2021-2022學年河南省南陽市八年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2021-2022學年河南省南陽市八年級（上）期末數(shù)學試卷

（含解析）

（時間90分鐘，滿分120分）

題號一二三四總分

得分

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.高的算術平方根是（）

A.：B.-JC.±5D.|

2.M在數(shù)軸上位于相鄰的兩個整數(shù)之間，這兩個相鄰的整數(shù)是（）

A.1和2B.2和3C.3和4D,4和5

3,下列運算正確的是（）

A.a2*a3=a6B,a2,b2=（ab）4

4377

C.(a)=aD.(-m)4-(-m2)=m5

4.如果一個三角形的一內角平分線垂直于對邊，那么這個三角形一定是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.不能確定

5.分別以下列每組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三條線段的長，首尾順次相接能構成三角形的

是（）

A.0.3,0.5,0.8B.向回B

111

鏟8D.3,5,8

6.如圖，正方形ABCD中，AB=2,延長8C到點E,使

CE=1,連接。E,動點尸從點B出發(fā)，以每秒1個單

位速度沿BC—CD—DA向終點A運動，設動點P的

運動時間為f秒，當aABP和全等時，f的值為

（）

A.1

B.3

C.3或5

D.1或5

7.如圖，正方形ABC。內有兩條相交線段MN、EF,M、N、E、

尸分別在邊A3、CD、AD,8C上.小明認為：若MN=EF,

則MN1EF；小亮認為：若MN1.EF,則MN=ER你認為

（）

A.兩人都對

B.僅小亮對

C.僅小明對

D.兩人都不對

8,可以用來說明命題“爐＜》2,則尤＜y"是假命題的反例是（）

A.x=4,y=3B.x=-l,y=2C.x=-2,y=lD.x=2,y=-3

9.下列計算正確的是（）

A.a2,?3=a6B.2a+3b=5ab

C.a&^a2=a6D.(a+b)2=層+抉

10.如圖，AABC中，AB=AC,AD18C于點。，下列結論

中不一定正確的是（）

A.Z.B-Z.C

B.BC=2BD

C.^BAD=^CAD

D.AD=^BC

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.分解因式（2.7-1）2+8。=.

12.若|x|=3,則x=；若|x|=3,且x＜0,則產(chǎn)；若|x|=3,且無＞0,則下

13.一組數(shù)據(jù)，樣本容量為100,共分為五組，前三個組的頻數(shù)分別為15、15、18,第

四組的頻率是0.2,那么第五組的頻率是.

北

14.如圖，在一次測繪活動中，某同學站在點A的位置

觀測停放于小C兩處的小船，測得船B在點A北偏

東75。方向150米處，船C在點A南偏東15。方向120

米處，則船B與船C之間的距離為米（精確

到0.1m）.

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15.如圖，等邊AABC的邊長為12cm,M,N兩點分別從點A,

8同時出發(fā)，沿AABC的邊順時針運動，點M的速度為

la〃/s,點N的速度為2CM/S,當點N第一次到達8點時，

M,N兩點同時停止運動，則當A/,N運動時間/=s

時，AAMN為等腰三角形.

三、計算題（本大題共1小題，共10.0分）

16.因式分解

(1)2〃一1242+18。(2)9tz2(x—y)+4b\y~x)

四、解答題（本大題共7小題，共65.0分）

17.根據(jù)同底數(shù)底的乘法法則,我們知道：。"什"=（嚴（其中。加，"2,"為正整數(shù)）,

類似地我們規(guī)定關于任意正整數(shù)相，”的一種新運算：Hm+n=Hm-Hn,例如，

H3=H2+1=H2?H1,82=必+1="1?81.請根據(jù)這種新運算解決以下問題：

（1）若81=-1,則反3=;H&=;

（2）若以=729,求Hi的值；

（3）若卜4且Hi>0,求出學的值.（結果用幕的形式表示）

“2”2”3”4?100

18.如圖，在。。中，A3、AC為互相垂直的兩條弦，ODLAB于點。，0E14C于點E,

若AB=8c〃z,AC=6CTM求G)0的半徑.

19.小青在八年級上學期各次數(shù)學考試的成績如表:

平時

考試類別期中考試期末考試

測驗1測驗2測驗3測驗4

成績（分）132105146129134130

（1）求小青該學期平時測驗的平均成績；

（2）如果學期的總評成績是根據(jù)圖所示的權重計算，請計算出小青該學期的總評

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D

(2)小強從M點到達A點還需要多長時間？

21.我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等.那么在

什么情況下，它們會全等？

閱讀與證明：

(1)這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等.

(2)這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等.

(3)這兩個三角形均為銳角三角形，也可證全等.

請你在上述的說法的2或者3中選擇一個進行證明(提示：請寫出已知與求證)

22.如圖，在AABC中，ZABC為銳角，點M為射線8A上一點，連接CM,以CM為

直角邊且在CM的下方(沿CM順時針方向)作等腰直角三角形CMN,NMCN=90。,

連接8N.

(1)若AC=BC,zACB=90°

①如圖1,當點M在線段AB上(與點A不重合)時，則與AM的數(shù)量關系為

，位置關系為;

②當點M在線段8A的延長線上時，①的結論是否成立，請在圖2中畫出相應圖形

并說明理由.

(2)當圖3,若ACrBC,zACB^90°,zABC=45°,點M在線段AB上運動，請判

斷股V與A8的位置關系，并說明理由.

(1)若/3。。=30。時，求AP的長；

(2)當點P,。運動時，線段P。與線段Q。是否相等？請說明理由；

(3)在運動過程中線段助的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段即的長；如

果發(fā)生變化，請說明理由.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了算術平方根的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵.

根據(jù)算術平方根的定義解答即可.

【解答】

解：6)2*，

.?《的算術平方根是:

故選A.

2.【答案】B

【解析】解：,??4<7<9,

.-.2<77<3,

???/在數(shù)軸上位于相鄰的兩個整數(shù)之間，

,這兩個相鄰的整數(shù)是2和3,

故選：B.

估算出/的值即可解答.

本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關鍵.

3.【答案】D

【解析】解：A.>3=爐,故此選項不合題意；

B.理*吩=(ab)2,故此選項不合題意；

C.(.4)3=“12,故此選項不合題意；

D.(-m)7+(-m2)=m5,故此選項符合題意；

故選：D.

直接利用單項式乘單項式以及塞的乘方運算法則、同底數(shù)幕的除法運算法則分別化簡,

進而判斷得出答案.

此題主要考查了單項式乘單項式以及累的乘方運算、同底數(shù)累的除法運算，正確掌握相

關運算法則是解題關鍵.

4.【答案】A

如圖：???NBAQNCA。，ZA￡)B=ZAOC=90°,AD=AD,

：./\ABD^^ACD,

■■.AB=AC,

??.這個三角形一定是等腰三角形.

故選A.

5.【答案】B

【解析】解：A、03+0.5=0.8,不能構成三角形，不符合題意；

B、擲+而＞押，能構成三角形，符合題意；

c、不能構成三角形，不符合題意；

。、3+5=8,不能構成三角形，不符合題意；

故選：B.

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可.

本題考查的是三角形的三邊關系定理，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵.

6.【答案】D

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【解析】解：當點P在3C上時，mBP=LDCE=90。,AB=DC,

當BP=CE=1時，4ABPm4DCE,

當點尸在CD時，AA8尸與△/)(?￡不全等，

當點尸在AO上時，kBAP=ADCE=9(T,AB=DC,

當AP=CE=l時，ABAP=ADCE,

故選：D.

分三種情況討論，由正方形的性質和全等三角形的性質可求解.

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定，靈活運用這些性質解決問題是解題的關

鍵.

7.【答案】B

【解析】解：如圖，過點￡作EG12C于點G,過點〃作MPIC。于點P,謖EF與MN

相交于點。，與EF相交于點。，

,?,四邊形ABCD是正方形，

：.EG=MP,

對同學小明的說法：

在Rt^EFG和Rt^MNP中，

(MN=EF

\EG=MP'

：.RtLEFG=Rt^MNP(HL),

:.乙MNP=LEFG,

■.■MPLCD,zC=90°,

；.乙EQM=，EFG=AMNP,

又“AMNP+ANMP=90°,

；/EQM+乙NMP=90°,

在4/。。中，AMOQ=18Q°-(乙EQM+乙NMP)=180°-90°=90°,

.-.MNLEF,

當E向O移動，/向B移動，同樣使MN=EF此時就不垂直,

故小明不正確.

對乙同學的說法：zC=90°,

???乙EQM=^EFG,

??,MNLEF,

.'.^NMP+AEQM=90°,

又?:MP[CD,

???(NMP+(MNP=9S,

工乙EQM=cMNP,

乙EFG=^MNP,

在△跖G和△MNP中，

(乙EFG=乙MNP

\z.EGF=AMPN=90°

\EG=MP'

??△EFGNXMNP(AAS),

：.MN=EF,故小亮同學的說法正確，

綜上所述，僅小亮同學的說法正確.

故選艮

分別過點E作EG1BC于點G,過點M作MPVCD于點P,設所與MN相交于點0,

MP與斯相交于點。，根據(jù)正方形的性質可得EG=MP,對小明同學的說法，先利用

證明即ZkEPG和放AA/NP全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得NMNP=NEFG,

再根據(jù)角的關系推出乙EQM=LMNP,然后根據(jù)NMNP+NMWP=90。得到

LNMP+乙EQM=9Q°,從而得到NMOQ=90。，根據(jù)垂直的定義，MN1EF,當E向。移動，

廠向2移動，同樣使MN=E尸，此時就不垂直；對小亮同學的說法，先推出NEQM=NEFG,

NEQM=NMNP,然后得至I]NEFG=NMNP,然后用J用“角角邊”證明AE/G和AMNP全等，

根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=MN.

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，作出輔

助線，構造出全等三角形是解題的關鍵，通常情況下，求兩邊相等，或已知兩邊相等，

都是想法把這兩條線段轉化為全等三角形的對應邊進行求解.

8.【答案】D

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【解析】解：當x=2,y=-3時，x1<y1,但x>?

故選：D.

據(jù)要證明一個結論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題.

此題考查的是命題與定理，要說明數(shù)學命題的錯誤，只需舉出一個反例即可這是數(shù)學中

常用的一種方法.

9【答案】C

【解析】解：A、。2.〃=°5,故A不符合題意，

B、2a與"不是同類項，不能合并，故2不符合題意，

C、as^a2=a6,故C符合題意，

D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故。不符合題意.

故選：C.

根據(jù)塞的運算可判斷A、C,由合并同類項法則可判斷完全平方公式可判斷

本題主要考查事的運算和完全平方公式以及合并同類項，屬于較容易的題目.

10.【答案】D

【解析】解：--ADIBC,

.-.^ADB=AADC=9Q°,

在Rt^ABD和Rt&ACD中，

(AB^AC

\AD^AD>

.-.Rt^ABD=RtAACD(HL),

■■/.B-/.C,BD=CD,/.BAD-Z.CAD,

?.BC=1BD,

當NBAC=90°時，AD=^BC,

故選：D.

證RfAABDmRfAACD(HL),得乙B=4C,BD=CD,4BAD=4CAD,貝!]BC=2BD,當NBAC=90°

時，AD=^BC,即可得出結論.

本題考查了全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題

的關鍵.

11.【答案】(2fl+l)2

【解析】解：原式=402+4a+l=(2a)2+4a+l=(2a+1)2,

故答案為：(2a+l)2.

將原式化簡，利用完全平方公式分解即可.

此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

12.【答案】±3；-3；3

【解析】解：若|x|=3,則％=±3；若國=3,且x<0,則x=-3；若|x|=3,且x>0,則x=3,

故答案為：±3；-3；3.

原式利用絕對值的代數(shù)意義判斷即可.

此題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的代數(shù)意義是解本題的關鍵.

13.【答案】0.32

【解析】解:第四組的頻數(shù)：100x0.2=20,

第五組的頻數(shù)：100-15-15-18-20=32,

第五組的頻率是32-100=0.32,

故答案為：0.32.

首先計算出第四組的頻數(shù)，利用100減去各組頻數(shù)可得第五組的頻數(shù)，然后再計算頻率

即可.

此題主要考查了頻數(shù)與頻率，關鍵是掌握頻率=頻數(shù)+總數(shù).

14.【答案】192.2

【解析】解：根據(jù)題意得：zBAC=90°,A8=150米，AC=120米，

在Rt^ABC中，BC=^AB2+AC=30阿句92.2米，

故答案為：192.2

根據(jù)已知條件得到NBAC=90。，42=150米，AC=120米，由勾股定理即可得到結論.

第12頁，共20頁

本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，會識別方向角是解題的關鍵.

15.【答案】4或16

【解析】解：如圖1,設點M、N運動尤秒后，AN=AM,

由運動知，AN=\2-2x,AM=x,

???12-2x=x,

解得：x=4,

.,.點M、N運動4秒后，AAMN是等腰三角形；

圖1

如圖，假設AAMN是等腰三角形，

.-.AN=AM,

：.AAMN=AANM,

：.^AMC=/-ANB,

???△ACB是等邊三角形，

.?.ZC=ZB,

在△ACM和AABN中，

ZC=ZB,AAMC=2LANB,AC=AB,

：.6.ACM=^ABN(44S),

：.CM=BN,

設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，AAMN是等腰三角形,

：.CM=y-U,NB=36-2y,

■：CM=NB,

*y-12=36-2》,

解得：y=16.故假設成立.

.,.點M、N運動時間為4秒或16秒時，AAMN為等腰三角形.

故答案為：4或16.

分兩種情況求解：如圖1,由可得AN=AM,可列方程求解；如圖2,首先假設AAMN是

等腰三角形，可證出"CM三AABN,可得CM=BN,設出運動時間，表示出CM,NB,

的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值.

此題主要考查了等邊三角形的性質及等腰三角形的判定，關鍵是根據(jù)題意計算動點M

和N的路程，理清線段之間的數(shù)量關系.

16.【答案】⑴2a(a-3(2).{x-y)(3a+2b')(3a-2b')

【解析】試題分析：考查因式分解。首先提前公因式，然后用乘法公式化簡。

(1)原式=&(2a‘一12a+1砥

=2a(a2—6a+9)

=2?叱豕

(2)原式=91住一了)一432。一了)

=(x-y)(9a2-4b2)

=(x-y)(3a+2B)(%-28)

考點：因式分解

17.【答案】-11

【解析】解：(1)H2=HI+I=HI?HI,

.田2=1,

：.H3=H2+1=H2?H1,=1X(-1)=-1,

Hs=(Hl)8=1.

故答案為：-1,1；

(2)由(1)可知，H6=(HI)6=729=36,

??.Hi二±3；

42

(3)?:/=(HI),H2=(HI),

???，=(Hi)2=4,

H2

第14頁，共20頁

.*.Hi=±2,

vHi>0,

?田1二2；

H”4H&HRH)ncc

??7/+/+/+尷…+蠟=”1+(Hl)2+("1)3+...+(Hl)〃，

H2”3”4Hn

HHHH8H2QQ

:.—4--+—4-—…+----=2lul-2.

"1H2"3"4”100

n

(1)由題意可得"1=1,則以2=1,Hn=(Hl);

(2)由(1)可知，”6=(Hl)6=729,依此即可求出Hl；

(3)化簡式子梟言+*?…+察/+(Hi)2+("1)3+.+(山)”，再將用=2代入求

H

“1n2n3“4n

和即可.

本題考查數(shù)字的變化規(guī)律；能夠通過所給例子，找到式子的規(guī)律，利用有理數(shù)的混合運

算解題是關鍵.

18.【答案】解：連接OA,

■■■AB1AC,OD1AB,OE1AC,

.-.zC4B=zO￡A=zODA=90°；

四邊形OEAQ是矩形；

：.OD=AE

???點。為圓心，OD1AB,OE1AC,

■■.AE=^AC=6x^=3cm,AD=^AB=8x^=4cm；

在放△04。中，ZODA=90°,OD=AE=3cm,AD^4cm

??OA=^OD2+AD2=^32+42=5cm

即O。的半徑為5c〃z.

【解析】此題主要考查了垂徑定理及勾股定理的綜合應用.

連接。4,易知四邊形OD4E是矩形，貝|OE=A。，OD=AE；由垂徑定理，可求得AE、

的長，進而可在(或MAOAE)中，由勾股定理求得半徑的長.

19.【答案】解：(1)平時測驗總成績?yōu)椋?32+105+146+129=512(分)，

平時測驗平均成績?yōu)椋?12-4=128(分),

答：小青該學期平時測驗的平均成績是128分；

(2)總評成績?yōu)椋?28xl0%+134x30%+130x60%=131(分)，

答：小青該學期的總評成績是131分.

【解析】本小題主要考查平均數(shù)、權重、加權平均數(shù)等基本的統(tǒng)計概念，考查從統(tǒng)計表

和統(tǒng)計圖中讀取有效信息的能力.

(1)首先求得平時成績的和，然后除以數(shù)據(jù)的個數(shù)即可求得平時的平均成績；

(2)利用加權平均數(shù)求得平均成績即可.

20.【答案】解：(1)「CM和。M的夾角為90。，P

.?21+42=90。，/

-.■^DBA=90°,/

.?22+40=90。，A-----------~R

.,.zl=z.￡),

=Z-B

在△CAM和△M3。中，Z1=zD,

[CM=MD

,MCAMZAMBD(AAS),

.'.AM=DBfAC=MB,

^AC=3mf

-AB=12m,

^AM=9m1

.\DB=9m；

(2)9:0.5=18(s).

答：小強從M點到達A點還需要18秒.

【解析】(1)首先證明ACAM三可得AC=MB,然后可求出AM的長,

進而可得。8長；

(2)利用路程除以速度可得時間.

此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確判定ACAM三△MB。，掌握全等三角形

的判定定理：SSS、SAS,ASA,A4S、HL.

第16頁，共20頁

21.【答案】解：已知：XABC、”向。均為銳角三角形，AB=AiBi,BC=BC,zC=zCi.

求證：△ABC^^AiBiCi.

證明：過8作3O1AC于。，過Bi作BidlSCi于。1,

在ABOC和△BIDICI中，

ZC=ZC1

/.BDC=ZBiCiBi，

{BC=BiCi

BDCmABiDiCi,

BD=B\D\,

在Rt^BDA和Rt^BiDiAi中

AB=Bi

{BD=BiPi

RtABDA=Rt^BiDiAi(HL),

???zA=zAi,

在△ABC和△AiBiCi中

ZC=ZC1

/.A=/.AY

{AB=J4IJ3I

ABC=AAIBICI(A4S).

【解析】過8作8DLAC于。，過Bi作BiOilBCi于。1,得出

zBZ)A=zBiDiAi=zBr>C=zBiDiCi=90°,根據(jù)&4S證三△BiOiCi,JthBBD=BxD\,

根據(jù)HL證放ABOA三R/ABIOIAI,推出乙4=乙41,根據(jù)AAS推出AABC三AAIBICI即可.

22.【答案】AM=BNAMA.BN

【解析】解：（1）①AM與數(shù)量關系是AM=BN,位置關系是AM18N,.

理由：如圖1,???△ABC,ACMN為等腰直角三角形，

.-.AACB=^MCN=90°,AC=BC,CM=CN,zCAB=zCBA=45°

.-.^ACM=^BCN,且AC=BC,CM=CN,

.?△ACMm4BCN(SAS)

:.乙CAM=^CBN=A5°,AM=BN.

.?.zA2N=45°+45°=90°,即AM1BN

故答案為：AM=BN,AMLBN；

②當點M在線段BA的延長線上時，①的結論仍然成立.

理由如下：如圖2,

：.^ACB=AMCN=90°,AC=BC,CM=CN,zCAB=zCBA=45°

：.AACM=^BCN,且AC=BC,CM=CN,

:AACMm4BCN(SAS)

；.4cAM=4CBN=45°,AM=BN.

?.?ZCAB=ZCSA=45°,

.?.”8245。+45。=90。，即AM1BN；

(