不等式的性質(zhì)講義-高一上學期數(shù)學人教A版

不等式的性質(zhì)一、考點梳理1、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正2、倒數(shù)和分數(shù)的性質(zhì)（1）倒數(shù)的性質(zhì)①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).（2）有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則：①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3、作差法比較大小作差法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>ba，b∈R，,a－b＝0?a＝ba，b∈R，,a－b<0?a<ba，b∈R.))二、例題講解考點一：不等式的性質(zhì)判斷命題的真假例1.（2023春?朝陽區(qū)校級期中）若a，b，c∈R且a＞b＞c，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣b＞b﹣c B．a(chǎn)+b＞2c C．a(chǎn)c＞bc D．a(chǎn)2＞b2＞c2【答案】B【解答】解：對于A，當a＝1，b＝0，c＝﹣1時，a﹣b＝b﹣c，故A錯誤，對于B，∵a＞b＞c，∴a＞c，b＞c，∴由不等式的可加性可得，a+b＞2c，故B正確，對于C，當c＝0時，ac＝bc，故C錯誤，對于D，當a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，滿足a＞b＞c，但a2＜b2＜c2，故B錯誤．故選：B．變式練習：1.（2023秋?廣東期中）（多選題）對于實數(shù)，b，c，下列命題是真命題的是（）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】對于A：利用同向不等式相加可以證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值c=0即可否定結(jié)論.【詳解】對于A：因為，所以.因為，所以.故A正確；對于B：因為，所以，所以.對兩邊同乘以得到：.故B正確.對于C：因為，所以，對兩邊同乘以得到：，所以.同理可證：.所以.故C正確.對于D：取c=0，則.故D錯誤.故選：ABC2.（2023春?秦皇島期末）已知a＞b＞0，c＞0，則（）A． B． C．a(chǎn)2c＞ac2 D．b2c＞bc2【答案】B【解答】解：對于A，若a＝2，b＝1，c＝1，則，因為，所以，所以A錯誤，對于B，因為a＞b＞0，所以a﹣b＞0，因為c＞0，所以，所以B正確．對于C，若a＝2，c＝5，則a2c＝20＜ac2＝50，所以C錯誤，對于D，若b＝1，c＝2，則b2c＝2＜bc2＝4，所以D錯誤．故選：B．3.（2023春?廣西月考）下列命題為真命題的是（）A．若a＜b＜0，則ac2＜bc2 B．若a＜b＜0，則a2＜ab＜b2 C．若a＞b，c＞d，則ac＞bd D．若a＞b＞c＞0，則【答案】D【解答】解：對于A：當c＝0時，ac2＝bc2＝0，A錯誤；對于B：當a＜b＜0，則a2＞ab＞b2，B錯誤；對于C：取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3滿足a＞b，c＞d，而ac＝﹣4，bd＝﹣3，此時ac＜bd，C錯誤；對于D：當a＞b＞0時，則ab＞0，所以，即，又c＞0，所以，D正確．故選：D．考點二：比較兩個數(shù)的大小例1.（2023秋?深圳月考）設(shè)，則的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將化簡，使分子相同，即可根據(jù)分母大小關(guān)系進行比較；利用作差比較大小關(guān)系即可.【詳解】，，，，.又，故.則.故選：C.例2.已知M＝（a+2）（a+3），N＝a2+5a+4，則（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．無法確定【答案】A【解答】解：∵M﹣N＝（a+2）（a+3）﹣（a2+5a+4）＝a2+5a+6﹣（a2+5a+4）＝2＞0，∴M＞N，故選：A．變式練習：1.（2023春?大通縣期末）已知a＝+2，則a，b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＜b D．無法確定【答案】A【解答】解：因為60＞48，即，所以，所以，所以a＞b．故選：A．2.（2023春?香坊區(qū)校級月考）已知t＝a+4b，s＝a+b2+4，則t和s的大小關(guān)系是（）A．t≤s B．t≥s C．t＜s D．t＞s【答案】A【解答】解：因為t＝a+4b，s＝a+b2+4，所以s﹣t＝b2+4﹣4b＝（b﹣2）2≥0，所以s≥t．故選：A．考點三：由不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍例1.（2023春?雁塔區(qū)校級月考）若﹣1≤x≤y≤1，則x﹣y的取值范圍為（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．（0，2] D．（﹣2，2）【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，若﹣1≤x≤y≤1，即，則有﹣2≤x﹣y≤0，即x﹣y的取值范圍為[﹣2，0]．故選：B．例2.（2022秋·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考階段練習）已知，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可得，因為，所以，故，即的取值范圍是變式練習：1.（2023秋·河北張家口月考）已知，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以又，所以，所以的取值范圍是，故選：A.2.（2023秋·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，且，所以，所以，所以的取值范圍是3.（2023春?雁塔區(qū)校級月考）若﹣1≤x≤y≤1，則x﹣y的取值范圍為（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．（0，2] D．（﹣2，2）【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，若﹣1≤x≤y≤1，即，則有﹣2≤x﹣y≤0，即x﹣y的取值范圍為[﹣2，0]．故選：B．4.（2023秋?惠州月考）已知1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，則5a+b的取值范圍為（）A．[15，31] B．[14，35] C．[12，30] D．[11，27]【答案】D【解答】解：1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，所以2≤2（a﹣b）≤6，9≤3（a+b）≤21，則5a+b＝2（a﹣b）+3（a+b）∈[11，27]．故選：D．5.（2022秋·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？茧A段練習）已知，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可得，因為，所以，故，即的取值范圍是鞏固練習1.（2023秋·河北衡水·高一月考）對于實數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．【答案】C【分析】ABD選項，由做差法可判斷大?。籆選項，分三種情況討論即可判斷大小.【詳解】A選項，，故A錯誤；B選項，，因不清楚的正負情況，故B錯誤；C選項，當時，；當時，，當時，，綜上，故C正確；D選項，，故D錯誤.故選：C2.（2022秋·福建·高一統(tǒng)考期末）下列說法中，錯誤的是（

）A．若，則一定有 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】對A舉反例即可判斷；對B和D，利用不等式基本性質(zhì)即可判斷；對C，利用作差法即可判斷.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤.對于B，由，可知，所以，所以.故B正確.對于C，，因為，所以，所以.故C正確.對于D，因為，所以.又，所以.故D正確.故選：A.3.（2023秋·云南紅河·高一期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)判斷ACD；取特殊值判斷B.【詳解】解：對于A，因為，所以，即，故錯誤；對于B，取，則，故錯誤；對于C，由，得，所以，故錯誤；對于D，由，得，所以，故正確.故選：D.4.（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【解析】對于A選項，由不等式的同向可加性可知，該不等式成立，所以A正確；對于B選項，例如：，，但是，所以B錯誤；對于C選項，當時，，所以C錯誤；對于D選項，因為，所以，又，所以，所以D正確.故選：AD．5.（2022秋·廣東東莞·高一期中）比較兩個數(shù)﹣與2﹣大?。篲____﹣＜2﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：要證明：﹣＜2﹣．只需證明+＜2+，只需證明（+）2＜（2+）2，只需證明3+2+7＜4+4+6，只需證明＜2，只需證明21＜24，這是顯然成立的，得證，﹣＜2﹣．6.（2022秋·湖北武漢·高一華中師大一附中期中）已知a為實數(shù)，M=2a(a?2)，N=(a+1)(a?3)，則M，N的大小關(guān)系是（

）A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N【答案】A【分析】用作差法結(jié)合配方法比較大?。驹斀狻縈?N=2aa?2?a+1故選：A．7.（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c?1，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】C【分析】應(yīng)用作商法比較xy【詳解】由題設(shè)，易知x，y＞0，又xy∴x＜y.故選：C.8.（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學?？计谥校┮阎?、，比較與的大小.【答案】答案見解析【解析】當時，，，則；當時，，則當時，，，則.綜上所述，當時，；當時，；當時，.9.（2022秋·上海黃浦·高一上海市光明中學?？计谥校┮阎?1<a<1，2<b<3，則2a?3b的取值范圍是．【答案】?11<2a?3b<?4【分析】由不等式的基本性質(zhì)求解即可【詳解】解：?1<a<1，2<b<3，則?2<2a<2，?9<?3b<?6，故由不等式的可加性可知，?11<2a?3b<