福建省2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題含解析

福建省2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題含解析2022年秋季高二年期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.2.已知直線：，：，若，則()A.0 B.1 C.2 D.3.如圖所示，在平行六面體中，為與交點(diǎn)，若，，，則()A. B. C. D.4.若點(diǎn)在圓外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角余弦值為A. B. C. D.6.在日常生活中，可以看見(jiàn)很多有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系的形象，如圖，某公園的一個(gè)窗戶就是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4米，短軸長(zhǎng)為2米的橢圓形狀，其中三條豎直窗欞將長(zhǎng)軸分為相等的四段，則該窗戶的最短的豎直窗欞的長(zhǎng)度為()A. B. C.2 D.37.設(shè)點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為A. B. C. D.8.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在上(位于第一象限)，且點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則的離心率為()A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于直線，下列說(shuō)法正確的有()A.直線l過(guò)點(diǎn) B.直線l與直線垂直C.直線l的一個(gè)方向向量為 D.直線l的傾斜角為45°10.下列方程能夠表示圓的是()A B.C. D.11.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是()A.橢圓C的離心率為B.橢圓C上存在點(diǎn)P，使得C.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8D.若P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P，Q的最大距離為212.在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=PB，則以下結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)P的軌跡方程為(x－3)2+y2=8 B.△PAB面積最大時(shí)，PA=2C.∠PAB最大時(shí)，PA= D.P到直線AC距離最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線與平行，則它們的距離是_____14.已知點(diǎn)在直線上，則最小值為_(kāi)_______．15.如圖所示，若正方形的邊長(zhǎng)為，平面，且，分別為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______.16.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，分別為橢圓的左、右、下、上頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.的三個(gè)頂點(diǎn)、、，D為BC中點(diǎn)，求：(1)BC邊上的高所在直線的方程；(2)中線AD所在直線的方程．18.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.19.如圖，已知平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD；(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值．20.如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)，且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第二象限，，求的面積．21.如圖，在三棱錐中，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角為，求的值．22.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若以，為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，求證：平行四邊形的面積為定值.2022年秋季高二年期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角．【詳解】∵直線x+y﹣20的斜率k，設(shè)傾斜角為，則tan=∴直線x+y﹣2=0傾斜角為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角的求法，熟記斜率與傾斜角的關(guān)系是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2.已知直線：，：，若，則()A.0 B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意，直線平行，根據(jù)公式求參數(shù)，解方程并驗(yàn)根，可得答案.【詳解】由題意，，則，，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，故不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意.故選：D.3.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用表示出即可.【詳解】由題意，因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以也為與的中點(diǎn)，因此.故選：D.4.若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及方程表示圓列出方程組，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，所以，解得.故選：C．5.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.6.在日常生活中，可以看見(jiàn)很多有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系的形象，如圖，某公園的一個(gè)窗戶就是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4米，短軸長(zhǎng)為2米的橢圓形狀，其中三條豎直窗欞將長(zhǎng)軸分為相等的四段，則該窗戶的最短的豎直窗欞的長(zhǎng)度為()A B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，再結(jié)合題意計(jì)算即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)榇皯艟褪情L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4米，短軸長(zhǎng)為2米的橢圓形狀，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)槠渲腥龡l豎直窗欞將長(zhǎng)軸分為相等的四段，所以當(dāng)時(shí)，，所以最短窗欞的長(zhǎng)度為．故選：B7.設(shè)點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，利用對(duì)稱性列方程組求得，利用對(duì)稱性可得，結(jié)合圖像即可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，問(wèn)題得解．【詳解】依據(jù)題意作出圖像如下：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則它們的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，且由對(duì)稱性可得：，解得：，所以因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大此時(shí)最大值為故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的求法，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．8.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在上(位于第一象限)，且點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意判斷四邊形是矩形，設(shè)，結(jié)合橢圓定義表示出之間的關(guān)系，利用勾股定理列式，即可求得答案.【詳解】依題意作圖，由于，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,并且線段互相平分，∴四邊形是矩形，其中,由于，設(shè)，則，即,又，根據(jù)勾股定理，，即故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于直線，下列說(shuō)法正確有()A.直線l過(guò)點(diǎn) B.直線l與直線垂直C.直線l的一個(gè)方向向量為 D.直線l的傾斜角為45°【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系、直線方向向量的定義、互相垂直兩直線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解析：直線化成斜截式為，所以當(dāng)時(shí)，，A對(duì)；直線l的斜率為﹣1，傾斜角為135°，D錯(cuò)；直線的斜率為1，，所以兩直線垂直，B對(duì)；直線l的一個(gè)方向向量為，C錯(cuò)．故選：AB．10.下列方程能夠表示圓的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依次判斷各個(gè)選項(xiàng)中方程所表示的曲線即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，表示圓心為，半徑為的圓，A正確；對(duì)于B，不符合圓的方程，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得：，則其表示圓心為，半徑為的圓，C正確；對(duì)于D，含項(xiàng)，不符合圓的方程，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是()A.橢圓C的離心率為B.橢圓C上存在點(diǎn)P，使得C.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8D.若P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P，Q的最大距離為2【答案】BC【解析】【分析】求得橢圓C的離心率判斷選項(xiàng)A；求得滿足條件的點(diǎn)P判斷選項(xiàng)B；求得的周長(zhǎng)判斷選項(xiàng)C；求得點(diǎn)P，Q的最大距離判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，所以，即，所以橢圓C離心率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，且，又，，所以，，因此，令，可得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由橢圓的定義可得，因此的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，由題意可得點(diǎn)到圓的圓心的距離，因?yàn)?，所以則，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12.在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=PB，則以下結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)P的軌跡方程為(x－3)2+y2=8 B.△PAB面積最大時(shí)，PA=2C.∠PAB最大時(shí)，PA= D.P到直線AC距離最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)可求得點(diǎn)軌跡方程為，A正確；根據(jù)直線過(guò)圓心可知點(diǎn)到直線的距離最大值為，由此可確定面積最大時(shí)，由此可確定B不正確；當(dāng)最大時(shí)，為圓的切線，利用切線長(zhǎng)的求法可知C錯(cuò)誤；求得方程后，利用圓上點(diǎn)到直線距離最值的求解方法可確定D正確.【詳解】解：對(duì)于A：設(shè)，由得：，即，化簡(jiǎn)可得：，即點(diǎn)軌跡方程為，故A正確；對(duì)于B：直線過(guò)圓的圓心，點(diǎn)到直線的距離的最大值為圓的半徑，即為，，面積最大為，此時(shí)，，故B不正確；對(duì)于C：當(dāng)最大時(shí)，則為圓的切線，，故C正確；對(duì)于D：直線的方程為，則圓心到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離最小值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線與平行，則它們的距離是_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)平行線之間的距離計(jì)算公式，計(jì)算得答案.【詳解】直線可化為直線，又，且，所以它們的距離.故答案為：.14.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】【分析】將的最小值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線的距離來(lái)求解即可.【詳解】可以理解為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又∵點(diǎn)在直線上，∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，且.故答案為：.15.如圖所示，若正方形的邊長(zhǎng)為，平面，且，分別為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)到平面距離為，轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，結(jié)合，利用錐體的體積公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，且、分別為、的中點(diǎn)，可得,又因?yàn)槠矫?，且，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，即為三棱錐的高，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，由正方形的邊長(zhǎng)為，且，在直角中，可得，則,在直角中，可得，則在直角中，可得，即，取的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，且，所以，又由，可得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.16.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，分別為橢圓的左、右、下、上頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)為鈍角轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于，的不等式，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，．由題意，得，，，則，．因?yàn)闉橄蛄颗c的夾角，且為鈍角，所以，所以．又，所以，即，解得或，因?yàn)?，所以，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.的三個(gè)頂點(diǎn)、、，D為BC中點(diǎn)，求：(1)BC邊上的高所在直線的方程；(2)中線AD所在直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出直線的斜率，即可得到BC邊上的高線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解.(2)求出BC的中點(diǎn)D坐標(biāo)，求出中線AD所在直線的斜率，代點(diǎn)斜式即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：∵、，BC邊斜率k，故BC邊上的高線的斜率k＝，故BC邊上的高線所在直線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】解：BC的中點(diǎn)，中線AD所在直線的斜率為，故BC邊上的中線AD所在直線的方程為，即.18.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)的中點(diǎn)為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得的值，據(jù)此分析可得答案；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【詳解】解：(1)設(shè)的中點(diǎn)為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡(jiǎn)得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由(1)設(shè)為中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，已知平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD；(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，證明平面,原題即得證；(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出PD與平面PMC所成角的正弦值．【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且，又為的中點(diǎn)，底面為正方形，∴且，∴且，故四邊形為平行四邊形，∴..因?yàn)槠矫鍭BCD，CD在面ABCD內(nèi)，所以.又，平面,所以平面，AE在面PAD內(nèi)，所以.又平面,所以平面,所以平面.【小問(wèn)2詳解】由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，所以，故，設(shè)平面的法向量，則，得，設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為.20.如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)，且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第二象限，，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)，求出，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，從而可求，即可得出橢圓方程；(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式，可求△的面積．【小問(wèn)1詳解】解：依題意得，又，，，，．所求橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，所在直線的方程為，即．解方程組，并注意到，，可得．21.如圖，在三棱錐中，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【