考研數(shù)學(xué)二(常微分方程)歷年真題試卷匯編1(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）歷年真題試卷匯編1(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．(1989年)微分方程y〞－y＝eχ＋1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(式中a，b為常數(shù))【】A．a(chǎn)eχ＋bB．a(chǎn)χeχ＋bC．a(chǎn)eχ＋bχD．a(chǎn)χeχ＋bχ正確答案：B解析：y〞－y＝eχ＋1的特解應(yīng)為方程y〞－y＝eχ和y〞－y＝1的特解之和，而特征方程為r2－1＝0，解得r＝±1因此y－y＝eχ的特解應(yīng)為y1*＝aχeχ，y〞－y＝1的特解應(yīng)為y2*＝b則原方程特解應(yīng)具有形式y(tǒng)＝aχeχ＋b知識(shí)模塊：常微分方程2．(1998年)已知函數(shù)y＝f(χ)在任意點(diǎn)χ處的增量△y＝＋α，其中α是比△χ(△χ→0)的高階無(wú)窮小，且y(0)＝π，則y(1)＝【】A．B．2πC．πD．正確答案：A解析：由于△y與△χ＋α，其α是比△χ(△χ→0)高階的無(wú)窮小，則解此變量可分離方程得y＝Cearctanχ，再由y(0)＝π得C＝π故y＝兀earctanχ，y(1)＝π知識(shí)模塊：常微分方程3．(2000年)具有特解y1＝e－χ，y2＝2χe－χ，y3＝3eχ的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是【】A．y〞′－y〞－y′＋y＝0B．y〞′＋y〞－y′－y＝0C．y〞′－6y〞＋11y′－6y＝0D．y〞′－2y〞－y′＋2y＝0正確答案：B解析：由本題所給三個(gè)特解可知，所求方程的特征方程的根為λ1＝1，λ2＝－1(二重)，故特征方程是(λ－1)(λ＋1)2＝0，展開(kāi)得λ3＋λ2－λ－1＝0從而，微分方程應(yīng)為y′〞＋y′－y＝0，則應(yīng)選B．知識(shí)模塊：常微分方程4．(2002年)設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是二階常系數(shù)微分方程y〞＋py′＋qy＝e3χ滿足初始條件y(0)＝y(tǒng)′(0)＝0的特解，則當(dāng)χ→0時(shí)，函數(shù)的極限．【】A．不存在B．等于1C．等于2D．等于3正確答案：C解析：由于y(χ)是方程y〞＋py′＋qy＝e3χ滿足初始條件y(0)＝y(tǒng)′(0)＝0的特解，在方程y〞＋py′＋qy＝e3χ中，令χ＝0得y〞(0)＋Py′(0)＋qy(0)＝e0＝1即y〞(0)＝1所以應(yīng)選C．知識(shí)模塊：常微分方程5．(2003年)已知y＝是微分方程y′＝的解，則φ()的表達(dá)式為【】A．B．C．D．正確答案：A解析：將y＝代入方程y′＝得故應(yīng)選A．知識(shí)模塊：常微分方程填空題6．(1994年)微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解為_(kāi)______．正確答案：(χ－4)y4＝Cχ．解析：該方程是一個(gè)變量可分離方程，即(χ－4)y4＝Cχ知識(shí)模塊：常微分方程7．(1995年)微分方程y〞＋y＝－2χ的通解為_(kāi)______．正確答案：y＝－2χ＋C1cosχ＋C2sinχ．解析：特征方程為r2＋1＝0，解得r1＝i，r2＝－I齊次通解為＝C1cosχ＋C2sinχ易觀察出非齊次一個(gè)特解為y*＝－2χ則原方程通解為y＝C1>cosχ＋C2sinχ－2χ知識(shí)模塊：常微分方程8．(1996年)微分方程y〞＋2y′＋5y＝0的通解為_(kāi)______．正確答案：y＝e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)．解析：特征方程為r2＋2r＋5＝0，r1，2＝－1±2i故通解為y＝C1e－χcos2χ＋C2e－χsin2χ．知識(shí)模塊：常微分方程9．(1999年)微分方程y〞－4y＝e2χ的通解為_(kāi)_______．正確答案：y＝C1e－2χ＋(C2＋χ)e2χ(C1，C2為任意常數(shù))．解析：特征方程為r2－4＝0，r1，2＝±2齊次通解為＝1e－2χ＋C2e2χ設(shè)非齊次方程特解為y*Aχe2χ代入原方程得A＝，故原方程通解為知識(shí)模塊：常微分方程10．(2001年)過(guò)點(diǎn)(，0)且滿足關(guān)系式y(tǒng)′arcsinχ＋＝1的曲線方程為_(kāi)______·正確答案：yarcsinχ＝χ－．解析：由y′arcsinχ＋＝1知(yarcsinχ)′＝1則yarcsinχ＝χ＋C由因此yarcsinχ＝χ－知識(shí)模塊：常微分方程11．(2002年)微分方程yy〞＋y′2＝0滿足初始條件的特解是_______．正確答案：y2＝χ＋1或y＝解析：令y′＝P，則，y〞＝，代入原方程得則所求的特解為y2＝χ＋1．知識(shí)模塊：常微分方程12．(2004年)微分方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0滿足的特解為_(kāi)______．正確答案：解析：方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0可改寫為設(shè)方程為一階線性方程，則其通解為由知C＝1，則所求特解為y＝知識(shí)模塊：常微分方程13．(2005年)微分方程χy′＋2y＝χlnχ滿足y(1)＝－的解為_(kāi)______．正確答案：解析：方程χy＋2y＝χlnχ是一階線性方程，方程兩端同除以χ得：y′＋＝lnχ，則通解為由y(1)＝－得，C＝0，則知識(shí)模塊：常微分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。14．(1987年)求微分方程χ＝χ－y滿足條件＝0的特解．正確答案：原方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式為由一階線性微分方程求解公式知由初始條件＝0知，C＝－1．故所求特解為y＝涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程15．(1987年)求微分方程y〞＋2y′＋y＝χeχ的通解．正確答案：特征方程為r2＋2r＋1＝0，r＝－1為二重根則齊次方程通解為＝(C1＋C2χ)e－χ．設(shè)非齊次方程特解為y*＝(A0＋A1χ)eχ，代入原方程得故原方程通解為y＝(C1＋C2χ)e－χ＋(χ－1)eχ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程16．(1988年)求微分方程的通解．正確答案：由一階線性方程求解公式知涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程17．(1988年)設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)滿足微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ，其圖形在點(diǎn)(0，1)處的切線與曲線y＝χ2－χ＋1在該點(diǎn)處的切線重合，求函數(shù)y的解析表達(dá)式．正確答案：特征方程為r2－2r＋2＝0解得r1＝1，r2＝2．則齊次方程通解為＝C1eχ＋C2e2χ設(shè)非齊次方程特解為y*＝Aχeχ，代入原方程得A＝－2故原方程通解為y＝C1eχ＋C1e2χ－2χeχ(*)又由題設(shè)y＝y(tǒng)(χ)的圖形在點(diǎn)(0，1)處切線與曲線y＝χ2－χ＋1在該點(diǎn)的切線重合．由此可知y(0)＝1，y′(0)＝(2χ－1)｜χ＝0＝－1利用此條件由(*)式可得C1＝1，C2＝0因此所求解為y＝(1－2χ)eχ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程18．(1989年)求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(0＜χ＜＋∞)滿足y(1)＝0的解．正確答案：原方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式由一階線性微分方程通解公式得代入初始條件y(1)＝0，得c＝－e故所求解為y＝涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程19．(1989年分)設(shè)f(χ)＝sinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f為連續(xù)函數(shù)，求f(χ)．正確答案：原方程可改寫為f(χ)＝sinχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt上式兩端對(duì)χ求導(dǎo)得f′(χ)＝cosχ＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＋χ(f)χ＝cosχ－∫0χf(t)dt(*)兩端再對(duì)χ求導(dǎo)得f〞(χ)＝－sinχ－f(χ)即f(χ)＋f(χ)＝－sinχ這是一個(gè)二階線性非齊次方程，由原方程知f(0)＝0，由(*)式知f′(0)＝1．特征方程為r－1＝0，r＝±i齊次通解為＝C1sinχ＋C2cosχ設(shè)非齊次方程特解為y*＝χ(asinχ＋bcosχ)，代入f〞(χ)＋f(χ)＝－sinχ得a＝0，b＝則非齊次方程的通解為y＝C1sinχ＋C2cosχ＋cosχ由初始條件y(0)＝0和y′(0)＝1可知C1＝，C2＝0涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程20．(1990年)求微分方程χlnχdy＋(y－lnχ)dχ＝0滿足條件y｜χ＝e＝1的特解．正確答案：原方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式為其通解為由y｜χ＝e＝1知，C＝所以滿足初始條件y｜χ＝e＝1的特解為涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程21．(1990年)求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ之通解，其中a為實(shí)數(shù)．正確答案：特征方程為r2＋4r＋4＝0則齊次方程通解為＝(C1＋C2χ)e－2χ當(dāng)a≠－2時(shí)，原方程特解可設(shè)為y*＝Aeaχ代入原方程得A＝故特解為y*＝當(dāng)a＝－2時(shí)，原方程特解可設(shè)為y*＝Aχ2eaχ代入原方程得A＝故特解為y*＝χ2e－2χ綜上所述，原方程通解為涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程22．(1991年)求微分方程χy′＋y＝χeχ滿足y(1)＝1的特解．正確答案：將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)′＋y＝eχ由一階線性方程通解公式可知由y(1)＝1，得C＝1，故所求特解為y＝涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程23．(1991年)求微分方程y〞＋y＝χ＋cosχ的通解．正確答案：易求得齊次方程通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ設(shè)非齊次方程y〞＋y＝χ的特解為y1＝Aχ＋B代入方程得A＝1，B＝0，所以y＝χ設(shè)非齊次方程y〞＋y＝cosχ的特解為y＝Cχcos＋Dχsinχ代入方程解C＝0，D＝，所以y＝χsinχ故原方程通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χsinχ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程24．(1992年)求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．正確答案：將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式由一階線性微分方程通解公式知涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程25．(1992年)求微分方程y〞－3y′＋2y＝χeχ的通解．正確答案：特征方程為r2－3r＋2—0解得r1＝1，r2＝2齊次方程通解為＝C1eχ＋C2e2χ設(shè)非齊次方程特解為y*＝χ(aχ＋b)eχ代入原方程得a＝－，b＝－1所以y*＝－(＋χ)eχ從而所求通解為y＝C1eχ＋C2e2χ－(＋χ)eχ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程26．(1993年)求微分方程(χ2－1)dy＋(2χy－cosχ)dχ＝0滿足初始條件y｜χ＝1＝1的特解．正確答案：原方程化為標(biāo)準(zhǔn)型涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程27．(1993年)設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y〞＋αy′＋βy＝γeχ的一個(gè)特解為y＝e2χ＋(1＋χ)eχ，試確定常數(shù)α、β、γ，并求該方程的通解．正確答案：將y＝e2χ＋(1＋χ)eχ代入原方程得(4＋2α＋β)e2χ＋(3＋2α＋β)eχ＋(1＋α＋β)χeχ＝γeχ比較同類項(xiàng)的系數(shù)有解得α＝－3，β＝2，γ＝－1原方程為y〞－3y′＋2y＝－eχ其特征方程為r2－3r＋2＝0解得r1＝1，r2＝2故齊次通解為＝C1eχ+C2e2χ則原方程通解為y＝C1eχ＋C2e2χ＋e2χ＋(1＋χ)eχ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程28．(1994年)求微分方程y〞＋a2y＝sinχ的通解，其中常數(shù)a＞0．正確答案：特征方程為r2＋a2＝0，r＝±ai則齊次方程通解為y＝C1cosaχ＋C2sinaχ(1)當(dāng)a≠1時(shí)，原方程特解可設(shè)為y*＝Asinχ＋Bcosχ代入原方程得A＝，B＝0所以y*＝sinχ(2)當(dāng)a＝1時(shí)，原方程特解可設(shè)為y*＝χ(Asnχ＋Bcosχ)代入原方程得A＝0，B＝－所以y*＝－χcosχ綜上所述當(dāng)a≠1時(shí)，通解為y＝C1cosaχ＋C2sinaχ＋sinχ當(dāng)a＝1時(shí)，通解為y＝C1cosχ＋C2sinaχ－χcosχ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程29．(1995年)設(shè)y＝eχ是微分方程χy′＋p(χ)y＝χ的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件y｜χ＝ln2＝0。的特解．正確答案：將y＝eχ代入原方程得χeχ＋p(χ)eχ＝χ得p(χ)＝χe－χ－χ代入原方程得χy′＋(χe－χ－χ)y＝χ即y′＋(e－χ－1)y＝1解此線性方程得通解y＝eχ＋由y｜＝ln2＝0得C＝－故所求特解為y＝eχ－涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程30．(1996年)求微分方程y〞＋y′＝χ2的通解．正確答案：特征方程為r2＋r＝0，r1＝0，r2＝－1則齊次通解為＝C1＋C2e－χ設(shè)非齊次方程特解為y*＝χ(aχ2＋bχ＋c)，代入原方程得a＝，b＝－1，c＝2因此，原方程通解為y＝χ3－χ2＋2χ＋C1＋C2e－χ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程31．(1996年)設(shè)f(χ)為連續(xù)函數(shù)．(1)求初值問(wèn)題的解y(χ)，其中a是正常數(shù)；(2)若｜f(χ)｜≤k(k為常數(shù))，證明：當(dāng)χ≥0時(shí)，有｜y(χ)｜≤(1－e－aχ)正確答案：(1)原方程通解是y(χ)＝e－aχ[∫f(χ)eaχdχ＋C]＝e－aχ[F(χ)＋C]其中F(χ)是f(χ)eaχ的任一原函數(shù)，由y(0)＝0得C＝－F(0)故y(χ)＝e－aχ[F(χ)－F(0)]＝e－aχ∫0χeatf(t)dt(2)｜y(χ)｜≤e－aχ∫0χ｜f(t)｜eatdt≤keaχ∫0χeatdt≤e－aχ(eaχ－1)＝(1－e－aχ)，χ≥0涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程32．(1997年)求微分方程(3χ2＋2χy－y2)dχ＋(χ2－2χy)dy＝0的通解．正確答案：令y＝χu，則解之得u2－u＝1＝Cχ－3，即y2－χy－χ2＝Cχ－1涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程33．(1997年)已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋e－χ，y3＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程．正確答案：由題設(shè)知e2χ與e－χ是相應(yīng)齊次方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，且χeχ是非齊次方程一個(gè)特解，故此方程是y〞－y′－2y＝f(χ)將y＝χeχ代入上式得f(χ)＝(χeχ