2022-2023學(xué)年湖南省益陽(yáng)市大榮中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省益陽(yáng)市大榮中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為了得到函數(shù)y=4cos2x的圖象，只需將函數(shù)y=4cos(2x+)的圖象上每一個(gè)點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)向左平動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)的圖象上每一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=4cos[2（x﹣）+]=4cos2x的圖象，故選：D．2.已知向量，，則的最大值、最小值分別是（

）A.

B.

C.16,0

D.4,0參考答案：D3.已知直線ax+y+a+1=0，不論a取何值，該直線恒過(guò)的定點(diǎn)是（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）參考答案：A【考點(diǎn)】恒過(guò)定點(diǎn)的直線．【分析】由直線ax+y+a+1=0變形為a（x+1）+y+1=0，令，解得即可．【解答】解：由直線ax+y+a+1=0變形為a（x+1）+y+1=0，令，解得x=﹣1，y=﹣1，∴該直線過(guò)定點(diǎn)（﹣1，1），故選：A．4.已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.－2 B.0 C.2 D.6參考答案：B【分析】先將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，寫出圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，由垂徑定理列方程解出即可.【詳解】解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，得圓心為，半徑圓心到直線的距離，又弦長(zhǎng)由垂徑定理得，即所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知兩個(gè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則等于(

)A.1 B. C. D.參考答案：B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)將化為同底的，再化簡(jiǎn)，將分子分母配湊成前n項(xiàng)和的形式，再利用題干條件，計(jì)算?！驹斀狻俊叩炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，對(duì)任意的正整數(shù)，都有，∴．故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題。7.已知函數(shù)y=，若f（a）=10，則a的值是A．3或–3 B．–3或5 C．–3 D．3或–3或5參考答案：B8.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)（4，2）點(diǎn)，則（

）（A）

（B）2

（C）4

（D）參考答案：A由題意可設(shè),又函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)（4，2）,,,從而可知，則.故選A

9.命題“若x2＜1，則﹣1≤x＜1”的逆否命題是（）A．若x2≥1，則x＜﹣1或x≥1 B．若﹣1≤x＜1，則x2＜1C．若x≤﹣1或x＞1，則x2＞1 D．若x＜﹣1或x≥1，則x2≥1參考答案：D【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】直接利用四種命題的逆否關(guān)系，寫出結(jié)果即可．【解答】解：命題“若x2＜1，則﹣1≤x＜1”的逆否命題是：若x＜﹣1或x≥1，則x2≥1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四種命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．10.某城市為保護(hù)環(huán)境，維護(hù)水資源，鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，做出了如下規(guī)定：每月用水不超過(guò)8噸，按每噸2元收取水費(fèi)，每月超過(guò)8噸，超過(guò)部分加倍收費(fèi)，某職工某月繳費(fèi)20元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水（）A．10噸 B．13噸 C．11噸 D．9噸參考答案： D【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】根據(jù)條件建立函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)用水x噸時(shí)，對(duì)應(yīng)的收費(fèi)為f（x），則由題意知，當(dāng)0≤x≤8，∴f（x）=2x，此時(shí)最多繳費(fèi)16元．當(dāng)x＞8，超出部分為x﹣8，∴f（x）=2×8+4（x﹣8）=4x﹣16．即f（x）=．∵20＞16，∴該職工這個(gè)月實(shí)際用水x＞8，∴由f（x）=4x﹣16=20，即4x=36，解得x=9（噸），故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域是

．參考答案：12.已知扇形的面積為4cm2,該扇形圓心角的弧度數(shù)是,則扇形的周長(zhǎng)為

cm．參考答案：1013.方程的解為

．參考答案：x=－2令，則解得：或即，∴

14.已知，則的取值范圍是

。參考答案：15.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若a1＞0，S4＝S8，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為_(kāi)___________．參考答案：616.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若．，則______；______．參考答案：

－12

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)求.根據(jù)首項(xiàng)與公差求.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中仍成等差數(shù)列，所以，因?yàn)?所以，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和公式以及性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬中檔題.17.若函數(shù)f（x）=x2-2x+1在區(qū)間[a，a+2]上的最大值為4，則a的值為_(kāi)___________.參考答案：－1或1【分析】對(duì)a分類討論，利用函數(shù)f（x）=x2-2x+1在區(qū)間[a，a+2]上的最大值為4，建立方程，即可求得a的值.【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，，即，；

當(dāng)時(shí)，，即，；

綜上知，的值為1或?1.

故答案為：1或?1.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.2019年是我國(guó)脫貧攻堅(jiān)關(guān)鍵年.在扶貧工作中，為幫助尚有90萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的某小微企業(yè)盡快脫貧，市政府繼續(xù)為其提供30萬(wàn)元無(wú)息貸款，用以購(gòu)買某種生產(chǎn)設(shè)備.已知該設(shè)備每生產(chǎn)1萬(wàn)件產(chǎn)品需再投入4萬(wàn)元的生產(chǎn)資料費(fèi)，已知一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬(wàn)件的銷售收入為萬(wàn)元，且，企業(yè)在經(jīng)營(yíng)過(guò)程中每月還要支付給職工3萬(wàn)元最低工資保障.（Ⅰ）寫出該企業(yè)的年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，企業(yè)獲得的年利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；（Ⅲ）企業(yè)只依靠生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品，最早在幾年后能償還所有貸款？參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）年產(chǎn)量為9萬(wàn)件時(shí)，企業(yè)獲得的年利潤(rùn)最大為24萬(wàn)元；（Ⅲ）5年.【分析】（Ⅰ）根據(jù)，分段求得利潤(rùn)，將其寫成分段函數(shù)即可；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中所求，求分段函數(shù)的最值；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中所求，解簡(jiǎn)單不等式即可求得.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)；時(shí)，.所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)萬(wàn)件時(shí)，企業(yè)獲得的利潤(rùn)最大為14萬(wàn)元；時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)萬(wàn)件時(shí)，乙獲得的利潤(rùn)最大為24萬(wàn)元.綜上可知，年產(chǎn)量為9萬(wàn)件時(shí)，企業(yè)獲得的年利潤(rùn)最大為24萬(wàn)元.（Ⅲ）由題意，設(shè)最早年后還清所有貸款，則有，解得，所以企業(yè)最早5年后還清所有貸款.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，屬綜合基礎(chǔ)題.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，在圓上．（1）求圓M的方程；（2）過(guò)點(diǎn)D(3,1)的直線l交圓M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．①若弦長(zhǎng)EF=8，求直線l的方程；②分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作圓M的切線，交于點(diǎn)P，判斷點(diǎn)P在何種圖形上運(yùn)動(dòng)，并說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）設(shè)圓的方程為：，由題意可得解得，，，故圓的方程為．（2）由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程是，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則的方程為，即，由，可得圓心到的距離，故，解得，故的方程是，所以，的方程是或．②設(shè)，則切線長(zhǎng)，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得圓的方程為：，①又因?yàn)榈姆匠虨?，②②①化?jiǎn)得直線的方程為，將代入得：，故點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)．

20.定義在數(shù)集U內(nèi)的函數(shù)y=f（x），若對(duì)任意x1，x2∈U都有|f（x1）﹣f（x2）|＜1，則稱函數(shù)y=f（x）為U上的storm函數(shù)．（Ⅰ）判斷下列函數(shù)是否為[﹣1，1]內(nèi)storm函數(shù)，并說(shuō)明理由：①y=2x﹣1+1，②；（Ⅱ）若函數(shù)在x∈[﹣1，1]上為storm函數(shù)，求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的值．【分析】（Ⅰ）逐一判定函數(shù)是否滿足：對(duì)任意x1，x2∈U都有|f（x1）﹣f（x2）|＜1即可．（Ⅱ）依題意，若f（x）為storm函數(shù)，有f（x）max﹣f（x）min＜1，x∈[﹣1，1]，分類求出的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）①y=2x﹣1+1是[﹣1，1]內(nèi)storm函數(shù)，理由：y=2x﹣1+1在[﹣1，1]上單調(diào)增，且，∵，∴滿足?x1，x2∈U，|f（x1）﹣f（x2）|＜1；②是[﹣1，1]內(nèi)storm函數(shù)，理由：在[﹣1，1]上，且，∵，∴滿足?x1，x2∈U，|f（x1）﹣f（x2）|＜1；（Ⅱ）依題意，若f（x）為storm函數(shù)，有f（x）max﹣f（x）min＜1，x∈[﹣1，1]，的對(duì)稱軸為x=b．1°若b＜﹣1，，∴，無(wú)解；2°若﹣1≤b＜0，，∴；3°若0≤b≤1，，∴；4°若b＞1，，∴，無(wú)解．綜上，b的取值范圍為．21.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，并滿足以下條件：①對(duì)任意x∈R，有f（x）＞0；②對(duì)任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求證：f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；（2）若f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥1對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（1）利用賦值法求f（1），然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為4x+a?2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指數(shù)不等式的性質(zhì)求a的取值范圍．【解答】解：（1）證明：令x=，y=3得f（1）=[f（）]3，∵．∴所以f（1）＞1．令x=1，則f（xy）=f（y）=[f（1）]y，即f（x）=[f（1）]x，為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．（2）f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，對(duì)任意x∈R，有f（x）＞0，故f（0）=1，f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥f（0），由（1）有f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，即：4x+a?2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立令2x=t，t＞0則t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；ii）得．綜上可知．22.已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+sin2x．（Ⅰ