中點(diǎn)的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．【小結(jié)】推論也簡(jiǎn)稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過(guò)同一法，做交AC于點(diǎn)，再證明與F重合即可．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．比例的性質(zhì)（共7小題）1．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知＝5，則的值是（）A． B．﹣ C． D．【分析】根據(jù)已知可得b＝5a，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵＝5，∴b＝5a，∴＝＝＝﹣，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?蕭山區(qū)二模）若2m＝3n，則的值是．【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵2m＝3n，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?麗水期末）已知2a＝3b，求下列各式的值．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用（1）的結(jié)論，然后用設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵2a＝3b，∴＝；（2）∵＝；∴設(shè)a＝3k，b＝2k，∴＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?溫州月考）計(jì)算：（1）已知3：x＝5：2，求x的值．（2）已知＝，y≠0，求的值．【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)直接計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵3：x＝5：2，∴5x＝6，解得x＝；（2）∵＝，y≠0，∴5y＝3（2y﹣x），5y＝6y﹣3x，y＝3x，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，代數(shù)式的求值；熟練掌握比例的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2021秋?余杭區(qū)月考）已知，求的值．【分析】直接利用已知設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝6k，進(jìn)而代入得出答案．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝2k，c＝6k，＝＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．6．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．【分析】設(shè)＝＝＝k，得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，再根據(jù)2x+3y﹣z＝18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，從而得出x+y+z的值．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x+3y﹣z＝18，∴4k+9k﹣4k＝18，∴k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8，∴x+y+z＝4+6+8＝18．【點(diǎn)評(píng)】此題考查比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)＝＝＝k，得出k的值．7．（2021秋?江干區(qū)校級(jí)期中）根據(jù)條件求值．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）把化成+1，再把＝代入計(jì)算，即可得出答案；（2）根據(jù)＝，得出y＝3x，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（1）∵＝，∴＝+1＝+1＝．（2）∵＝，∴y＝3x，∴＝＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，正確將已知變形是解題關(guān)鍵．二．比例線段（共7小題）8．（2021秋?寧波期中）下面四組線段中，成比例的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a(chǎn)＝【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【解答】解：A、1×4＝2×2，故選項(xiàng)符合題意；B、2×5≠3×4，故選項(xiàng)不符合題意；C、4×10≠6×8，故選項(xiàng)不符合題意；C、×3≠×，故選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．9．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知線段a是線段b，c的比例中項(xiàng)，b＝4cm，c＝9cm，則a為（）cm．A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣6【分析】根據(jù)題意可得a2＝bc，代入數(shù)值，解答出即可，注意線段為正值．【解答】解：由題意得，a2＝bc，∵b＝4cm，c＝9cm，∴a2＝36，∴a＝6或﹣6（舍去）；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例線段，注意理解比例中項(xiàng)的定義．10．（2021秋?下城區(qū)校級(jí)月考）比例尺為1：2000000的地圖上，A、B兩地間的圖上距離為2厘米，則兩地間的實(shí)際距離是（）千米．A．0.4 B．4 C．40 D．400【分析】設(shè)兩地間的實(shí)際距離是x厘米，根據(jù)比例尺的定義得到2：x＝1：2000000，再利用比例的性質(zhì)求出x，然后把單位化為千米即可．【解答】解：設(shè)兩地間的實(shí)際距離是x厘米，根據(jù)題意得2：x＝1：2000000，解得x＝4000000cm，所以兩地間的實(shí)際距離是40千米．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，理解比例尺的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．（2022?錢(qián)塘區(qū)一模）已知線段a＝+1，b＝﹣1，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于2．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義直接列式求值，問(wèn)題即可解決．【解答】解：設(shè)a、b的比例中項(xiàng)為x，∵a＝+1，b＝﹣1，∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4∴x＝＝2（舍去負(fù)值），即a、b的比例中項(xiàng)線段等于2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了比例中項(xiàng)等基本概念問(wèn)題和根式的乘法；熟練掌握比例中項(xiàng)的概念和根式的化簡(jiǎn)方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2021秋?衢江區(qū)期末）在比例尺為1：5000的地圖上，甲、乙兩地相距20cm，則它們的實(shí)際距離為1000cm．【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，列比例式即可求得甲乙兩地的實(shí)際距離．要注意統(tǒng)一單位．【解答】解：設(shè)甲乙兩地的實(shí)際距離為xcm，則1：5000＝20：x，解得x＝100000，100000cm＝1000m．即它們的實(shí)際距離為1000m．故答案為：1000cm．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例線段，熟練運(yùn)用比例尺進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．13．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項(xiàng)．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【分析】（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出答案．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，代入計(jì)算，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（負(fù)值舍去）．∴線段a，b的比例中項(xiàng)是3．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，∴＝＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）已知線段a、b、c滿足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．【分析】（1）利用a：b：c＝3：2：6，可設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝6k，則3k+2×2k+6k＝26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解．【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，∴設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝6k，又∵a+2b+c＝26，∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，∴a＝6，b＝4，c＝12；（2）∵x是a、b的比例中項(xiàng)，∴x2＝ab，∴x2＝4×6，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），即x的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．注意利用代數(shù)的方法解決較為簡(jiǎn)便．三．黃金分割（共9小題）15．（2022?富陽(yáng)區(qū)一模）已知線段AB＝2，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則線段AP的長(zhǎng)為（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【分析】根據(jù)黃金比值為計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念，熟記黃金比值為是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋?舟山期末）某品牌汽車(chē)將汽車(chē)倒車(chē)鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖），若車(chē)頭與倒車(chē)鏡的水平距離為1.58米，倒車(chē)鏡到車(chē)尾部分的水平距離較長(zhǎng)，則該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)約為（）米．A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82【分析】設(shè)該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為xm，由黃金分割點(diǎn)的定義得到汽車(chē)倒車(chē)鏡到車(chē)尾的水平距離為x米，再根據(jù)題意列方程x﹣x＝1.58，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為x米，∵汽車(chē)倒車(chē)鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置，倒車(chē)鏡到車(chē)尾部分的水平距離較長(zhǎng)，∴汽車(chē)倒車(chē)鏡到車(chē)尾的水平距離為x米，∴x﹣x＝1.58，解得：x≈4.14，即該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)約為4.14米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．17．（2021秋?嘉興期末）已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB，若AB＝4，則AP的值為2﹣2．【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線段＝AB×，代入計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞PB，AB＝4，∴AP＝4×＝2﹣2，故答案為：2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念．識(shí)記黃金分割的公式是解題的關(guān)鍵．18．（2018秋?長(zhǎng)興縣期末）若線段AB＝6cm，點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則AC的長(zhǎng)為3（﹣1）cm（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【解答】解：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）．故本題答案為：3（﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，要熟記黃金比的值．19．（2021?金東區(qū)校級(jí)模擬）黃金比，這個(gè)比用四舍五入法精確到0.01的近似數(shù)是0.62．【分析】把黃金比按要求用四舍五入法即可得出答案．【解答】解：≈0.62，故答案為：0.62．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金比以及近似數(shù)，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．20．（2022?西湖區(qū)模擬）已知線段AB＝2，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則AP﹣BP＝2﹣4．【分析】根據(jù)黃金分割的概念、黃金比值計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，∴AP＝AB＝，則BP＝2﹣AP＝3﹣，∴AP﹣BP＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，故答案為：2﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割．21．（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知矩形ABCD．（1）作出正方形ABFE，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在線段AD，BC上（尺規(guī)作圖）；（2）若AD＝8，點(diǎn)E為線段AD的黃金分割點(diǎn)且AE＞ED，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）根據(jù)黃金分割的比值可得答案．【解答】解：（1）如圖，首先以A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于E，再以B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于F，最后連接EF，正方形ABFE即為所求．（2）∵AD＝8，點(diǎn)E為線段AD的黃金分割點(diǎn)，∴AE＝?AD＝?8＝4（）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖﹣基本作圖，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中項(xiàng)，求c．（2）如圖，C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，AB＝4，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）由c是a，b的比例中項(xiàng)，得到c2＝ab，代入即可求出答案；（2）由黃金分割點(diǎn)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵c是a，b的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab＝4.5×2＝9，∴c1＝3，c2＝﹣3，∴c為3或﹣3；（2）∵C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，AB＝4，∴AC＝AB＝×4＝2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割點(diǎn)的概念以及比例中項(xiàng)，正確運(yùn)用黃金比進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．23．（2021?杭州模擬）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上．（1）求AM，DM的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？【分析】（1）要求AM的長(zhǎng)，只需求得AF的長(zhǎng)，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD＝＝，則AM＝AF＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：＝，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【解答】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣．故AM的長(zhǎng)為﹣1，DM的長(zhǎng)為3﹣；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．由于＝，∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長(zhǎng)，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．四．平行線分線段成比例（共10小題）24．（2021秋?溫州期末）如圖，l1，l2，l3是一組平行線，直線AC，DF分別與這組平行線依次相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和題目中的條件解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用平行線分線段成比例解答．25．（2021秋?越城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，若AE＝4，EC＝2，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，寫(xiě)出比例線段，代入線段的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，用此定理寫(xiě)出比例線段是解題關(guān)鍵．26．（2022?拱墅區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，BD＝4，AE＝3，則AB的長(zhǎng)為2+4．【分析】利用平行線分線段成比例可得，代入可求得AD，利用線段的和差可得AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝EC，∴AD2＝AE?BD＝3×4＝12，∴AD＝2，∴AB＝AD+BD＝2+4．故答案為：2+4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例中的對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．27．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，則BD的長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，∴＝，解得：BD＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．28．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且，，射線ED和CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則的值為．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH∥EF交AC于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，進(jìn)而求出＝，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BH∥EF交AC于H，則＝＝，∵＝，∴＝，∵BH∥EF，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵．29．（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點(diǎn)，則＝2；若∠CMF＝45°，則＝+1．【分析】①如圖1中，延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題即可．②根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝BC，等量代換得到BE＝BF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝CM，EM＝FM，推出點(diǎn)M在點(diǎn)A和點(diǎn)C的對(duì)稱軸上，連接BD，過(guò)M作MG⊥BC于G，則點(diǎn)M在BD上，根據(jù)等腰三角形的判定得到BE＝BM，設(shè)BG＝GM＝x，得到BE＝BM＝x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：①如圖1中，延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．在正方形ABCD中，∴∠ABC＝∠BD＝∠FCT＝90°，AB＝CB，∵AE＝CF，AE＝EB，∴BE＝BF＝CF，在△BAF和△CTF中，，∴△ABF≌△CTF（ASA），∴AB＝CT，∴CT＝2AE，∵AE∥CT，∴＝＝2，②如圖2中，在△ABF與△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠BAF＝∠BCE，在△AEM與△CFM中，，∴△AEM≌△CFM（AAS），∴AM＝CM，EM＝FM，∴點(diǎn)M在點(diǎn)A和點(diǎn)C的對(duì)稱軸上，連接BD，過(guò)M作MG⊥BC于G，則點(diǎn)M在BD上，∴∠ABM＝∠CBM＝45°，∵∠AME＝∠CMF＝45°，∴∠AME＝∠CBM，∴∠BEM＝∠BAM+∠AME＝∠BME＝∠CBM+∠BCM，∴BE＝BM，∵M(jìn)G⊥BC，∴BG＝GM，設(shè)BG＝GM＝x，∴BE＝BM＝x，∵M(jìn)G∥BE，∴△CMG∽△CEB，∴＝＝，∴＝＝+1，故答案為：2，+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．30．（2021秋?拱墅區(qū)月考）如圖，直線a∥b∥c，＝5，則＝．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵直線a∥b∥c，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．31．（2021秋?定海區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求證：AF：FD＝AD：DB．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出＝，＝，推出＝即可．【解答】解：∵EF∥CD，DE∥BC，∴＝，＝，∴＝，即AF：FD＝AD：DB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意對(duì)應(yīng)成比例．32．（2021秋?下城區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝10，EF＝9，求DE的長(zhǎng)．【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長(zhǎng)．【解答】解：∵l1∥l2∥l3．AB＝6，BC＝10，∴＝＝＝，∵EF＝9，∴DE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．33．（2021秋?嵊州市校級(jí)月考）如圖：AD∥EG∥BC，EG分別交AB，DB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，F(xiàn)G的長(zhǎng)．【分析】在△ABC中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EG，在△BAD中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EF，即可求出FG＝EG﹣EF．【解答】解：∵△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴，∵BC＝10，AE＝9，AB＝12，∴＝，∴EG＝，∵△BAD中，EF∥AD，∴＝，∵AD＝5，AE＝9，AB＝12，∴＝，∴EF＝．∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，已知AB∥CD∥EF且AC∶CE＝3∶4，BF＝14，則DF的長(zhǎng)為（）A．8 B．7 C．6 D．3【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意：∵AB∥CD∥EF，∴AC∶CE＝BD∶DF＝3∶4，所以設(shè)BD＝3x，DF＝4x，所以3x＋4x＝14，即x＝2，∴DF＝4x＝8故答案選：A【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)的比例線段，寫(xiě)出比例式，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線分線段成比例定理．2．（2021·溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）若＝，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將變形為﹣1，再代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴＝﹣1＝﹣1＝．故選：D．【點(diǎn)睛】考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將變形為．3．（2019·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，在中，E，F(xiàn)，G依次是對(duì)角線上的四等分點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．若，的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)AD∥BC，得到，根據(jù)四等分點(diǎn)和MG得到CG，可得MC=MF=4，再證明可得HF，可得MH．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴，∵E，F(xiàn)，G依次是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，MG=1，∴，∴CG=3，∴MF=MC=MG+CG=4，∵AD∥BC，∴，∴HF=4，∴MH=MF+HF=8，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線得到相應(yīng)的比例式．4．（2020·浙江九年級(jí)期末）已知如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則下列結(jié)論中正確的是（）A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BAC． D．【答案】C【詳解】黃金分割定義知，,所以AC2=AB.設(shè)AB=1，AC=x,,解得：x=.選C.5．（2021·浙江九年級(jí)期末）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)O處開(kāi)始依次在兩軸上畫(huà)出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點(diǎn)C的標(biāo)度就可以求出OC的長(zhǎng)度．當(dāng)a=4，b=6時(shí)，讀得點(diǎn)C處的標(biāo)度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過(guò)分別向橫軸和縱軸作輔助線得到等腰三角形，建立線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)利用平行線分線段成比例的推理，建立比例關(guān)系式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)C點(diǎn)分別向OA、OB作垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E，因?yàn)椤螦OB=90°，OP平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，∴OE=CE=CD=OD,設(shè)OE=CE=CD=OD=x,∴BE=6-x，∵CE∥OA，∴,∴，∴，∵OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,∴點(diǎn)C處的標(biāo)度等于CD的長(zhǎng)，即為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的判定、角平分線的定義和平行線分線段成比例定理的推論等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意與圖形，能在圖形中得到對(duì)應(yīng)等量關(guān)系，能正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．二、填空題6．（2021·杭州市采荷中學(xué)九年級(jí)二模）線段，點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)（），則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到，把代入計(jì)算即可．【詳解】解：線段，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江九年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，AD：DC=1：2，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，BC=12，則BF=_________．【答案】3【分析】過(guò)E作BC的平行線交AC與G，由中位線的知識(shí)可得出DG：DC=1：2，根據(jù)已知和平行線分線段成比例得出EG：FC=2：3，再根據(jù)BC=12，即可得出BF的值．【詳解】解：過(guò)E作EG∥BC，交AC于G，∵EG∥BC，E為BD中點(diǎn)，BC=12，∴DG=CG，，∴EG=6，又∵AD：DC=1：2，∴AG：AC=2：3，∵EG∥BC，∴，∴FC=9，∵BC=12，∴BF=BC-FC=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識(shí)，難度較大，注意熟練運(yùn)用中位線定理和三角形面積公式．8．（2021·浙江衢江·九年級(jí)期末）數(shù)2和8的比例中項(xiàng)是___．【答案】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念：比例中項(xiàng)的平方等于兩個(gè)數(shù)的乘積，設(shè)2和8的比例中項(xiàng)是x，列出方程計(jì)算即可．【詳解】設(shè)2和8的比例中項(xiàng)是x，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】題主要考查了比例中項(xiàng)的概念，設(shè)出未知數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021·溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）若線段a＝4，b＝9，則線段a，b的比例中項(xiàng)為_(kāi)___________．【答案】6【分析】由四條線段a，x，x，b成比例，根據(jù)成比例線段的定義解答即可．【詳解】解：設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c,c>0,根據(jù)比例中項(xiàng)原則：c2＝ab，∴c2＝4×9，∴c＝6故答案：6．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段、比例中項(xiàng)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（2020·浙江拱墅·樹(shù)蘭中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則__________【答案】1：9【分析】過(guò)D做DM∥AC，得出△AEG≌△DMG，進(jìn)而得出EG=MG，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出BG與EG關(guān)系，從而得出1:9．【詳解】過(guò)D做DM∥AC，∴∠EAG=∠MDG，∠AEG=∠DMG∵G為AD的中點(diǎn)∴AG=DG∴△AEG≌△DMG∴EG=MG，∵BD:DC=4:1∴BM:EM=BD:DC=4:1∴BM=4EM=8EG∴BG=9EG∴EG:BG=1:9故答案是1:9【點(diǎn)睛】本題主要考察了全等三角形和平行線成比例定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知條件做出合適的輔助線是解題關(guān)鍵．11．（2021·浙江衢州·）將一副三角板如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合，AB在x軸正半軸上，且，點(diǎn)E在AD上，，將這副三角板整體向右平移_______個(gè)單位，C，E兩點(diǎn)同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上．【答案】【分析】分別求出，，假設(shè)向右平移了m個(gè)單位，將平移后的店代入中，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】過(guò)E作EN⊥DB,過(guò)C作CM⊥BD，∴，由三角板及，可知，BD=12，CM=BM=DB=6，∴，∵，，∴EN//OB，∵∴，∴．設(shè)將這副三角板整體向右平移m個(gè)單位，C，E兩點(diǎn)同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上．∵，，∴平移后，，∴，∴，解得．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角形以及平移規(guī)律，平行線分線段成比例，反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握平移規(guī)律，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．（2019·浙江溫州·九年級(jí)期末）（1）已知，求的值．（2）已知線段，求線段a，b的比例中項(xiàng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到結(jié)果，注意負(fù)值舍去．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵線段，∴，∴線段a，b的比例中項(xiàng)為（負(fù)值舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例線段，熟練掌握線段的比例中項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2021·浙江杭州·）如圖，AD平分，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且．（1）求證：．（2）若，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）6．【分析】（1）根據(jù)AD平分，，，可得，，利用，易證，即有；（2）根據(jù)，，可得，即是等腰直角三角形，得到，利用，根據(jù)平行線的性質(zhì)有，即有：．【詳解】解：（1）∵AD平分，，，∴，，又∵，∴，∴（2）∵∴又∵，∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴,即有：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2020·浙江九年級(jí)期末）已知：正方形中，為邊中點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，交于，交于，連接．（1）求證：；（2）求的值；【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6：4：5【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題；（2）分別求出、、即可解決問(wèn)題；【詳解】解：（1）證明：四邊形是正方形，，，，，．（2），，，，在中，，，，，同法可得，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．15．（2021·浙江婺城·）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C是線段AB與格線的交點(diǎn)．利用網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺按下列要求畫(huà)圖．（1）在圖1中，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線．（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線．【分析】（1）直接利用網(wǎng)格作出所求垂線即可；（2）結(jié)合（1）的作圖，再利用平行線分線段成比例定理作圖即可．【詳解】解：（1）BD即為所求；（2）CE即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，靈活運(yùn)用網(wǎng)格進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵．16．（2021·浙江寧波·九年級(jí)一模）如圖①，在的方格圖中，矩形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，已知，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)．（1）求的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在邊上找一點(diǎn)，使得，并求的長(zhǎng)；（3）如圖②，在（2）的條件下，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作，分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)和，求的最小值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析，；（3）【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）取格點(diǎn)G，連接AG交CD于F，再利用平行線分線段成比例定理即可求得AF的長(zhǎng)；（3）將沿方向平移至處，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值．過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）∵為的中點(diǎn)，，∴．又∵，，∴；（2）作圖如下．由圖得，，，∵，∴，∴△AGE是等腰直角三角形，∴∠EAF=45°，∵GH∥AD，∴，即，∴；（3）將沿方向平移至處，∴四邊形是平行四邊形，且點(diǎn)是定點(diǎn)，則，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值．∵M(jìn)N∥AF，且AM∥FN，∴四邊形