數(shù)學(xué)（人教版選修22）課件113導(dǎo)數(shù)的幾何意義

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．會求導(dǎo)函數(shù)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．(重點(diǎn))4．正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會求其方程．(易混點(diǎn))1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義：如圖，設(shè)PPn是曲線y＝f(x)的割線，當(dāng)Pn趨近于點(diǎn)P時，割線PPn趨近于確定位置直線PT，這個確定位置的直線PT稱為曲線y＝f(x)__________的切線．在點(diǎn)P處

(2)導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示曲線y＝f(x)在點(diǎn)__________處的切線的斜率k，即k＝__________．(3)切線方程：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為_______________________．(x0，f(x0))f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)1．已知曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝(

)A．4

B．－4C．－3 D．2答案：D2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(

)A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定解析：由圖象易知，點(diǎn)A、B處的切線斜率kA、kB滿足kA<kB<0.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得f′(xA)<f′(xB)．答案：B3．如果函數(shù)f(x)在x＝x0處的切線的傾斜角是鈍角，那么函數(shù)f(x)在x＝x0附近的變化情況是______(填“逐漸上升”或“逐漸下降”)．解析：由題意知f′(x0)<0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，f(x)在x＝x0附近的變化情況是“逐漸下降”．答案：逐漸下降(1)曲線上一點(diǎn)是否有切線，要根據(jù)割線是否有無限趨近的位置來判斷．若有，則在此點(diǎn)有切線，且切線是唯一的；若沒有，則在此點(diǎn)處無切線．(2)曲線的切線并不一定與曲線只有一個公共點(diǎn)，可以有多個公共點(diǎn)．對切線的三點(diǎn)說明(3)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率．若函數(shù)f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)不存在，則在該點(diǎn)處的切線斜率不存在，但切線存在，切線的傾斜角為直角．(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是在該點(diǎn)處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限值，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)．(2)導(dǎo)函數(shù)是指函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)、導(dǎo)函數(shù)f′(x)之間的區(qū)別與聯(lián)系【想一想】

1.設(shè)Pn的坐標(biāo)為(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，……)，P的坐標(biāo)為(x0，f(x0)),割線PPn的斜率kn是多少？2．當(dāng)點(diǎn)Pn無限趨近于點(diǎn)P時，割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？提示：kn無限趨近于切線PT的斜率k.[思路探究]

(1)先求切點(diǎn)坐標(biāo)，再求y′|x＝2，最后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程．(2)將切線方程與曲線C的方程聯(lián)立求解．求曲線在某點(diǎn)處的切線方程1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；(2)寫出切線方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

已知拋物線y＝2x2＋1.求(1)拋物線上哪一點(diǎn)的切線的傾斜角為45°？(2)拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于直線4x－y－2＝0?求切點(diǎn)坐標(biāo)(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴斜率為4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，該點(diǎn)為(1,3)．1．本題關(guān)鍵是由條件得到直線的斜率，從而得知函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟：(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)求切線的斜率f′(x0)；(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；(5)點(diǎn)(x0，y0)在曲線f(x)上，將(x0，y0)代入f(x)求y0得切點(diǎn)坐標(biāo)．2．本例中條件不變，求拋物線上哪一點(diǎn)的切線垂直于直線x＋8y－3＝0?解：∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直．∴拋物線的切線的斜率為8.由本例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.即所求點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9)．

已知曲線C：f(x)＝x2＋1，求過點(diǎn)P(0,0)且與曲線C相切的切線l的方程．[思路探究]

點(diǎn)P不是切點(diǎn)，故可設(shè)出切點(diǎn)P0的坐標(biāo)，并用其表示出切線l的方程，然后利用切點(diǎn)在曲線上和點(diǎn)P在切線上，建立P0點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，解出點(diǎn)P0后進(jìn)一步求切線方程．求曲線過某點(diǎn)的切線方程3．求函數(shù)y＝x3－3x2＋x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程．1．求曲線在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程：已知點(diǎn)(x0，y0)為切點(diǎn)，則先求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲線過點(diǎn)(x0，y0)的切線方程：已知點(diǎn)(x0，y0)不論在不在曲線上都不一定是切點(diǎn)，故先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，然后利用已知點(diǎn)(x0，y0)在切線上，求出切點(diǎn)坐標(biāo)．進(jìn)而求出切線方程．3．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)不存在，則切線與y軸平行或重合；若f′(x0)>0，則切線與x軸正方向夾角是銳角；若f′(x0)<0，則切線與x軸正方向夾角為鈍角；若f′(