第1節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)Fourier級(jí)數(shù)第十一章1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件*四、柯西審斂原理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第一節(jié)第十一章2一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0表示即內(nèi)接正三角形面積,ak表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束5例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束62).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7例2.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束9

例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束10二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)c所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束11性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束12說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束13性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束14性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束15例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束16三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束17注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上

,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束18例5.

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束19因進(jìn)行